复数的概念和运算专项训练
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复数的概念和运算专项训练
【例题精选】：
例1 z C z z z ∈=+=
,||,a r g ()..已知求1024π
解法一：设则即解得z x yi x y R x y y x tg x y x y y x y x x y =+∈+=+=+>>⎧⎨⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪+==+>+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨
⎩(,),,,,.
,,,
.
,.2222
102420010202013π 故z i =+13.
解法二：设z r i r z r ri +=+⎛
⎝ ⎫⎭⎪>=-⎛⎝
⎫⎭⎪+244022222cos sin (),.ππ则代入||z =
10,得222222
2
r r -⎛⎝ ⎫
⎭
⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=10，整理，得r r r 2226032--==.解得故 z i =+13.
小结：（1）当z x yi z y x tg
=++=
+=时，与
arg()24
2
4
π
π
是不等价的，必须
附加y x >+>020,的制约条件。
（2）利用||,(cos sin );arg(),z z i z z ==++=
+101024
2
设或利用设θθπ
=+⎛
⎝ ⎫⎭
⎪
r i cos sin ππ44，都可将求复数z 转化为解关于θ或r 的一元方程，使计算简
化。
例2 已知z C z u i z i z ∈==++-,||.()()13434设。 （1）证明u 是实数；（2）求u 的最大值与最小值。
解法一：（1）设z x yi x y R =+∈(,),则
u i x yi i x yi x y x y i x y x y i x y R =+++--=-+++--+=-∈()()()()[()()][()()]
().
343434433443234 （2）由||z =1可知： x y
2
2
1
1+=()
由得u x y =-234()
y x u =
-18
62().
()
将(2)代入(1)，得
10012640322
x ux u -+-=()
因为方程（3）有实根，所以∆=-⨯-=--≥1444100642561000222u u u ()(),
解 得-≤≤1010u .
当即时，取最大值；当即时，取最小值。
x y z i u x y z i u =
=-=
-=-=
=-
+
-354535451035453545
10,,,,
解法二：由||,cos sin .z z i ==+1可设θθ
（1）u i i i i R =+++--=-∈()(cos sin )()(cos sin )cos sin .343468θθθθθθ
（2）因为u =-=+=
=
68103545cos sin cos(),cos ,sin ,θθθϕϕϕϕ其中满足
当即时，取最大值；当即时，取最小值。
cos(),,cos(),,θϕθϕθϕθπϕ+==-=
-+=-=-=-
+-13545
1013545
10z i u z i u
小结：设定复数z 的不同形式，就应采用相应的方法。本题中，利用||,z z
=1将设成三角形式，对于求u 的最大（小）值是比较方便的。
例3 已知复数z i w =+≤ 解：因为z i =+≤ w z z i i i i i =++=++++=++++=+++=++112212222212 2 (cos sin )(cos sin ) (cos cos )(sin sin )(cos cos )(sin sin cos )(cos )(cos sin ). θθθθθθθθθθθθθθθθ （1）|||cos |cos ,,cos ,. w =+=+≤<≤<--≤<⎧ ⎨⎪⎪⎩ ⎪⎪212102343 2212343θθθππθπθπθπ或 当即时，取最大值； 当即或 时，取最小值。 cos ,||cos ,||θθθθππ===- = 10312 23 43 0w w （2）设w w i 的辐角为，因为所以，当ϕθθθθ=+++(cos )(cos sin ),cos 2121 >≤< <<=+∈=002343 22,(),arg ,即或 时，θππθπϕπθθk k Z w 当即或 时，辐角2102343cos ,θθππϕ +== 可为任意实数，arg w 可为区间 [)02，π内的任意实数； 当即 时， 21023 43 cos ,θπθπ+<<< w i i =-+--=-++++(cos )(cos sin )(cos )[cos()sin()]2121θθθθπθπθ 或 -+-+-(cos )[cos()sin()].21θθπθπi