第5章1 均值方差模型

• 举例说明：假定一种股票的收益期望值是16%，标准差是 15%；另一种股票的收益期望值为14%，标准差为12%， 两种股票的相关系数是0.4，每种股票投资相等的金额， 则： • 组合的期望收益率R=0.5*0.16+0.5*0.14=15% • 组合的标准差=11.3% • 只要两种证券的相关系数小于1，组合的标准差就要小 于两种证券的标准差的加权平均数 （0.5*0.15+0.5*0.12=13.5%＞11.3%） • 在其他条件都相同时，厌恶风险的投资者总想分散其持 有的证券，持有那些不完全正相关的证券（
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第五章：均值方差模型
• 风险与收益的度量 • 均值方差模型
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1 风险与收益的度量
– 投资组合的收益和风险 – 期望收益、方差和协方差 期望收益、
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投资组合的收益
• 投资组合的收益：期望收益率 投资组合的收益：期望收益率R • R=∑Wj* Rj • Wj是投资于j证券的资金占总投资额的比例 或权数，Rj是证券j的期望收益率。
投资组合的风险—标准差 投资组合的风险 标准差
• Wj是投资于j证券的资金占总投资额的比例 或权数，Wk是投资于k证券的资金占总投资 额的比例或权数，σj,k是j证券和k证券收益 率的协方差。m是投资组合中不同证券的总 数。ΣΣ意味着要把方阵中的所有元素相加， 要加m2项。
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“均值－标准差”二维空间中投资机会集的有效边界
• 上面的有效边界图形揭示出：单个资产或 组合资产的期望收益率由风险测度指标标 准差来决定；风险越大收益率越高，风险 越小收益率越低；风险对收益的决定是非 线性（二次）的双曲线（或抛物线）形式ຫໍສະໝຸດ Baidu 这一结论是基于投资者为风险规避型这一 假定而得出的。
风险定价模型
• 马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合 资产风险的决定因素，而且更为重要的是 还揭示了“资产的期望收益由其自身的风 险的大小来决定”这一重要结论，即资产 （单个资产和组合资产）由其风险大小来 定价，单个资产价格由其方差或标准差来 决定，组合资产价格由其协方差来决定。 马可维茨的风险定价思想在他创建的“均 值－方差”或“均值－标准差”二维空间 中投资机会集的有效边界上表现得最清楚。
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其中A，B，C，D为常量；R表示N个证 券收益率的均值（期望）列向量， 为资产 组合协方差矩阵，1表示分量为1的N维列向 量，上标T表示向量（矩阵）转置
马科维茨的均值一方差组合模型的假设
• 该理论依据以下几个假设： • 1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据 是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。 • 2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券 组合的风险。 • 3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收 益。 • 4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最 大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希 望风险最小。
• 两种证券可能收益率的协方差是衡量这两种证券 一起变动而非单独变动程度的标准。 • σj,k =rj,k*σj*σk • rj,k是证券j和证券k可能收益率之间预期的相关系 数。 • σj是j证券的标准差，σk是k证券的标准差，当j=k 时，rj,k=1 • 因此，σj,j=σj*σj=σj2 • -1≤rj,k≤+1，正的相关系数表明，一般而言，两 种证券的收益朝相同的方向变动，而负的相关系 数表明，它们一般朝相反的方向变动。
2 均值方差模型
• 均值-方差模型(Mean-Variance Model)投资者将一笔给定 的资金在一定时期进行投资。在期初，他购买一些证券， 然后在期末卖出。那么在期初他要决定购买哪些证券以及 资金在这些证券上如何分配，也就是说投资者需要在期初 从所有可能的证券组合中选择一个最优的组合。这时投资 者的决策目标有两个：尽可能高的收益率和尽可能低的不 确定性风险。最好的目标应是使这两个相互制约的目标达 到最佳平衡。 由此建立起来的投资模型即为均值-方差模 型。
m=4，可能的两种证券组合加权的协方差组成的矩阵为： W1W1σ1,1 W1W2σ1,2 W1W3σ1,3 W1W4σ1,4 W2W1σ2,1 W2W2σ2,2 W2W3σ2,3 W2W4σ2,4 W3W1σ3,1 W3W2σ3,2 W3W3σ3,3 W3W4σ3,4 W4W1σ4,1 W4W2σ4,2 W4W3σ4,3 W4W4σ4,4 W1W1σ1,1称为证券1的收益率加权协方差，W1W2σ1,2称为证券1，2的收益率的加 权协方差。
协方差
• 协方差是衡量两个变量（如证券的收益）一起变 动程度的统计量，正的协方差表明，平均而言， 两个变量是朝同一方向变动的；负的协方差表明， 平均而言，两个变量是朝相反方向变动的；协方 差为零时，表明两个变量不一起变动，方向既不 一致又不相反。 • 组合的标准差不仅取决于单个证券的方差，而 且还取决于各种配对证券间的协方差。随着组合 中证券数目的增加，在决定组合标准差时，协方 差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。
• 马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论， 建立了资产优化配置的均值－方差模型： • 目标函数：minσ2 (rp)=∑ ∑xjxk σj,k • rp= ∑ xiri • 限制条件： 1=∑xi （允许卖空） • 或 1=∑xi ，xi>≥0（不允许卖空） • 其中rp为组合收益， ri为第i只股票的收益，xj、 xk为证券j、k的 投资比例， σ2 (rp)为组合投资方差(组合总风险)，σj,k为两个证券之间 的协方差。该模型为现代证券投资理论奠定了基础。上式表明，在限 制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险σ2 (rp)最小，可通过拉格朗日 目标函数求得。其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益， 通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项 目资金分配），使其总投资风险最小。不同的期望收益就有不同的最 小方差组合，这就构成了最小方差集合。