梯形及等腰梯形的性质和判定
人教版八年级数学讲义梯形及等腰梯形(含解析)(2020年最新)
第19讲梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦梯形的分类2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形等腰梯形AB//CD AB//CDAD≠BC AD=BCAD⊥CD AD不平行BC梯形的中位线3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CDEF=12（AB+CD）等腰梯形的性质和判定1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．∴AB=DE=CE=BC故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF?AH=xcm2，∴EF?AH=2xcm2，∴S梯形ABCD=（AD+BC）？AG=×2EF×2AH=2EF?AH=2×2xcm2=4xcm2．∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，，由已知再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，，∴AD+BC=2EF=12cm∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，﹣20，∴BC=AB+BC+CD+AD即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；，所以四边形AFCD是菱形．（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，，∴AD=DC=AF=CF∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED=S梯形ABCD=144，∵BE?DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。
初中数学知识归纳梯形的性质与判定
初中数学知识归纳梯形的性质与判定梯形是初中数学中一个重要的几何图形，它的性质与判定常常出现在数学考试中。
本文将对梯形的性质与判定进行归纳总结，帮助初中生们更好地理解和运用梯形。
梯形的定义：梯形是一个有四边的几何图形，其中两边是平行线段，另外两边则不一定平行。
这两个平行线段被称为梯形的上底和下底，两个非平行的边被称为梯形的斜边。
梯形上底和下底之间的垂直距离被称为梯形的高。
梯形的性质与定理：1. 梯形的对角线相等：梯形的两条对角线分别连接了梯形的非相邻顶点，而这两条对角线相等。
证明：画出梯形的对角线，然后利用平行线和同位角的性质，可以证明两条对角线相等。
2. 梯形的底角和顶角互补：梯形的底角和顶角之和为180度。
证明：利用平行线和同位角的性质，可以证明底角和顶角之和为180度。
3. 等腰梯形的性质：如果一个梯形的两个腰（斜边）相等，那么这个梯形就是等腰梯形。
证明：利用等腰三角形的性质，可以证明一个梯形的两个腰相等。
4. 等腰梯形的底角相等：如果一个梯形是等腰梯形，那么这个梯形的底角相等。
证明：利用等腰三角形的性质，可以证明一个梯形的底角相等。
5. 直角梯形的性质：如果一个梯形的一个内角是直角，那么这个梯形就是直角梯形。
证明：利用直角三角形的性质，可以证明一个梯形的一个内角是直角。
梯形的判定方法：在做题时，我们有时需要通过给定条件来判定一个四边形是否是梯形。
常用的判定方法有以下几种：1. 如果一个四边形的两条对角线相等，并且底角和顶角之和为180度，那么这个四边形是梯形。
2. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一对对角线相等，那么这个四边形是梯形。
3. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一条边平分了另一条边，那么这个四边形是梯形。
4. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一条边垂直于另一条边，那么这个四边形是梯形。
通过以上性质与判定方法，我们可以更加准确地判断和运用梯形。
在解决几何问题时，我们可以根据题目给出的条件，应用相关的性质与判定方法，灵活运用，得出正确的结论。
八年级数学梯形的概念、等腰梯形的性质、判定
梯形（一）梯形的有关概念1. 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形 注：（1）梯形是特殊的四边形 （2）有且只有一组对边平行。
2. 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。
3. 梯形的分类梯形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 （二）梯形的性质 1. 一般梯形的性质 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒180 2. 直角梯形具有的特征 在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180 3. 等腰梯形具有的性质 （1）等腰梯形同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。
4. 等腰梯形的判定 （1）利用定义： （2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形【典型例题】例1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 平分∠BAD ，∠B ︒=60，CD=2cm ，则梯形ABCD 的面积为 A. 2cm 33B. 2cm 6C. 2cm 36D. 2cm 12例2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE=BC ，（1）求证：∠E=∠DBC （2）判断△ACE 的形状例3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求ABCD S 梯形。
例4. 如图，已知：AD 是△ABC 边BC 上的高线，E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形。
等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的性质与判定等腰梯形是指具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
在几何学中，等腰梯形是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和判定方法。
本文将探讨等腰梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为等腰梯形。
一、等腰梯形的性质1.等腰梯形的两底角相等：等腰梯形的两底角（非对顶角）相等。
证明如下：连接等腰梯形的两个非平行边，可以得到两个全等的三角形，根据三角形的性质可知，两个三角形的对应角相等，因此两底角相等。
2.等腰梯形的对顶角互补：等腰梯形的两对顶角互补（角的和为180度）。
证明如下：连接等腰梯形的两个对角，可以得到两个对顶的全等三角形，根据全等三角形的性质可知，两个对顶角互补。
3.等腰梯形的对边平行：等腰梯形的两条对边平行。
证明如下：连接等腰梯形的两个对顶点和两个底边的中点，可以得到一对全等的三角形和一对等腰三角形。
根据全等三角形的性质可知，两个底边的中点连线平行于顶点连线，即证得两对边平行。
二、判定一个四边形是否为等腰梯形1.判定条件一：两底边相等且两腰边相等。
如果一个四边形的两条底边相等且两条腰边相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的定义，即两组对边相等。
2.判定条件二：两底角相等。
如果一个四边形的两个底角相等，那么这个四边形可能是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即两底角相等。
但需要注意的是，仅满足该条件并不能确定一个四边形为等腰梯形，因为它可能是其他类型的四边形，如矩形或平行四边形。
3.判定条件三：对角线平分一个角。
如果一个四边形的对角线能够平分其中一个角，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即对角线平分一个角。
总结起来，判定一个四边形为等腰梯形的充分条件是：两底边相等且两腰边相等，或者两底角相等，或者对角线能够平分一个角。
但需要注意的是，这些条件并不一定都是必要条件，因为其他类型的四边形也可能满足这些条件。
结论等腰梯形是具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
第30讲梯形和等腰梯形的判定与性质
第30讲梯形和等腰梯形的判定与性质
一、中考考什么（知识梳理）
考点一：梯形及特殊梯形的定义：
1、梯形：
2、等腰梯形：
3、直角梯形：
考点二：
(1)梯形的性质：
①两底平行②梯形的面积S= 1
2(a+b)h
（2）等腰梯形的性质
①、等腰梯形在同一底上的两个角。
②、等腰梯形的对角线。
③、等腰梯形的对角。
考点二：等腰梯形的判定
1、两腰相等的
是等腰梯形。
2、在同一底上的两个角
的梯形是等腰梯形。
3、两条对角线的梯形是等腰梯形。
二、重庆怎么考（例题精讲）
例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。
例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90,∠C=45,AD =1,BC=4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长. B F C
A D 图2 F
C
B D
A E E
图1。
梯形的定义、性质及判定知识梳理总结
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定义
梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边 形．
示例剖析 梯形 ABCD 中， AD ∥ BC
等腰梯形：两腰相等的梯形．
梯形 ABCD 中， AD ∥ BC 且 AB CD
A
D
直角梯形：有一个角是直角的梯形．
相关概念 梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底； 较短的底叫做上底，较长的底叫做下底（与位置 无关）； 梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做腰； 梯形的高：两底间的距离叫做高．
底之和的三角形
（ △BDE ）
梯形的中
位线证
连 接 AM 并 延 长 交 BC
将梯形切割拼接成一个 明；
延长线于 E
与它面积相等的三角形 梯形拼接
E （倍长类中线）
（ △ABE ）
成三角形
或四边形
2Leabharlann A BE D C分别延长 BA 、CD 交于 点 E （补成三角形）
把梯形补全为 △EBC
梯形中构 造特殊三 角形
与
对
A
D
角
线
B
O
有
C
关
与
腰
的
A
D M
中
B
点
C
有
关
把梯形转化为一个平行
过 D 作 DE ∥ AC 交 BC 四边形（ ADEC ）和一个 集中对角
延长线于 E E （平移对角线）
集中两条对角线与上下 线
1
模块二 梯形中的常见辅助线
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类 图形
型
与
A
D
高
有
关
B
E
FC
A
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。
在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。
下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。
性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
假设∠A和∠B是两个底角。
首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。
接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。
因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。
因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。
我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。
由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。
因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。
将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。
因此，等腰梯形的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
我们需要证明AC=BD。
我们已经知道∠BAD=∠CBA。
因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。
我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。
因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。
根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。
因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。
因此，AD=BD和AC=CD。
梯形知识点总结
梯形知识点总结【篇一：梯形知识点总结】1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形．两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．分类：梯形分为一般梯形和特殊梯形，特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形．等腰梯形：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
（2）性质：等腰梯形的腰相等，同一底上的两个内角相等，等腰梯形的对角线相等。
（3）判定方法：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形．二、三角形、梯形的中位线：三角形中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
（2）定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
三、研究梯形问题的主要方法：将梯形问题通过作辅助线转化成三角形、平行四边形或矩形来解决。
与些同时，学生应当理解并掌握梯形常用的七种辅助线：1.平移一腰；2.过顶点作高；3.平行一条对角线；4.延长两腰相交于一点；5.过一腰中点和顶点作直线；6.过一腰的中点作另一腰的平行线；7.作梯形的中位线。
常见考法（1）考查梯形的有关概念，梯形的一些有关计算（如求梯形的角、高以及面积）；（2）考查梯形中位线、梯形的对角线，以及梯形的常见辅助线的添法；（3）有关梯形的拼图问题以及梯形为背景的实际问题在段考、中考中也有体现。
误区提醒（1）误认为梯形只有等腰梯形与直角梯形两种，而实质上这两种只是梯形的一个特殊情况；（2）对等腰梯形判定定理把握不准，忽视了同一底这一前提条件。
【典型例题】（2010年安徽省模拟）如图，在梯形abcd中ad//bc,bd=cd,且abc为锐角，若ad=4 ,bc=12，e为bc上的一点，当ce分别为何值时，四边形abed是等腰梯形？直角梯形？写出你的结论，并加以证明。
解：当ce=4时，四边形abcd是等腰梯形在bc上截取ce=ad,连接de、ae.又∵ad//bc, 四边形aecd是平行四边形ae=cd=bd∵be=12-4=8＞4, 即be＞adab不平行于de 四边形abed是梯形在△abe和△deb中ae=db, aeb= dbe,be=eb△abe≌△deb(sas) , ab=de四边形abed是等腰梯形当ce=6,四边形abed是直角梯形在bc上取一点e,使得ec=be=bc=6,连接de,∵bd=cd, de bc又∵be ad,ad//be, ab不平行于de四边形abde是直角梯形。
梯形的性质及判定_9179
梯形的性质及判断一、知识概要1.梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 .2.等腰梯形性质① 等腰梯形同一底上的两个角相等；②等腰梯形的两条对角线相等.3.等腰梯形判断① 两腰相等的梯形叫做等腰梯形；；② 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形.4.重心线段的重心就是线段的中点；平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点；三角形的重心就是三角形的三条中线的交点 .二、基础练习1.如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC，∠ C=60°，则∠ 1=（）A．30° B．45°C．60° D．80°2.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 订交于点 O，以下四个结论：① ∠ ABC=∠DCB，② OA=OD，③∠ BCD=∠ BDC，④S△△．AOB=S DOC此中正确的选项是（）A．①②B．①④C．②③④D．①②④2.如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形 ABCD 的面积是（）A．1615B．165C．3215D．16173.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，AE∥DC，则△ABE 的周长是（）A ． 3B． 12C．15D．19A DB E C4.（ 2010 金华）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥ CD，对角线 AC 均分∠ BAD，∠ B=60°，CD=2cm，则梯形 ABCD 的面积为（）cm2．A．33B．6D CC．6 3D．125. 若等腰梯形的上、下底边分别为 1A B和3，一条对角线长为4，则这个梯形的面积是（）A．163B．83C．4 3D．2 36.已知梯形的两底边长分别为 6 和 8，一腰长为 7，则另一腰长 a 的取值范围是 ______________.7.如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC，对角线 AC⊥BD 于点 O，AE⊥BC，DF ⊥BC，垂足分别为E， F，设 AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（）A ． 3a+b B． 2（ a+b）C． 2b+a D．4a+b8.沪杭高速铁路已动工建设，某校研究性学习以此为课题，在研究列车的行驶速度时，获得一个数学识题．如图，若y是对于t的函数，图象为折线 O-A-B-C，此中 A（t1，350），B（ t2，350），C（17，0），四80边形 OABC 的面积为 70，则 t2-t1=（）13731A．B．C．D．516801609.如图，在梯形 ABCD 中， AB∥ DC，DB 均分∠ ADC，过点 A 作 AE∥BD，交 CD 的延伸线于点E，且∠ C=2∠ E．（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）若∠ BDC=30°， AD=5，求 CD 的长．10.如图，在菱形 ABCD 中，∠ DAB=60°，过点 C 作 CE⊥ AC 且与 AB 的延伸线交于点E．求证：四边形 AECD 是等腰梯形．11.四边形 ABCD 中，若∠ A：∠ B：∠ C：∠ D=2： 2： 1： 3，则这个四边形是（）A ．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．随意四边形12.小明用两根相同长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状必定是（）A ．矩形B．正方形C．等腰梯形D．没法确立13.（ 2009 重庆）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC，∠ ABC=90°，DE⊥AC 于点 F，交 BC 于点 G，交 AB的延伸线于点 E，且 AE=AC．（ 1）求证： BG=FG；A D（ 2）若 AD=DC=2，求 AB 的长．FB G CE。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边斜线段长度相等，并且两个底边之间平行。
在等腰梯形中有一些重要的性质定理以及判定定理。
1.等腰梯形的性质定理：性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：设等腰梯形ABCD中的底边AB和CD的长度分别为a和b，而斜边AD和BC的长度分别为c和d。
由于等腰梯形定义为两边斜线段长度相等，即c=d，而两个底边之间平行，所以∠CAD=∠BCD，又∠ADC=∠BDC=180°-∠CAD-∠BCD，所以∠ADC=∠BDC，即等腰梯形ABCD 的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
证明：设等腰梯形ABCD中的对角线AC和BD相交于点E。
由于等腰梯形的两边斜线段长度相等，所以AE=CE，而AE=BE，故BE=CE。
又由于两个底边之间平行，所以∠ADC=∠BDC，所以∠AEB=180°-∠ADC-∠BDC=180°-∠ADC-(180°-∠AED-∠CED)=∠AED+∠CED。
根据等腰梯形的两个底角相等性质定理，可得∠AED=∠CED，所以∠AEB=2∠AED，即等腰梯形ABCD的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
2.等腰梯形的判定定理：判定定理1：如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的两个底角∠A和∠D相等。
由于两个底角相等，所以∠CAD=∠BDC。
又由于∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠CAD。
根据等腰梯形的性质定理1可得等腰梯形ABCD的两个底角相等，即如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
判定定理2：如果一个梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，且互相垂直且平分对角线之间的角。
由于对角线互相垂直，所以∠AEB=90°。
又因为对角线平分对角线之间的角，所以∠AEB=∠BED。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
目录
• 等腰梯形的性质定理 • 等腰梯形的判定定理 • 等腰梯形的证明方法
01
等腰梯形的性质定理
定义与特性
定义
等腰梯形是一个两腰相等的梯形。
特性
等腰梯形在同一底上的两个角相等，对角线相等且平分。
面积与周长的计算
面积计算
等腰梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为$S = frac{(a + b)h}{2}$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度，$h$ 是高。
判定实例
三角形中位线定理的证明
在三角形中，取两边中点连线，证明该线段平行于第三边且等于第三边的一半，可以利用等腰梯形的 性质定理进行证明。
平行四边形与等腰梯形的转换
将一个平行四边形的一组对角连接，得到一个等腰梯形，可以通过等腰梯形的性质定理证明该结论。
03
等腰梯形的证明方法
证明步骤
01
第一步
根据等腰梯形的定义，确定两腰相 等。
第三步
根据等腰梯形的性质，证明对角线 相等。
03
02
第二步
根据等腰梯形的性质，证明两底角 相等。
第四步
根据等腰梯形的性质，证明高相等。
04
证明实例
实例一
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证∠B=∠C。
实例二
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BD=AC。
实例三
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BE=CF。
周长计算
等腰梯形的周长可以通过上底、下底、两腰的长度来计算，公 式为$P = a + b + 2c$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度， $c$是两腰的长度。
等腰梯形的判定
D
C
解题思路
通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平
行四边形、矩形或三角形等问题，注意图
形变换的方法及转化思想的应用．
学以致用
例1：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠A+∠C=1800
求证：梯形ABCD是等腰梯形
证明∵ AD∥BC ∴ ∠A+∠B＝180° 又∵ ∠A+∠C＝180 ° ∴ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形
4、等腰梯形的判定方法一
定义 A C
B
D
两腰相等的梯形叫做等腰梯形
∵AB=CD ∴梯形ABCD是等腰梯形
5、等腰梯形其他的判定方法 （1）同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形
（2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形
思维展现
思路1：转化方向——等腰三角形．
思路2：转化方向——平行四边形．
思路3：转化方向——全等三角形．
定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ∵ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形．
两条对角线相等的梯形是等腰梯形
A
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， AC=BD． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． C 思路1：转化方向——全等三角形． B 思路2：转化方向——平行四边形． A D
A
D
D
B
E
丙： ∠A＝∠D；
丁：梯形是轴对称梯形。
A
B
甲 、乙 、丁。 ①你认为哪些同学的条件符合要求？_________________
②你能添加一个其他条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？
__________ AC=BD 。
学以致用
例题3：（2007.上海） 如图：在梯形ABCD中， AD∥BC，CA平分 ∠BCD， DM∥AC， ∠B＝2 ∠M。 求证：梯形ABCD是等腰 梯形。
梯形、等腰梯形及其性质、判定
梯形、等腰梯形及其性质、判定第1题. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC G ∥，是边AB 上的一点，过点G 作GE DC∥交BC 边于点E F ，是EC 的中点，连结GF 并延长交DC 的延长线于点H ．求证：BG CH =．答案：证明：四边形ABCD 为等腰梯形，B DCB ∴∠=∠． GE DC GEB DCB ∴∠=∠ ∥，． GEB B GB GE ∴∠=∠∴=．． 在GEF △和HCG △中， GE DC GEF HCF ∴∠=∠ ∥，． F 是EC 的中点，FE FC ∴=． 而GFE CFH ∠=∠（对顶角相等）， GEF HCF ∴△≌△． GE HC BG CH ∴=∴=，．第2题. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，2AB CD =，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结EF 、CE 、BF 、CF ． （1）判断四边形AECD 的形状（不需证明）；（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明； （3）若2CD =，求四边形BCFE 的面积．A D C H F E BGD C B AFE答案：（1）平行四边形； （2）BEF FDC △≌△或（AFB EBC EFC △≌△≌△） 证明：连结DE ．∵2AB CD =，E 为AB 中点，∴DC EB∥． 又∵AB BC ⊥，∴四边形BCDE 为矩形．∴90AED ∠=°．Rt ABE △中，60A ∠=°，F 为AD 中点，∴12AE AD AF FD ===． ∴AEF △为等边三角形．∴18060120BEF ∠=-=°°°． 而120FDC ∠=°，得BEF FDC △≌△（S ．A ．S ．）（其他情况证明略）（3）若2CD =，则4AD =， DE BC ==23 ∵S △ECF ＝21AECD S ＝21CD ·DE ＝21×2×23＝23 CBE S △＝21BE ·BC ＝21×2×23＝23∴S 四边形BCFE ＝S △ECF +S △EBC ＝23+23＝43．第3题. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥， 6047B AD BC ∠===°，，，则梯形ABCD 的周长是 ．答案：17第4题. 如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．D CBA FEDCAB（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．答案：解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．在Rt ABK △中，sin 454AK AB =︒== 2cos 454242BK AB =︒==在Rt CDH △中，由勾股定理得，22543HC =-=∴43310BC BK KH HC =++=++=（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-=由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = 即10257t t -= 解得，5017t =C（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M N（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD == ∴535t t -= 解得258t =解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC = 即553t t -= ∴258t =③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t == 解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===- 解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ADCB MN（图③）（图④）AD CBM NH E（图⑤）ADCBH NMF∴FC MCHC DC = 即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形第5题. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD⊥于点O ，AE BC DF BC ⊥⊥，，垂足分别为E 、F ，设AD =a ，BC =b ，则四边形AEFD 的周长是（ ） A ．3a b +B ．2()a b +C ．2b a +D ．4a b +答案：A第6题. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．答案：解：（1）∵PE AB ∥DCABE FO∴DE DPDA DB=． 而10DE t DP t ==-，， ∴10610t t -=， ∴154t =．∴当15(s)4t PE AB =，∥． （2）∵EF 平行且等于CD ， ∴四边形CDEF 是平行四边形．∴DEQ C DQE BDC ∠=∠∠=∠，． ∵10BC BD ==，∴DEQ C DQE BDC ∠=∠=∠=∠． ∴DEQ BCD △∽△．∴DE EQBC CD =． 104t EQ =． ∴25EQ t =．过B 作BM CD ⊥，交CD 于M ，过P 作PN EF ⊥，交EF 于N ．2210210049646BM =--==∵ED DQ BP t ===， ∴102PQ t =-． 又PNQ BMD △∽△，PQ PNBD BM=， 10210t -=15t PN ⎫=-⎪⎭211212255255PEQ t S EQ PN t ⎫==⨯⨯-=-+⎪⎭△． F（3）11422BCD S CD BM ==⨯⨯=△ 若225PEQ BCD S S =△△， 则有2225+=⨯， 解得1214t t ==，．（4）在PDE △和FBP △中，10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==⎫⎪==-⇒⎬⎪∠=∠⎭，，△≌△， ∴PDE PFCDE PFCD S S S =+△五边形四边形 FBP PFCD S S =+△四边形 86BCD S ==△．∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．第7题. 在梯形ABCD 中，//60306AB CD A B AD CD ∠=∠===，，，，则AB 的长度为（ ） A ．9B ．12C ．18D ．633+答案：C第8题. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB 的长．A D CB O答案：解：作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ． 90AE DF AEF ∴∠=∥，°． AD BC ∴ ∥，四边形AEFD 是矩形． 3EF AD AE DF ∴===，．BD CD DF BC =⊥ ，，DF ∴是BDC △的BC 边上的中线． 19042BDC DF BC BF ∠=∴=== °，． 4431AE BE BF EF∴==-=-=，．在Rt ABE △中，222AB AE BE =+ AB ∴==第9题. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，904514B C AD BC ∠=∠===°，°，，，E为AB 的中点，EF DC ∥交BC 于点F ，求EF 的长．答案：解法一：如图1，过点D 作DG BC ⊥于点G ． ∵90AD BC B ∠=∥，°， ∴90A ∠=°．可得四边形ABGD 为矩形． ∴1BG AD AB DG ===，． ∵4BC =，∴3GC =．∵9045DGC C ∠=∠=°，°， ∴45CDG ∠=°． ∴3DG GC ==． ∴3AB =．又∵E 为AB 中点，∴1322BE AB ==． ∵EF DC ∥， ∴45EFB ∠=°．在BEF △中，90B ∠=°．ADCBOEFA DBE CFA DB ECF 图1G∴sin 45BE EF ==°解法二：如图2，延长FE 交DA 的延长线于点G ． ∵AD BC EF DC ∥，∥，∴四边形GFCD 为平行四边形，1G ∠=∠． ∴GD FC =．∵23EA EB =∠=∠，， ∴GAE FBE △≌△． ∴AG BF =．∵14AD BC ==，， 设AG x =，则BF x =，41CF x GD x =-=+，． ∴14x x +=-．解得32x =． 45C ∠= °， ∴145∠=°．在BEF △中，90B ∠=°，∴32cos 452BF EF ==°第10题. 下列命题中错误的是（ ） A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．一组对边平行的四边形是梯形答案：D第11题. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，∠AEB =60°， AB = AD = 2cm ，则梯形ABCD 的周长为 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cmA DBE CF 图2G3 1 2A D CB E答案：C第12题. 如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．答案：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当90α∠=°时，四边形EDBC 是菱形． ∵90ACB α∠=∠=°，∴BC ED ∥．∵CE AB ∥，∴四边形EDBC 是平行四边形．在RtABC △中，90602ACB B BC ∠=∠==°，°，， ∴30A ∠=°．∴4AB AC ==，∴12AO AC == 在Rt AOD △中，30A ∠=°，∴2AD =． ∴2BD =． ∴BD BC =．又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．第13题. 如图 ，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：CDF BGF △∽△；OCA （备用图）（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．答案：（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥， ∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，∴CDF BGF △∽△．（2） 由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC = ∴CDF BGF △≌△， ∴DF FG CD BG ==，又∵EF CD ∥，AB CD ∥，∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+． ∴22462BG EF AB =-=⨯-=， ∴2cm CD BG ==．第14题. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若20A BC '∠=°，则A BD '∠的度数为（ ）． A ．15° B ．20° C ． 25° D ．30°答案：C第15题. 如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）； （2）若∠BAD =60°， 该花圃的面积为S 米2． ①求S 与x 之间的函数关系式（要指出自变量x 的取值范围），并求当S =时x 的值；D C FE A BG D C F EA BGD A C B（第9题图）A '②如果墙长为24米，试问S 有最大值还是最小值？这个值是多少？答案：解：（1）∵AB =CD =x 米，∴40(402)BC AB CD x =---米（2)①如图，过点B 、C 分别作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，在Rt △ABE 中，AB =x ．∠BAE =60° ∴AE =21x ．BE =23x ．同理DF =21x ，CF =23x ． 又402EF BC x ==-∴124021240AD AE EF DF x x x x =++=+-+=-∴S =21（40-2x +40-x )·23x =43x （80-3x )= =3203432+-x （0＜x ＜20) 当S =393时，3203432+-x =393 解得：1x =6，2x =3220（舍去）．∴6x =（8分）②由题意，得40x -≤24．解得x ≥16，结合①得16<20x ≤由①，S=3203432+-x =33400)340(3432+--x∵a =433-＜0， ∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如右）． 其对称轴为x =340，∵16＞340．由左图可知， 当16≤x ＜20时，S 随x 的增大而减小．∴当x =16时，S 取得最大值． 此时S 最大值=312816320163432=⨯+⨯-．第16题. 已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D 、C 不重合），点E 、F 、G 分别是线段BC 、PC 、BP 的中点． （1）试探索四边形EFP G 的形状，并说明理由；（2）若∠A =120°，AD =2，DC =4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形？并加以证明.答案：解：（1）四边形EFPG 是平行四边形． 理由：∵点E F 、分别是BC PC 、的中点， ∴EF BP ∥．同理可证EG PC ∥．∴四边形EFPG 是平行四边形．（2）方法一：当3PC =时，四边形EFPG 是矩形． 证明：延长BA CD 、交于点M ．∵AD BC ∥，AB CD =，120BAD ∠=°，∴60ABC C ∠=∠=°． ∴60M ∠=°，∴BCM △是等边三角形．∵18012060MAD ∠=-=°°°，∴2AD DM ==． ∴246CM DM CD =+=+=．∵3PC =，∴3MP =，∴MP PC =，∴BP CM ⊥即90BPC ∠=°． 由（1）可知，四边形EFPG 是平行四边形， ∴四边形EFPG 是矩形．方法二：当3PC =时，四边形EFPG 是矩形．证明：延长BA CD 、交于点M ．由（1）可知，四边形EFPG 是平行四边形． 当四边形EFPG 是矩形时，90BPC ∠=°．∵AD BC ∥，120BAD ∠=°，∴60ABC ∠=°．∵AB CD =，∴60C ABC ∠=∠=°．∴30PBC ∠=°且BCM △是等边三角形．∴30ABP PBC ∠=∠=°，∴12PC PM CM ==． 同方法一，可得246CM DM CD =+=+=，∴1632PC =⨯=．即当3PC =时，四边形EFPG 是矩形．（其它方法可参照此答案给分）第17题. 如图，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点AA D PF C EG BA DPF CEGBM运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．答案：解：（1）如图，过B 作BG OA G ⊥于，则222212151016913AB BG GA +=+-=（）过Q 作，于H OA QH ⊥则QP ==要使四边形P ABQ 是等腰梯形，则AB QP =，即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）（2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。
等腰梯形性质定理和判定定理
已知:在梯形 已知 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC. 在梯形 中 ∥ ， ＝ 求证： 求证：∠B＝ ∠C . ＝ A D
B
E
F
C
作梯形的高AE、 作梯形的高 、DF
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC. 已知： 求证： AC＝BD. 求证：
A D
B
C
1.一个等腰梯形上下底之差等于一腰 一个等腰梯形上下底之差等于一腰 长,则下底的夹角为 则下底的夹角为 60° °
D
∴AB=DE ∵AB=DC,
B E
C
∴DC=DE. ∴∠1＝ ∴∠1＝ ∠C. ∴∠B＝ ∴∠B＝ ∠C.
证明: 证明 过D作DE∥AB,交BC于E. 作 ∥ 交 于
∵ AD∥BC,DE ∥AB, ∥
∵∠B＝ 且四边形ABED是平行四边形 是平行四边形. ∵∠ ＝ ∠1,且四边形 且四边形 是平行四边形
A
D
B
E
F
C
2.已知 在梯形 已知:在梯形 已知 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC. 中 ∥ ， ＝ ∠B＝４５°，ＡＤ＝１.８，ＢＣ＝６求梯形的面积． ＝４５°，ＡＤ＝１ ８，ＢＣ＝６求梯形的面积．
在同一底上的两个角相等的梯形是等 同一底上的两个角相等的梯形是 腰梯形
对角线相等的梯形是 对角线相等的梯形是等腰梯形
已知:在梯形 已知 在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝ ∠C. 在梯形 中 ∥ ， ＝ 求证： ＝ 求证：AB＝DC. A
1
D B
A
D
B E
C
E
F
C
过D作DE∥AB,交BC于E. 作 ∥ 交 于
作梯形的高AE、 作梯形的高 、DF
19-5梯形及等腰梯形的性质和判定
1、梯形定义 ：2、基本概念（如图）： 底：腰： 高：等腰梯形直角梯形3②等腰梯形同一底上的两个角 ．③等腰梯形的两条对角线 ．4、等腰梯形判定方法： 。
几何表达式：梯形ABCD 中，若 ，则 ． 【注意】等腰梯形的判定方法： 1、先判定它是梯形。
2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形． 梯形中位线性质： ． （强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．）例如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.分析:1、先证梯形ABCD是等腰梯形, 根据等腰梯形的性质得到AC=BD;2、再证四边形BECD是平行四边形,从而得到CE=BD,所以AC=CE..例1、.如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积.【变式练习】1.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF.(1)求证：AB=CF；(2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由.2.(2010广州白云山模拟,6)四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( )A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.平行四边形3.(2010天津塘沽模拟,6)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,)若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于(A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm)4.(2010浙江温州模拟,8)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,CD=5,则AD的长是(A.6B.5C.4D.35.如图是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区、②号区、③号区三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区种树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形，则①号区种__________________.花的面积是例2、1、已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）Array2 在梯形ABCD中，AD∥BC，MN是它的中位线。
等腰梯形的判定PPT
C
Q
B
练一练
1、已知：矩形ABCD中，点E、F在边AD上， AE=FD。 A E 求证：四边形EBCF等腰梯形。
F D
B
C
2、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠1=∠2。求证：四边形ABCD是等腰梯形。
A D
1 B
2 C
E
1、判断正误：
（1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. （2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形.
∵AB∥CD，AB≠CD ∴ 四边形ABCD是梯形 又∵AD=BC=3 ∴ 四边形ABCD是等腰梯形 梯形的证明
等腰梯形的判定：
2、判定定理： 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝∠C ， 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 A D 证明：过点D作DE∥AB交BC于点E ∵DE∥AB ∴∠1＝∠B. 1 又∵∠B＝∠C ∴∠1＝∠C B C E ∴ DC＝DE 过点D作DE∥AB 又 ∵ AD∥BC ， DE∥AB ∴四边形ABED为平行四边形. 交BC于点E ∴ AB＝DE 平移一腰是梯形 ∴ AB＝DC 常用的辅助线。 ∴四边形ABCD为等腰梯形.
（3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是 等腰梯形. （4） 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定 是等腰梯形. （5）对角互补的梯形一定是等腰梯形.
2.有两个内角是70度的梯形一定是等腰梯 形 .
3、下列说法中，错误的是（
）
A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形 是等腰梯形 B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC 1 求证：MN∥BC，且MN= （AD+BC） 2
《等腰梯形的判定》课件
等腰梯形的腰边上的角度相等。这是等腰梯形与其他梯形的一个重要区别。
底边平行
等腰梯形的底边是平行的。这也是梯形的一个基本性质。
对称性
等腰梯形具有对称性。可以从等腰梯形的对称性中推导出一些重要的结论。
例题演示
让我们通过一些例题来巩固所学的知识，深入理解等腰梯形的判定方法。
例题1
在这个例题中，我们需要判定给 定的四边形是否是等腰梯形。
例题2
这是另一个例题，我们需要使用 判定方法来确认这个梯形是否是 等腰梯形。
例题3
这个例题中的四边形看起来像是 一个梯形，但我们需要进行判定 来确认它是否是等腰梯形。
总结和提问
通过这个PPT课件，我们学习了梯形的定义和性质，以及判定一个梯形是否是等腰梯形的方法。大家有什么问 题吗？
1 什么是等腰梯形？
等腰梯形是指具有两条不 等的腰边的梯形。
2 如何辨别等腰梯形？ 3 等腰梯形示例
我们需要比较梯形的两条 腰边的长度，如果它们相 等，则该梯形是等腰梯形。
这是一个等腰梯形的示例， 其中腰边1和腰边2的长度 相等，所以它是一个等腰 梯形。
等腰梯形的判定方法
判断梯形是否是等腰梯形的步骤简单明了，我们将一步一步进行判定。
《等腰梯形的判定》PPT 课件
欢迎来到本次PPT课件《等腰梯形的判定》！在这个课件中，我们将深入探讨 梯形的定义、特性以及等腰梯形的判定方法。让我们一起来学习和探索吧！
梯形的定义和性质
梯形是一个四边形，具有两对平行边。我们将了解梯形的定义以及它的一些性质，例如对角线相等、底角相，顶角和底角之和为 180度。
梯形的性质
梯形的性质包括对角线相等、底 角相等等。这些性质有助于我们 判定一个四边形是否是梯形。
梯形的性质与判定-火箭
梯形的性质与判定一、知识梳理1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．特殊梯形的定义：（1）等腰梯形：两腰相等的梯形．（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．3．等腰梯形的性质：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；（2）从边看：等腰梯形两腰相等；（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．4．等腰梯形的判定：（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．二、易错点高效突破易错点：等腰梯形中识别全等三角形的对数例题1 如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对三、常见的重点与典型题1.考查等腰梯形的常见辅助线的作法【法一：平移对角线】例题1已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，DE∥AC，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD的长.活学活用1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，O是垂足，CE⊥AB于点E，试说明：2CE=AB+DC.活学活用2：课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积是450㎝²，则作对角线的竹条至少需（）㎝.A.230 B.30 C.60 D.260【法二：连接底边上的一个顶点与腰的中点并延长与另一底的延长线相交构造全等三角形】例题2如图，但E是梯形ABCD的腰AD的中点，且AB+CD=BC，试说明BE平分∠ABC.活学活用1：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，若△DEC 的面积为S ，则梯形ABCD 的面积为（ ）A.S 25B.2SC.S 47D.S 49活学活用2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB+CD=BC ，M 是AD 的中点，求证：BM ⊥CM.【法三：作高】例题3 如图，有两棵树，一棵树高8米，另一棵树高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠D=120°，对角线CA 平分∠BCD ，且梯形的周长为20，则AC= ，梯形ABCD 的面积为 .2.已知梯形四边的长度，确定图形的形状和面积例题4 （2002，全国竞赛）用长1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 .活学活用：以线段a =16,b =13为梯形的两底，c =10，d =6为腰画梯形，这样的梯形（ ）A.只能画出一个B.能画出2个C.能画出无数个D.不能画出3.抓住平行四边形面积不变和作高的综合应用例题5 四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，AF 和DE 相交成直角，AG=3㎝, DG=4㎝，平行四边形ABED 的面积是36㎝²，则四边形ABCD 的周长为（ ）㎝.A.49B.43C.41D.464.证两线段的和等于第三条线段的长度例题6 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，BG ⊥CD 于点G .若点P 在BC 上，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证:PE+PF=BG .5.考查等腰梯形的判定条件例题7 在梯形ABCD 中，AD//BC, E 为BC 中点，EF ⊥A B ，EG ⊥CD ，EF=EG .求证：梯形ABCD 为等腰梯形.活学活用1：在梯形ABCD中，AD//BC，∠ACB=∠DBC.求证:梯形ABCD是等腰梯形.活学活用2：在锐角△ABC中, AD⊥BC于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点,求证:四边形DEFG是等腰梯形.6.梯形中的动态问题例题8如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3㎝，∠C=60°，BD⊥CD.（1）求BC、AD的长度；（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1㎝/秒的速度运动，当P、Q分别分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围（不包含P在B、C两点的情况）.活学活用：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24㎝,BC=26㎝，动点P从A开始沿边AD向D以每秒1㎝的速度运动，动点Q从C开始沿CB边向B以每秒3㎝的速度运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形；（2）四边形PQCD会为等腰梯形吗？说明理由.四、中考与竞赛在线1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10㎝，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设E为CG的中点，F是AB的中点，则EF的长为㎝.2.如图，已知直角梯形ABCD中，底角∠B=60°，对角线AC平分∠BAD，上底为1㎝，求梯形的面积.3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形的面积为49㎝².求梯形的高.4.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=8㎝，BD=6㎝，求梯形的高.5.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC.（1）若AD=5,BC=11，梯形芳容高是4，求梯形的周长；（2）若AD=a,BC=b ，梯形芳容高是h ，求梯形的周长C ；（3）若AD=3,BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD.6.（2005，淄博）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC 、BD 相交于点E ，若AC ⊥BD ，BD=BC,求证：CE=21(AD+BC).7.（2009，北京19）如图，在梯形A B C D 中，904514B C AD BC ∠=∠===°，°，，，A D B C ∥，E 为AB 的中点，E F D C ∥交B C 于点F ，求EF 的长.A D BEC F。
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1、梯形定义 ：2、基本概念（如图）： 底：腰： 高：等腰梯形直角梯形3②等腰梯形同一底上的两个角 ．③等腰梯形的两条对角线 ．4、等腰梯形判定方法： 。
几何表达式：梯形ABCD 中，若 ，则 ． 【注意】等腰梯形的判定方法： 1、先判定它是梯形。
2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形． 梯形中位线性质： ． （强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．）例如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.分析:1、先证梯形ABCD是等腰梯形, 根据等腰梯形的性质得到AC=BD;2、再证四边形BECD是平行四边形,从而得到CE=BD,所以AC=CE..例1、.如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积.【变式练习】1.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF.(1)求证：AB=CF；(2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由.2.(2010广州白云山模拟,6)四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( )A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.平行四边形3.(2010天津塘沽模拟,6)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于( )A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm4.(2010浙江温州模拟,8)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,CA 平分∠BCD,CD=5,则AD 的长是()A.6B.5C.4D.35.如图是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区、②号区、③号区三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区种树，已知图中四边形ABCD 与四边形EFGH 是两个相同的直角梯形，则①号区种花的面积是__________________.例2、1、 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ．（延长DE 交CB 延长线于点F ，由全等可得结论）2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是它的中位线。
（1）若AD=4，BC=8，梯形的高AE=5，则S 梯形ABCD =____.（2）若MN=6，梯形的高AE=5，则S 梯形ABCD =_____。
3. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＜AC ，AD ⊥BC ，交BC 与点D ，E 、F 、G 分别是BC 、CA 、AB 的中点。
求证：四边形DEFG 是等腰梯形。
GFE DCBA【变式练习】1. 如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形面积是49 cm2，则AF=_____________.2.如图,在梯形ABCD中，已知AB∥CD，点E为BC的中点，设△DEA的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，则S1与S2的关系为________________.3.如图,在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，试判定四边形AEBC的形状，并证明你的结论.4.(2010深圳模拟,18)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°.(1)求证:BD⊥DC;(2)若AB=4,求梯形ABCD的面积.5.如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.（1）求证：△ABM≌△DCM.（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论.（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.例等腰梯形的判定错证: 证明两边相等或两角相等即可.正确证法: 1、先判定它是梯形。
2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5（综上所述：解决梯形问题就是通过添加辅助线，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题来解决．）1.(2010福建泉州模拟,4)下列命题中,是假命题的是( )A.四条边都相等的四边形是菱形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形2.如图,四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，则AC=__________，∠BAD=_________，∠BCD=_________________，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为__________________.3.已知等腰梯形的一个内角为100°,则其余三个角的度数分别是____________________.4.如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数.5.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是( )A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形6.(2010四川攀枝花模拟,6)若等腰梯形两底之差等于一腰的长,那么这个梯形一内角是( )A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2010四川成都模拟,14)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O.如下四个结论:①梯形ABCD是轴对称图形;②∠DAC=∠DCA;③△AOB≌△DOC;④△AOD∽△BOC.请把其中正确结论的序号填在横线上:____________________.7.观察下图所示图形并填表:( )A.3B.12C.15D.198.如图,已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=DB，AD≠BC.求证：四边形ABCD是等腰梯形.1．等腰梯形的腰长为2，下底长为6，腰与下底的夹角为45°，•则梯形的上底长为________．2．如图，梯形ABCD中，对角线AC交中位线EF于G，EG：GF=3：2，EF=15cm，则AD=_____．3．顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是_________．4．已知等腰梯形的腰等于它的中位线的长，周长为24cm，则腰长为（）．A．6cm B．7cm C．8cm D．以上结果都不对5．已知，直角梯形的一条腰长为5cm，这腰与底成30°的角，则这梯形另一腰的长为（）．A．10cm B．5cm C．2.5cm D．7.5cm6． ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB、•BC的长是_______．7．矩形两条对角线的夹角为60°，较短的边长3.6cm，则对角线长为_______．8．菱形ABCD的对角线AC、BD•相交于O，•∠ABC=•120•°，•如果AB=•26cm，•则DO=_____cm．9．如果M是 ABCD中BC边的中点，且MA=MD，那么 ABCD是（）．A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．一般的平行四边形10．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于点E，如果△ABE的周长为20cm，AD=4cm，•那么梯形ABCD 的周长为（）．A．24cm B．28cm C．32cm D．36cm11．如图，在四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，BD=AC，BD和AC•相交于点O，MN分别与AC、BD相交于E、F，求证：OE=OF．12．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠BAC的平分线交BD于F，交BC于E，求证：CE=2OF．13．如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、•DQ•分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ 与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．14．已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，•试探索四边形ABCD可能是什么形状的四边形，并证明你的结论．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD，E、F、G、H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，•当梯形ABCD•满足什么条件时，•四边形EFGH是菱形．16．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC•边上的点，将直角梯形ABCD沿对角线BD 折叠，使△ABD与△EBD重合，（如图中阴影所示），若∠A=120°，AB=4cm，求梯形ABCD的高CD的长．17．已知直角梯形的高度是15cm ，上底是3cm ，下底为11cm ，求此直角梯形的周长与面积．18．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC ⊥BD ，若， 求：（1）对角线AC 的长；（2）梯形ABCD 的面积．19.（08恩施）已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm 2． 20.（08白银）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ） A ．110° B ．115° C ．120° D ．130° 21.（08绍兴）如图，沿虚线EF 将ABCD 剪开，则得到的四边形ABFE 是（ ） A ．梯形B．平行四边形C ．矩形D ．菱形22．如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，AE=ED ， 求∠EBF 的度数.23. 已知：如图，Ｄ是⊿ABC 的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证：（１）⊿ABC 是等腰三角形（２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形AFDEBADCFBA E。