梯形及等腰梯形的性质和判定

1、梯形定义 ：

2、基本概念（如图）： 底：

腰： 高：

等腰梯形直角梯形

3②等腰梯形同一底上的两个角 ．

③等腰梯形的两条对角线 ．

4、等腰梯形判定方法： 。

几何表达式：梯形ABCD 中，若 ，则 ． 【注意】等腰梯形的判定方法： 1、先判定它是梯形。

2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形． 梯形中位线性质： ． （强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．）

例如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.

分析:1、先证梯形ABCD是等腰梯形, 根据等腰梯形的性质得到AC=BD;

2、再证四边形BECD是平行四边形,从而得到CE=BD,所以AC=CE..

例1、.如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积.

【变式练习】

1.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF.

(1)求证：AB=CF；

(2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由.

2.(2010广州白云山模拟,6)四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( )

A.菱形

B.矩形

C.等腰梯形

D.平行四边形

3.(2010天津塘沽模拟,6)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于( )

A.10 cm

B.13 cm

C.20 cm

D.26 cm

4.(2010浙江温州模拟,8)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,CA 平分∠BCD,CD=5,则AD 的长是(

)

A.6

B.5

C.4

D.3

5.如图是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区、②号区、③号区三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区种树，已知图中四边形ABCD 与四边形EFGH 是两个相同的直角梯形，则①号区种花的面积是

__________________.

例2、

1、 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，DE ⊥CE ，

求证：AD+BC=DC ．（延长DE 交CB 延长线于点F ，由全等可得结论）

2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是它的中位线。

（1）若AD=4，BC=8，梯形的高AE=5，则S 梯形ABCD =____.（2）若MN=6，梯形的高AE=5，则S 梯形ABCD =_____。

3. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＜AC ，AD ⊥BC ，交BC 与点D ，E 、F 、G 分别是BC 、CA 、AB 的中点。

求证：四边形DEFG 是等腰梯形。

G

F

E D

C

B

A

【变式练习】

1. 如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形面积是49 cm2，则AF=_____________.

2.如图,在梯形ABCD中，已知AB∥CD，点E为BC的中点，设△DEA的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，则S1与S2的关系为________________.

3.如图,在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，试判定四边形AEBC的形状，并证明你的结论.

4.(2010深圳模拟,18)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°.

(1)求证:BD⊥DC;

(2)若AB=4,求梯形ABCD的面积.

5.如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.

（1）求证：△ABM≌△DCM.

（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论.

（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.

例等腰梯形的判定

错证: 证明两边相等或两角相等即可.

正确证法: 1、先判定它是梯形。

2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．

解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；

（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1 图2 图3 图4 图5

（综上所述：解决梯形问题就是通过添加辅助线，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题来解决．）

1.(2010福建泉州模拟,4)下列命题中,是假命题的是( )

A.四条边都相等的四边形是菱形

B.有三个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形

2.如图,四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，则AC=__________，∠BAD=_________，∠BCD=_________________，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为__________________.

3.已知等腰梯形的一个内角为100°,则其余三个角的度数分别是____________________.

4.如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数.

5.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是( )

A.正方形

B.矩形

C.等腰梯形

D.直角梯形

6.(2010四川攀枝花模拟,6)若等腰梯形两底之差等于一腰的长,那么这个梯形一内角是( )

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

6.(2010四川成都模拟,14)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O.如下四个结论:

①梯形ABCD是轴对称图形;

②∠DAC=∠DCA;

③△AOB≌△DOC;

④△AOD∽△BOC.

请把其中正确结论的序号填在横线上:____________________.

7.观察下图所示图形并填表:

( )

A.3

B.12

C.15

D.19

8.如图,已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=DB，AD≠BC.

求证：四边形ABCD是等腰梯形.