数列压轴题精选

1.数列{n b }满足1b =1，1+n b =2n b +1，

若数列{n a }满足1a =1， n a =n b （1

1

b +

2

1b +......

1

1-n b ）

（n ≥2且n *N ∈）. （1）求2b ，n b b b 及43,. （2）证明：

)2(1*

1

1

N n n b b a a n n n n ∈≥=+++且

（3）证明：)(3

10)11)......(11)(11(*

2

1

N n a a a n

∈<

+

+

+

2.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321

===a a a ，且

,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数

⑪求A 与B 的值；

⑫证明：数列{}n a 为等差数列； ⑬证明：不等式15>-

n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立

（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知

⎩⎨

⎧+=-+=--B A S S B A S S 21227323

12，即⎩⎨⎧-+-=+48228

B A B A 解得8,20-=-=B A .

(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 0)25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n

因为 n n n S S a -=++11

所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n

所以 02123=+-+++n n n a a a

所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列

（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证

15>-

n m mn a a a

只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，

16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，

故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，

因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m

所以命题得证

3.设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n

a a

b ，2132++++=n n n n a a a

c （n =1,2,3,…）

， 证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…） 证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则

0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n

所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.

又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c

1111632d d d d =++=（常数）（n =1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差

数列.

充分性，设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n =1，2，3，…）. 证法一：

①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c

,3221++++=n n n b b b ，

221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ 221232d b b b n n n -=++∴++， ③

从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④

④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤

0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ，

∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n

由此 不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则 （常数）. 由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++， 从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++， 两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++， 因此),3,2,1)((2

1)(2

132311 =+=

=-=

-++n d d d c c a a n n n n 常数，

所以数列}{n a 是等差数列.

证法二：令由,1n n n a a A -=+,3121++++-≤-≤n n n n n n a a a a b b 知

从而).,3,2,1(,2231 =≥-≥-++++n A A a a a a n n n n n n 即 由32112132,32++++++++=++=n n n n n n n n a a a c a a a c 得)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ，即

22132d A A A n n n =++++. ⑥

由此得243232d A A A n n n =+++++. ⑦ ⑥－⑦得0)(3)(2)(42312=-+-+-+++++n n n n n n A A A A A A . ⑧ 因为0,0,042312≥-≥-≥-+++++n n n n n n A A A A A A ， 所以由⑧得).,3,2,1(02 ==-+n A A n n

于是由⑥得， 22113224d A A A A A n n n n n =++=++++ ⑨ 从而.24422211d A A A A n n n n =+=++++ ⑩