高二数学数列的实际应用题(教师版)

学科教师辅导讲义

解得n =9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量.

评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.

例2、在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种.

根据上述条件，试问：

（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）

（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是

比选择第一种方案多加薪？

解析：（1）第10年末，依第一方案得 1000+2000+…+10000=55000（元） 依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元） ∵63000－55000=8000（元） ∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元.

（2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+…+n ）=500n （n+1）（元） 依第二方案，得：a （1+2+3+…+2n ）=an （2n+1） 由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立 即a>

31000

32502501225025012)1(500=

+≥++=++n n n .

∴当a>3

1000时，总是第二方案加薪多.

例3、下表给出一个“等差数阵”：

4 7 （ ） （ ） （ ） … a 1j … 7 12 （ ） （ ） （ ） … a 2j … （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … a 3j … （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … a 4j … … … … … … … … … a i 1 a i 2 a i 3 a i 4 a i

5 … a ij … …

…

…

…

…

…

…

…

其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数. （1）写出a 45的值；

（2）写出a ij 的计算公式；

（3）证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积. 解析：（1）解：a 45=49.

（2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j =4+3（j －1）， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j =7+5（j －1）， ……

第i 行是首项为4+3（i －1），公差为2i +1的等差数列， 因此a ij =4+3（i －1）+（2i +1）（j －1）=2ij +i +j =i （2j +1）+j .

（3）证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i 、j 使得N =i （2j +1）+j ， 从而2N +1=2i （2j +1）+2j +1=（2i +1）（2j +1）， 即正整数2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积.

充分性：若2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N +1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，

54⎛⎫++ ⎪⎝⎭4.a =

2,),则操作

的等比数列，那么操作

++ (1)a