利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性

知识要点梳理

1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/

y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/

y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) /

y=f(x) 在这个区间内为减函

数。

那么在这个区间内/

y ≤0。

2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；

②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；

④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。）

疑难点、易错点剖析：

1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。

2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0，解不等式得x 的范围就是递增区间；③令f ′(x )＜0，解不等式得x 的范围，就是递减区间。

3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。

直击考点

考点一 求不含参数的函数的单调区间

考例1.求函数y =x 2

(1－x )3

的单调区间. 思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。

解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2

·(－1)

=x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2

·(2－5x )

令x (1－x )2

(2－5x )＞0，解得0＜x ＜

5

2. ∴y =x 2(1－x )3

的单调增区间是(0，

5

2) 令x (1－x )2

(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52

且x ≠1. ∵1x =为拐点，

∴y =x 2(1－x )3

的单调减区间是(－∞，0)，(

5

2

，+∞) 其函数的大致图像如下图：

锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f ’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，而12,5⎛⎫

∈+∞ ⎪⎝⎭

。 举一反三：

1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）

A ．),(1

+∞-e

B ．),(1

--∞e

C ．),0(1

-e D ．),(+∞e

答案：C

2.(05年广东高考题)函数3

2

()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 答案：D

解析：2

2

'36,360,0 2.y x x x x x =--<<<令解得

考点二 求含参数的函数的单调区间

考例2 ．（06山东卷）设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。 解：由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1

()(1),1

ax f x a x -=

≥-+ （1）当10a -≤≤时，'

()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，

（2）当0a >时，由'

()0,f x =解得1.x a

=

'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表

从上表可知

当1(1,)x a

∈-时，'

()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减. 当1(,)x a

∈+∞时，'

()0,f x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增. 综上所述：

当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.

当0a >时，函数()f x 在1(1,)a -上单调递减，函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增. 锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论. 举一反三： （06山东卷）设函数f(x)= 3

2

23(1)1, 1.x a x a --+≥其中 (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值.

解：由已知得 []'

()6(1)f x x x a =--，

令'

()0f x =，解得 120,1x x a ==-.

（Ⅰ）当1a =时，'2

()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增

当1a >时，()'()61f x x x a =--⎡⎤⎣⎦，'

(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：

从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增.