高考数学解题破题36计(138页)

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高考数学解题破题36计
第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范
［例题］将杨辉三角中的每一个数r n C 都换成分数r n C n )1(1
+，就得到一
个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可
以看出
r n x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++，其中=x . 令
221)1(1160130112131n n n C n nC a +++++++=
- ，则=
∞→n n a lim .
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点11
的主意.
［解Ⅰ］ 将等式r n x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++与右边的顶点三角形对应（图右），自然有21)1(1
=+r n C n 21)1(1=+x n C n 1111=-r n nC
对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1
对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.
［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.。