数值分析学期期末考试试题与答案(A)
数值分析期末考试和答案
数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析期末复习题答案
数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A
卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120年级专业学号姓名题号一2二三0四总分分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。
1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。
（改写为）19992001?）（ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、）（关，与常数项无关。
分）二、填空题（每空2分，共36_________.________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1.0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____.则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, .331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。
312?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数.(k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6.??)k(X .生的向量序列收敛的充分必要条件是AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵14?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
数值分析期末考卷
数值分析期末考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法？A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题（每题4分，共40分）1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。
2. 在求解线性方程组时，迭代法的收敛速度与______密切相关。
3. 牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。
4. 在数值积分中，复化梯形公式的误差为______。
5. 求解常微分方程初值问题，龙格库塔法的阶数取决于______。
6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。
7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时，每次迭代的方向为______。
8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。
9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。
10. 在求解非线性方程组时，牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。
三、计算题（每题10分，共60分）1. 给定数据点（1，2），（2，3），（3，5），（4，7），求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。
2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0，初始近似值为x0 = 2，计算前三次迭代结果。
武汉大学数值分析期末考试题目和答案
（2 分）
（2 分） （1 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 5 页）
八．证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 1. 证：该问题的精确解为 y( x) y0e
六．试用 Doolittle 分解法求解方程组：
5 6 x1 1 0 2 4 1 3 1 9 x 1 9（ 10 分） 2 6 3 6 x3 3 0 20 x1 2 x2 3x3 24 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 x1 8 x2 x3 12 的迭代格式，并 2 x 3x 15 x 30 2 3 1
故有 B 1.25 1 ，因而雅可比迭代法不收敛。 （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
0 0.5 0.5 B 0 0.5 0.5 0 0.5 0
其特征值为 1 0, 2 3 0.5 故有 B 0.5 1 ，因而雅可比迭代法收敛。
判断其是否收敛？（10 分）
y y 八．就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 （10 分） y (0) y0
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 2 页）
步 6：若 k<N,置 k:=k+1, μ:=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止 三． 解： （1）利用插值法加待定系数法： 设 p2 x 满足 p2 1 2, p2 2 4, p2 3 12, 则 p2 x 3x 7 x 6, （3 分）
复旦大学《数值分析》2023-2024学年第一学期期末试卷
10. 高斯消去法求解线性方程组的时间复杂度是： A. O(n) B. O(n^2) C. O(n^3) D. O(n!)
二、判断题（每题 2 分，共 20 分）
11. 二分法可以保证收敛但收敛速度较慢。（ ） 12. 龙贝格积分方法的优点是高精度。（ ）
13. 使用牛顿插值法插值时，增加节点会影响计算效率。（ ） 14. 在雅可比迭代法中，每一次迭代都使用前一次迭代的结果。
（） 15. 三次样条插值是保证插值函数在节点处二阶导数连续。（ ） 16. 使用 SOR 迭代法时，松弛因子 ω 的取值对收敛速度没有影
响。（ ） 17. 机器数是有限精度的数值表示法。（ ） 18. QR 分解用于求解特征值问题时，需要多次迭代。（ ） 19. 在数值计算中，舍入误差与计算机字长有关。（ ） 20. 高斯-塞德尔迭代法的收敛速度一般快于雅可比迭代法。（ ）
6. 数值微分中，误差一般分为： A. 截断误差和舍入误差 B. 系统误差和随机误差 C. 相对误差和绝对误差 D. 前向误差和后向误差
7. 以下哪种方法用于求解矩阵特征值？ A. 幂法 B. 反幂法
C. QR 分解 D. 以上都是
8. 在数值分析中，常用的误差衡量标准是： A. 绝对误差 B. 相对误差 C. 机器误差 D. 以上都是
29. 高斯消去法的步骤包括消元和____________。 30. 为了提高迭代法的收敛速度，常使用预处理方法和
____________。
四、简答题（每题 10 分，共 40 分） 31. 请简述数值分析的基本概念及其在科学计算中的重要性。 32. 试述数值积分中梯形公式和辛普森公式的基本原理和区别。 33. 请简述拉格朗日插值法的基本原理及其在实际应用中的优缺 点。 34. 试述迭代法求解线
计信081《数值分析》试卷A及答案
1《数值分析》考试试卷A适用专业：计信081 考试日期：2021年6月 试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100一、 填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于精确值229.0=x 有 位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =. 4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 .5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA ，_____________,__________2==AAF.6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ，其中迭代矩阵为 .二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( ).5、高次拉格朗日插值是常用的( ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( ).7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到2n+1次( ).8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( ).9、奇异矩阵的范数一定是零( ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( ).三、（10分）已给sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++822185141319615141321321321x x x x x x x x x七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性.八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式.（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.2《数值分析》试卷A 答案适用专业：计信081 考试日期：2021年6月 试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100一、填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有 2 位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =.(1,0) 4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 .()('1)(1n n n n n x f x f x x x ---=+)5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA ，____________,2==AAF.(6; 7; 5.477; 5.46)6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ，其中迭代矩阵为 .（U L D A U L D J J --=+=<-),(,1)(1ρ）二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( √ ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( Ⅹ ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( Ⅹ ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( √ ).5、高次拉格朗日插值是常用的( Ⅹ ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( √ ).7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到2n+1次( √ ).8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( √ ).9、奇异矩阵的范数一定是零( Ⅹ ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( Ⅹ ).三、（10分）已给sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值 及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差. 解：用线性插值计算：330365.00167.002.001892.0314567.0)3367.0()3367.0(3367.0sin 0010101=⨯+=---+=≈x x x y y y L截断误差：5111092.0)3367.0(3367.0sin )3367.0(-⨯≤-≤L R . 用抛物插值计算：Sin0.3367=0.330 374； 误差：62100132.20233.0033.00167.09493.061)3367.0(-⨯<⨯⨯⨯⨯≤R 四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米特插值公式，xx x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+-+-=∴-=---=-=---=-=----+=23222221011221010022101011)1(2)1()23()(,)1())(()(,)1())(()(),23())(21()(ββα五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.解：)(3)0(34)(3)(h f hf h h f hdx x f hh++-≈⎰- 具有3次代数精度.3六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++822185141319615141321321321x x x x x x x x x解：08.227,92.476,69.177;154,4,9,151300451601061514113620134001123321-==-=⇒=-=-==⇒=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==x x x y Ux y y y b Ly LU A七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x ， 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性. 解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵10928203.1)()32.08.0)(8.0(08.04.08.004.04.04.00)(21>=-+-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+=-J JJB B I U L D B ρλλλλ所以，雅可比迭代法不收敛. (2)高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵18.0)(672.0032.0064.016.004.04.00)(1<=≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=∞-BB U L D B s sρ 所以 ，高斯—赛德尔迭代法收敛.八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式. （1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.解：考虑5.10=x 的邻域[1.3,1.6].(1)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(2∈+=x x ϕ，1910.03.122)('23<=≈≤-=L x x ϕ，故迭代2111k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. (2)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[)1()(312∈+=x x ϕ，1522.0)3.11(36.12)1(32)('32322<=≈+⨯≤+=L x x x ϕ，故迭代3211+=+k k x x 在[1.3,1.6]整体收敛(3)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(∈-=x x ϕ，1)16.1(21)1(21)('23>->--=x x ϕ，故迭代111-=+k k x x 在[1.3,1.6]上整体发散.。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
江苏大学数值分析期末试题
50
80
100
求运动方程的S=at+b的 的最小二乘解：，
平方误差 =。
7、为求积公式： 具有最高的代数精确度，确定公式中的待定参数：。
8、用二分法求方程 在区间 内的根（要求精确到小数点后两位），则方程的根 ≈。
9、求方程 在x=1.5附近的根（要求精度 =0.0005）， ≈。
10、用弦截法求 在 =2附近的根，取初值 =2， =1.9（要求计算结果精确到四位有效数字）， ≈。
（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；
（2）指明求积公式具有的代数精度，并判断是否为Guass积分；
（3）用所求公式计算 。
八、（8分）对于方程 应用Newton迭代法，导出求 的迭代公式。
江苏大学试题第2页
3、求解线性方程组 的高斯—赛德尔迭代格式为；该迭代格式迭代矩阵的谱半径 __________；此方法敛散性。
4、设 ，则 =。（k≧8）
5、构造次数不超过4的多项式 ，使满足插值条件： ，
则 =。
6、以下数据是观测物体的直线运动得到的：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
江苏大学试题第1页
二、（12分）已知方阵 ，
(1)证明：A存在唯一的分解，并给出A的Doolittle分解；
(2)用上述分解求解方程组 ，其中 。
三、（10分）设线性方程组 ，
用高斯—赛德尔迭代法解次方程组，要求当 时终止迭代。
四、（10分）给定数据表：
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0000
《数值分析》2018-2019学年第二学期期末考试A卷
河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。
A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。
A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。
A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。
（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。
A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。
２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。
３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。
数值分析课程考试试卷(A)及答案
《 数值分析 》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。
2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
《数值分析》2019-2020学年第一学期期末试卷
吉林大学《数值分析》2019-2020学年第一学期期末试卷一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 已知近似值1x ，2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x +B. ()()12x x +C. ()()1122x x x x +D. ()()12x x2. 已知求积公式()()211211()(6362)f x dx f Af f ≈++∫，则A ＝（ ） A ． 16 B. 13 C. 12 D. 233. 已知，则化为2112A ⎡⎤=⎢⎣⎦⎥A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝（ ） A ．6πB.4πC.3πD.2π4. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ． 线性 B. 超越性 C. 平方 D. 三次5. 改进欧拉法的局部截断误差为（ ）A ． B. ()5O h ()4O h C. ()3O h D. ()2O h二、填空题（每小题3分，共15分）1. π的近似值3.1428是准确到 近似值。
2. 满足()a a f x x =，()b b x x =，()c f c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
3. 用列主元法解方程组时，已知第2列主元为()142a 则()142a ＝ 。
4．乘幂法师求实方阵 的一种迭代方法。
5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。
三、计算题（每小题12分，共60分） 1. 用已知函数表x 0 1 2y 1 2 5求抛物插值多项式，并求1()2f 的近似值。
2. 用紧凑格式解方程组 123410114130141x x x −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥3. 已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢=−⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎥⎥⎦) (1) 证明高斯－塞德尔法收敛；(2)写出高斯－塞德尔法迭代公式； (3) 取初始值，求出()(00,0,0TX=()1X4. 用复化辛卜公式计算积分4n =1011dx x +∫，并估计误差。
2020-2021学年第一学期数值分析期末试卷
一、选择题（每题2分，共20分）1、-324.7500是舍入得到的近似值，它有 《数值分析》2020-2021学年第一学期期末试卷()位有效数字。
(A)5(B)7(C)6(D)82、设某数x ，那么x 的有四位有效数字且绝对误差限是4105.0-⨯的近似值是（）。
（A）0.693(B)0.6930(C)0.06930(D)0.0069303、用1+x 近似表示e x 所产生的误差是()误差。
(A)模型(B)观测(C)截断(D)舍入4、已知330221224()()()x x S x x a x b x ⎧≤≤=⎨-+-+≤≤⎩是三次样条函数，则,a b 的值为()。
(A)6，6(B)6，8(C)8，6(D)8，85、形如112233()()()()b af x dx A f x A f x A f x ≈++⎰的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）。
(A)9(B)7(C)5(D)36、为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()。
(A)11:,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式(B)21211:,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C)3/12123)1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式(D)11:,122123+++==-+k k k k x x x x x x 迭代公式7、用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+-134092143321321321x x x x x x x x x ，第1次消元，选择主元为()。
(A)－4(B)3(C)4(D)－98、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx xk k +=+)()1(收敛的充要条件是（）。
(A)1)(<A ρ(B)1)(<B ρ(C)1)(>A ρ(D)1)(>B ρ9、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则谱半径)(A ρ为()．(A)2(B)5(C)3(D)710、求方程025.12=--x x 的近似根，用迭代公式25.1+=x x ，取初值10=x ，则=1x （）（A）1(B)1.25(C)1.5(D)2二、当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,用拉格朗日插值法求()f x 的二次插值多项式。
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期末考试试卷(A 卷)2007学年第二学期 考试科目：数值分析考试时间：120_分钟学号 _____________ 姓名 ____________ 年级专业 ________________100011.用计算机求1100时，应按照n 从小到大的顺序相加。
n z ⅛n2.为了减少误差，应将表达式• 20011999改写为进行计算。
()√2001 +√19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
()4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
()5.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
() 二、填空题(每空 2分，共36分)1. ___________________________________________________ 已知数a 的有效数为0.01 ,则它的绝对误差限为 ____________________________________________ ,相对误差限为 ___________一10 -n - 0 12.设 A = 021 ,χ =-5,则 I A^,χ∣2 =J AXlL—1 3 0 一 ■ 一1一3.已知 f (X) =2X 54X3-5x,则 f [-1,1,0] =, f[-3,-2, -1,1,2,3] =_.14.为使求积公式 j f (x)dx A ∣ f (A= _______ , A= ________ , A^= _______ ,此时公式具有 ___________ 次的代数精度。
5.n 阶方阵A 的谱半径?(A)与它的任意一种范数A 的关系是 _________________________ .6.用迭代法解线性方程组 AX =B 时，使迭代公式 X (jI)=MX (Iυ∙ N (k = 0,1,2,∣ll)产生的向量序列IX (k)[收敛的充分必要条件是 ____________________________ . 7.使用消元法解线性方程组 AX =B 时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩-^) A 2f (0) A 3f (f)的代数精度尽量高，应使4 -21阵U的乘积，即A = LU .若采用高斯消元法解AX=B ,其中A ,则＞1」L= _______________ , U=__________________ ;若使用克劳特消元法解AX=B ,则U11二—；若使用平方根方法解AX =B ,则I11与u11的大小关系为_____________ (选填：＞，＜，=,不一定)。
V=X 亠V8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题《' y的数值解，其迭代公式为I V(O) = 1三、计算题(第1〜3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分)31.以X0=2为初值用牛顿迭代法求方程 f (X) =X -3x-1 =0在区间(1,2)内的根，要求(1 ) 证明用牛顿法解此方程是收敛的；(2) 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根(只需计算X1,X2,计算结果取到小数点后4位)。
2. 给定线性方程组X10.4 X20.4x3 = 10.4x1x20.8x3= 20.4x10.8x2X3= 3(1)分别写出用JaCobi和GaUSS-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式;(2)试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3. 已知函数^f(X)在如下节点处的函数值(2) 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P J(X),并计算y(1.1)的近似值;(3) 采用事后估计法计算(2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数) 。
5.已知函数y = f (X)在以下节点处的函数值，利用差商表求 f (3)和f “(3)的近似值。
6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。
* 2 2Jy=X +y(0<x <1, h=0.2)y(0) = 0四、（8分）已知n+1个数据点（χi, yj（i =0,1,2,IH ,n）,请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
期末考试答案及评分标准(A卷)2007学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题：(每小题2分，共10分)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×二、填空题：(每空2分，共36分)21. 0. 00或0.5 10 ，0.52. 5,' 26,153. 0,24. 1,0,1,36. T(M) ：：1^1 017._28. y e y n (X n y n I(I X n y或yn1"5xn 2∙5yn°.5,n",12 川三、解答题(第1〜4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分)1. (1)证明：f(x)=χ3-3x-1 ,由于a) f (1) = 一3 ：：0, f(2) =1 0,b) f (x) =3x2-3 = 0 (X (1,2)),C) f (x)=6x 0 (X (1,2)),即f (X)在(1,2)上不变号,d) 对于初值X0=2 ,满足f (2) f (2) 0,所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
............................ 4分(2)解：牛顿迭代法的迭代公式为3- 0.960.256 = 0,即卩(一 0.8)(0.4 0.505)( 0.4— 0.505)=0 ,从而得 ∙1 =-1.0928, ∙2 = 0.8000, '3 = 0.2928 ,（或由单调性易判断必有一个大于 1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1 ,所以JaCObi 迭代法发散。
.................... 2分λ 0.40.4GaUSS-SeideI 迭代矩阵的特征方程为0.4乙 λ 0.8 = 0 ,展开得 0.4人 0.8 扎 λ（2 - 0.8320.128） =0 ,解得 1 =0, 2 0.628, 3 0.204,迭代矩阵的谱半径小于1 ,所以GaUSS-SeideI 迭代法收敛。
........................................ 2分 3.解：（1）建立差分表X n A = X nf(X n ) X ；-3X n-AX n2-f (X n )3X ；-3取初值X 。
=2进行迭代，得X t = 1.8889,................... 1分x 2 = 1.8795..................................................... 1分2. 解：(1) JaCObi 迭代公式为「(k÷) X i * x 2k^)(k*)X 3二-0.4x 2k) --0.4 X I k)--0.4X Ik)-0・4x 3k) -0・8x 3k)-0.8 X^k)GaUSS-Seidel 迭代公式为(k 1)X i(k 1)X 2(k 1) X 3(k)10.4x2 (k 1) -0.4X 1(k 1)-0.4X ι0.4x 3k)1 -0.8x 3k)2-0.8x 2k I)(2 ) JaCobi 迭代矩 方程为•=. 8 ,展(2) 建立牛顿后插公式为32P (Xr Q -I (X-2)- - (x-2)( X -1)=-3(x-2)-(x- 2)(x-1)一 χ24则所求近似值为P 2 (1.1) = 2.79............................ 3分(3) 根据前三个节点建立牛顿后插公式为14P 2(I)(X)= 3--(X-1)--(X- 1)x=3- (X-1)- 2 x(x_1)2--2X X 4则Py(1.1) = 2.68根据事后误差估计法R 2(Xr : 1 P 2 (0.9)- P 2(I)(0.9)故截断误差-0 9R 2(1.1)(2.79 -2.68) ： -0.04713分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为2B(X)=a 。
■ CI l X a 2x .根据已知数据，得j 1 M =1 JT0 1 2n1，A 4a 1 ,Y:a 2J4 2 6 82 6 8 ,M Y = 46 8 18 .65.解：设F2(X)为已知节点数据的插值二次多项式。
构造如下差商表:因为二次多项式的二阶差商为常数，又F2(X)是f (x)的插值函数，故有5 P2[4,3,3]=P2[3,3,3] =2因此得P2[4, 3,3]=P2[3,3]-7 53 -4 2建立法方程组为■42'66 I a o I8 aι =18 a?药4L6J解得a0 = 3.5, a∣=1.5, a2 ^ -1.5.从而得所求一次最小平方逼近多项式为R(X)= 3.5 +1.5X-1.5X2.1分2分1分1分9P2[3,3]=;，2.............................. 1分由于f(k)(x) k! P n[χ, X, χ,∣ll,χ],k 1从而得9f (3) = P2[3, 3]=-,f (3)= 2!P2[33,3] = 5.2分2 26.解：前进欧拉公式：y n 4 = y n ∙ h ∙f (X n, y n) = y n ∙....... 0.2X n0.2丫“ 1 分2 2后退欧拉公式：y n y n h f (X n ι,y n 1)= Yn 0∙2X n 1 0纫1预估时采用欧拉公式* 2 2Y n 1 = Yn 0.2X n 0.2丫.校正时采用后退欧拉公式2 * iY n ^y n- 0.2X n 1 0.2 头 1由初值X0=Qy0=Qh = 0.2知，节点分别为X=0.2i, (i =1,2,3,4,5)当X1 -0.2,2 2Y1 = y°0.2X0 O.2y o =0,2* 2y1 = y° +0.2X1 +0.2( % )H 0.008，当X2 = 0.4,* 2 2Y2 = y√ 0.2X1 0.2y1 0.0160,2 * 2y 2 = y ι 0.2 X 2 0.2 y 2* 2 2y 5 = y 4 0.2x 4 0.2y 4 0.3884,2* 2y 5 = y 4 0.2 X 5 0.2 y 5 0.4783.四、(8分)答：1、可以建立插值函数： (1) NeWton 基本差商公式P n (X)=f(x °) (X x )f[X 1 ,X 0 ] (X-X ° )(x-%)f[X 2 ,x 1 ,X 0 ] Hl(X-X )(x - X 川 ∣(x -Xn J f [Xn,∣∣∣, X ,X 0 ].................... 1分(2) Lagrange 插值多项式L n (X)=a 。