同济大学 大学物理 上学期 (5)

v an
O
θ
v aτ r
v
由此解得 aτ =
an =
g t
2 v0 + (gt ) 2
2
v g
x
v0 g
2 v0 + (gt )2
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质点力学
填空题5. 有一倔强系数为k的轻质弹簧竖直放置,其下 端挂有一质量为m的物体,初始时刻弹簧为原长,而物体 置于平地上.然后将弹簧上端缓慢地提起,直到物体刚好 脱离地面为止,在此过程中外力作功为 . 解: 设物体刚离开地面时弹簧伸长x0
25 3 3 I = ∫ F d t = ∫ 25t d t = t = 225 N⋅ s 0 0 3 0
3 3 2
由动量定理 I = mv-0
225 v1 = = 0.9 m⋅ s −1 m1
225 v2 = = 0.45 m⋅ s −1 m2
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质点力学
填空题7. 如图所示,倔强系数为k的弹簧,一端固定在 墙壁上,另一端连一质量为m的物体,物体与桌面间的摩 擦系数为μ.物体静止在坐标原点O,此时弹簧长度为原 长.若物体在不变的外力F作用下向右移动,则物体到达 最远位置时系统的弹性势能EP= . 解: 据动能定理
一、选择题 r 选择题2. 质点作曲线运动, r表示位置矢量,s表示路程,
v Δr
v rB
Δr
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质点力学
选择题5.一质点沿直线运动,其速度为 v = v0 e − kt (式中 k、v0为常量).当t = 0时,质点位于坐标原点.则此质点的 运动方程为：
v0 −kt (A) x = k e
大作业题解
质点力学
质点力学
τ 表示切向.下列表达式中,正确的表达式为：
dr dv =v =a (A) (B) dt dt r ds dv (C) (D) = aτ =v dt dt 解: r v 2r r v dv d r r r r dr a= = 2 = aτ + an v = = veτ d t dt dt v rA r v dv 2 2 = a = aτ + an dr ≠ dr O dt
−2
。
解: v = v + v = 36 + 64t
aτ 1 1 d dv d 2 2 (64t ) aτ = = 36 + 64t = 2 36 + 64t 2 d t dt dt 1 1 = × 2 × 64t 2 36 + 64t 2 r r r r r dv an = a2 − aτ2 = 82 − 6.42 = axi + a y j = 8 j a= dt
L
v
v=
g 2 [( L − h 2 ) − μ ( L − h ) 2 ] L
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质点力学
4.一辆质量为M小车静止在光滑的水平面上,现有一 质量为m的物体以速率v0沿水平方向射入车上一个光滑 弧形轨道,如图所示.求物体沿弧形轨道上升的最大高 度h,以及此后物体下降离开小车时的速率v. 解：(1) 动量守恒和机械能守恒
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质点力学
解二：由牛顿运动定律求解来自μL-hO
m m yg − μ ( L − y ) g = ma L L
dv dv d y dv a= = ⋅ =v d t dy d t dy
h
y
1 ⎡1 ⎤ ∫ ⎢ L g − μ L ( L − y) g ⎥ d y = ∫ vdv ⎦ 0 h⎣
m h E0 = − hg × L 2
L
1 2 L E = mv − mg 2 2
L-h
h
m μmg Af = − ∫ f d s = ∫ − μ g ( L − y ) d y = − ( L − h) 2 L 2L h
y
由 Af = E − E0
v=
g 2 [( L − h 2 ) − μ ( L − h ) 2 ] L
(B)
v0 (C) x = (1 − e −kt ) k
v0 x = − (1 − e −kt ) (D) k
v0 −kt x=− e k
dx 解: v = = v0 e −kt dt
d x = v0 e d t
v0 −kt t v0 −kt v0 x = − e = − e − (− ) 0 k k k
dv d v dθ − μN = m =m ⋅ dt dθ d t
v0
m
f
r v0
N
∫
v
∫
0
v = v0 e
−μ π
1 2 1 1 2 2 A = mv − mv0 = mv0 (e −2 μ π − 1) 2 2 2
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质点力学
3. 一粗细均匀的不可伸长的柔软绳子,一部分置于水 平桌面上,另一部分自桌边下垂,如图所示.已知绳全长 为L,开始时下垂部分长为h,绳的初速度为零.试求整根 绳全部离开桌面时瞬间的速率.(设绳子与桌面之间的滑 动摩擦系数为μ ) O μ 解一：由功能原理求解
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− kt
∫d x = ∫v e
0 0 0
x
t
−kt
dt
质点力学
选择题8. 对质点组有以下几种说法： (1) 质点组总动量的改变与内力无关； (2) 质点组总动能的改变与内力无关； (3) 质点组机械能的改变与保守内力无关. 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的； (B) (1)、(3)是正确的；
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质点力学
填空题4. 一颗子弹以水平初速度v0射出,作平抛运 动.忽略空气阻力,子弹在任一时刻t的切向加速度 aτ = ,法向加速度an = . 解: 设任意位置质点速度与竖直方向成θ角 2 2 2 y v0 an = g sin θ a +a = g
τ n
aτ = g cos θ
an v x tan θ = = aτ v y
m v 0 = (m + M )V 1 1 2 m v 0 = (m + M )V 2 + mgh 2 2 2 Mv 0 解得 h = 2 g (m + M )
M
v0
m
(2) 设V′为物体离开小车时小车的速度
1 2 1 2 1 m−M mv0 = mv + MV ′ mv0 = mv + MV ′2 v = v0 2 2 2 m+M
(C) (1)、(2)是正确的； (D) (2)、(3)是正确的.
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质点力学
二、填空题
填空题2. 一质点在xoy平面内的运动方程为x=6t, y=4t2-8 (SI).则t = 1s时,质点的切向加速度aτ = 6.4 m⋅ s
2 x
−2
,法向加速度 an = 4.8 m⋅ s
2 y 2
(3) a n = aτ
t=
3
1 = 0.55 s 6
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质点力学
2. 在光滑的水平面上放置一固定的半圆形屏障,有一 质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向射入屏障一端, 如图所示.设滑块与屏障之间的摩擦系数为,求滑块从 屏障另一端滑出时,摩擦力所作的功. 解：滑块在屏障内受重力、平面支撑 力、屏障约束力N、摩擦力f v2 vR ω N =m =m v π dv R R ⇒ = −μ d θ
kx0 = mg
mg x0 = k A=∫
x0 0
1 2 k x d x = kx0 2
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质点力学
填空题6. 在光滑的水平面上有两辆静止的小车,它们 之间用一根轻绳相互连接,设第一辆车和车上的人的质 量总和为250kg,第二辆车的质量为500kg,现在第一辆车 上的人用F=25t2N的水平力拉绳子,则3秒末第一辆车的 速度大小为 ,第二辆车的速度大小为 . 解:
∫
x
0
( F − kx − μmg ) d x = 0
k
m O
F x
1 2 Fx − kx − μmgx = 0 2
2( F − μmg ) x= k
E k max
1 2 2( F − μmg ) 2 = kx = k 2
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r r kr 填空题8. 一个质量为m的质点,今受到力 F = 3 的作 r r 用,式中k为常数, r 为从某一定点到质点的矢径.该质点 在r=r0处被释放,由静止开始运动,则当它到达无穷远时 的速率为 .
dθ = 12t 2 ω= 解: dt
an = Rω = 14.4t
2
4
dω aτ = R = 2.4t dt
2 (1) t = 2s时,v = Rω = 4.8m⋅s-1, a = aτ2 + a n = 230.5 m⋅s-2
2 (2) 2aτ = aτ2 + a n
3aτ = a n
θ = 2 + 4t 3 = 3.15 rad
解: 由功的定义
质点力学
A=∫
∞
r 0
r r k F ⋅d r = r0
1 A = mv 2 − 0 由动能定理 2
解得
v =
2
2k mr0
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质点力学
三、计算题
1. 一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置 θ = 2 + 4t 3(SI), 求(1)在t = 2s时,它的速度、加速度的大小各为多少? (2) 当切向加速度的大小恰好是总加速度大小的一半时,θ 值为多少? (3) 在什么时刻,切向加速度和法向加速度恰好大小相等?
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