梁的弯曲应力和强度计算

88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
M ql 2 201.22
max
2
2
14.4kN m
（2）计算截面的惯性矩
IZ

BH 3 12
bh3 12
736cm4
（3）计算应力
s 外max

M max IZ
H 2
14.4 106 736104
12 10 2
117.4MPa
第六章 梁 的 弯 曲 应 力
一、引言
1、弯曲应力的组成
Q
t
Q
M
s
2、应力、内力的关系
tdA Q s dA y M
二、纯弯曲梁横截面上的正应力
1、纯弯曲概念
CD段：Q＝0 M＝0
t0 s0 Q
纯弯曲
AC 、BD段： Q＝0 M＝0
t0 s0
剪切弯曲（横力弯曲）
2、实验现象与假设 （1）实验现象

M max WZ
s
s
② 设计截面
WZ

M max
s
③ 确定许可荷载 M max WZ s
安全 不安全
例、矩形截面外伸梁，所受荷载如图，截面高为250mm，
宽为100mm。已知[s] =40MPa, 试校核梁的强度。
解： 1、作内力图，求最大弯矩
M max
s max
M max WZ

M max bh2
6
9MPa
二、弯曲梁的正应力强度计算
1、正应力强度条件 （1）上下对称截面
h
b
对于脆性材料 [s+ ]< [s- ]，为节约材料，以达到充分 利用，常设计成上下不对称截面。
（2）上下不对称截面
2、正应力强度计算
三方面强度计算
① 校核强度
s max
h b
圆形：
z
D
空心圆截面：
外径为D，内径为d, d
D
WZ

IZ ymax

64
D4 d 4 D
D3 1 4
32
2
例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨
l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm， B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。
弯曲正应力计算
三、计算题
6、简支梁受集中力P=20kN作用，梁截面形状，尺寸如图，它 的轴惯性矩为IZ=7.6×106mm4，试求此梁最大拉应力。
解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩
Mmax 7.5kN m
（2）计算最大拉应力
因危险截面的弯矩为正，故截面下端受
最大拉应力：
s T max

M max IZ
如图所示一圆形截面木梁，木材的容许应[σ]=10MPa，试 选择圆木的直径d。
解：（1）作弯矩图
Mmax 3kN m
（2）求直径d
s max
M max WZ

32M max
d 3

s
d 3
32M max
s
145mm
取 d =145mm。
正应力强度计算 1.最大正应力：
内容回顾
2.弯曲正应力强度条件：
3.强度计算：三方面①校核强度 ②设计截面 ③许可荷载
4.步骤：
内力图
找危险截面
确定危险点
最大应力
Ⅱ新的问题 剪应力强度计算
三、弯曲剪应力
由于分布复杂，与截 面形状有关，故对不同截 面分别研究。
各层纵向纤维的线应变与该点距中性层距离成正比
〖2〗物理关系 弹性范围内，单向应力假设
横截面上的正应力沿截面高度成线性分布的规律
〖3〗正应力计算公式 Z轴（中性轴）——形心轴
梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：
M－所求截面的弯矩 y－所求应力到中性轴的距离 IZ－截面对中性轴的惯性矩
矩形：IZ =bh3/12 圆形： IZ =πD4/64
矩形截面外伸梁受力如图所示，已知材料的容许应力［σ］
=28MPa， P=38kN，M=10kN· m，试校核梁强度。
解：（1）作内力图
Mmax 14kN m
（2）校核梁的强度
s max
M max WZ

6M max bh2
31MPa s
∴ 不安全
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题
20kN.m
M max
10kN.m
2、求最大正应力
s在smm正axax、负MWM弯Wmz矩amxza作x用10下200，6截2150面06 抗2 弯 1模9量.2相M同Pa
3、校核强度
smax 19.2MPa s 40MP 安全
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题
s内max

M max IZ
h 2
14.4 106 736104
810 2
78.3MPa
弯曲正应力计算
一、填空题
11. 若梁的横截面上的内力只有弯矩作用，则称此梁为 __纯__弯__曲__梁，此时截面上只有____正____应力，而 ____切____应力为零。
一、单项选择题
14．矩形截面受纯弯曲作用的梁，横截面上的正应力分布 规律是（ D ）