2019年人教版高中数学必修二考点练习：与圆有关的轨迹问题含答案解析

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高中数学必修二圆与圆的位置关系答案解析版

4.2.2 圆与圆的位置关系（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【解析】圆C1的圆心是C1(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,则圆心距|C1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.【答案】D2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离【解析】由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,所以d=|r1-r2|.故两圆内切.【答案】C3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为（）A.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,当两圆外切时,r1+r2=10,所以r2=10-r1=10-4=6;当两圆内切时,|r1-r2|=10,即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),即圆B的半径为6 cm或14 cm.【答案】A4.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.【答案】C5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.4【解析】两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为（）A.(x-4)2+(y+3)2=16B.(x+4)2+(y-3)2=36C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切【解析】圆心距d =两圆半径的和为2+1=3, 两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C8.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a ,又公共弦长为,所以=解得2a =±. 【答案】A9.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为（）A .7B .6C .5D .4【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B★10.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭⎝⎭UD.⎛ ⎝⎭【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a <<,所以a <<a << 【答案】C二、填空题（每小题5分，共20分）11.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=012.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m= .【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45=,解得m=81.【答案】8113.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为 .【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB的距离d == 故公共弦AB的长为AB ===14.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切三、解答题（15-17每小题12分，18题14分，共50分）15.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,半径为2的圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以222291422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得32a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以圆心C的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所求圆的方程为22342x y ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.16.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=. ① 若两圆外切,123=+=. ② 由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,211=-=. ③ 由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.17.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1. 设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2=, 化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥). ★（附加题）18.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r . 因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=, ①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。

2018-2019学年高中数学必修二人教A版练习：4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用 Word版含解

4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用【选题明细表】1.(2018·陕西西安高一期末)两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( B )(A)相离(B)相交(C)内切(D)外切解析:把x2+y2-8x+6y+9=0化为(x-4)2+(y+3)2=16,又x2+y2=9,所以两圆心的坐标分别为(4,-3)和(0,0),两半径分别为R=4和r=3,则两圆心之间的距离d==5,因为4-3<5<4+3即R-r<d<R+r,所以两圆的位置关系是相交.2.(2018·辽宁大连期末)已知圆C1:x2+y2-2x-4y+6=0和圆C2:x2+y2-6y=0,则两圆的位置关系为( B )(A)内含(B)内切(C)相交(D)外切解析:两圆的标准方程为(x-)2+(y-2)2=1,x2+(y-3)2=9,圆心坐标分别为C1(,2),C2(0,3),半径分别为r1=1,r2=3,则|C1C2|====2=3-1=r2-r1,即两圆相内切,故选B.3.两圆(x-a)2+(y-b)2=c2和(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则( B )(A)(a-b)2=c2 (B)(a-b)2=2c2(C)(a+b)2=c2 (D)(a+b)2=2c2解析:两圆半径相等,故两圆外切,圆心距d==|b-a|=2|c|,所以(b-a)2=2c2,即(a-b)2=2c2,故选B.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( D )(A)(x-4)2+(y-6)2=6 (B)(x±4)2+(y-6)2=6(C)(x-4)2+(y-6)2=36 (D)(x±4)2+(y-6)2=36解析:由题意知,半径为6的圆与x轴相切,且圆心在x轴上方.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则b=6,再由=5,可以解得a=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.故选D.5.(2018·浙江台州检测)台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区内的时间为( B )(A)0.5 h (B)1 h (C)1.5 h (D)2 h解析:如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区,取MN的中点E,连接BE,BN,BM,则BE⊥MN,BN=BM,△ABE为等腰直角三角形,因为AB=40 km,所以BE=20 km,在Rt△BEN中,NE==10(km),则|MN|=20(km),所以时间为1 h.故选B.6.(2018·郑州一中高一测试)圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0的公共弦的弦长为.解析:两圆相交弦所在的直线方程为3x-4y+6=0,圆x2+y2+2x-6y+1=0的圆心到直线3x-4y+6=0的距离d==,所以弦长为2=2×=.答案:7.求过点A(4,-1),且与圆C:(x+1)2+(y-3)2=5相切于点B(1,2)的圆的方程. 解:设所求圆的圆心M(a,b),半径为r,已知圆C的圆心为C(-1,3),因为切点B在连心线上,即C,B,M三点共线,所以=,即a+2b-5=0.①直线AB的方程为=,即x+y-3=0,所以AB的垂直平分线为x-y-2=0,圆心M在AB的垂直平分线上,所以a-b-2=0.②联立①②解得故圆心坐标为M(3,1),r=|MB|=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.8.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于两点.(1)求公共弦AB所在的直线方程;(2)求圆心在直线AB上,且经过A,B两点的圆的方程;(3)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程.解:(1)圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0的公共弦所在直线方程为x2+y2+2x+2y-8-(x2+y2-2x+10y-24)=0,即x-2y+4=0.(2)由解得或所以A,B两点的坐标分别为(-4,0),(0,2),中点坐标为(-2,1),则|AB|==2,故所求圆的圆心为(-2,1),半径为,所以圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.(3)经过A,B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆,与(2)的圆是相同的. 则所求圆的方程为x2+y2+4x-2y=0.9.(2018·山东泰安模拟)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A ) (A)5-4 (B)-1(C)6-2 (D)解析:两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C1′(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1′C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4.10.已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,即≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.答案:11.已知隧道的截面是半径长为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少?解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为x2+y2=16(y≥0).将x=2.7代入,得y==<3,所以,在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.将x=a代入x2+y2=16(y≥0),得y=,所以货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为m.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,由题意知,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤CD≤2+1,即1≤≤3.由5a2-12a+8≥0得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以圆C的横坐标a的取值范围为[0,].。

人教A版2019高中数学必修二学案：4.2直线圆的位置关系_含答案

4.2 直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系1．直线与圆有三种位置关系2.直线Ax ＋By ＋C ＝0代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ [点睛] 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)直线x ＋2y －1＝0与圆2x 2＋2y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是相交．( )答案：(1)√ (2)√2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1 B ．±12C ．±33D ．± 3解析：选C 设l ：y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1.∴k ＝±33. 3．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 5[典例] (1)已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2＋(y －1)2＝36，判断直线l 与圆C 的位置关系．[解] [法一代数法]由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝36，x －2y ＋5＝0消去y 后整理，得5x 2－50x ＋61＝0. ∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， ∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l 与圆C 相交． [法二几何法]圆心(7,1)到直线l 的距离为d ＝|1×7－2×1＋5|12＋－2＝2 5.∵d ＜r ＝6，∴直线l 与圆C 相交．[活学活用]1．直线x －ky ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相交或相切D ．相切解析：选C 直线x －ky ＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．2．设m ＞0，则直线l ：2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆的半径为r ＝m ，∵d －r ＝1＋m2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，∴d ≥r ，故直线l 和圆O 相切或相离．[典例] (1)若圆C ：＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)过点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，求切线l 的方程为________． [解析] (1)因为过圆外一点的圆的切线长l 、半径长r 和这点到圆心的距离d 满足勾股定理，即l 2＝d 2－r 2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C (－1,2)，半径长r ＝2，点(a ，b )在直线y ＝x －3上，所以点(a ，b )与圆心的距离的最小值即圆心到直线y ＝x －3的距离d ，易求d ＝|－1－2－3|2＝32，所以切线长的最小值为d 2－r 2＝22－2＝4.(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A 在圆外．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是x ＝－1，不满足题意．设直线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为y －4＝k (x ＋1)，即kx －y ＋4＋k ＝0.圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k －3＋4＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程y ＝4或3x ＋4y －13＝0. [答案] (1)C (2)y ＝4或3x ＋4y －13＝0[活学活用]1．圆x 2＋y 2＝4在点P (3，－1)处的切线方程为( ) A.3x ＋y －2＝0 B.3x ＋y －4＝0 C.3x －y －4＝0D.3x －y ＋2＝0解析：选C ∵(3)2＋(－1)2＝4，∴点P 在圆上． ∵切点与圆心连线的斜率为－33，∴切线的斜率为3， ∴切线方程为y ＋1＝3(x －3)，即3x －y －4＝0.2．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形PAOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形PAOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ，所以S 四边形PAOB ＝2×12|OA |·|PA |＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形PAOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为252－4＝8.答案：8[典例] 如果一条直线经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．[解] 圆x 2＋y 2＝25的半径长r 为5，直线被圆所截得的弦长l ＝8，于是弦心距d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝52－42＝3.因为圆心O (0,0)到直线x ＝－3的距离恰为3，所以直线x ＝－3是符合题意的一条直线．设直线y ＋32＝k (x ＋3)也符合题意，即圆心到直线kx －y ＋⎝⎛⎭⎪⎫3k －32＝0的距离等于3，于是⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34.故直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x ＝－3和3x ＋4y ＋15＝0.[活学活用]1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25552．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2. 当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝－2＋－2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2. ∴最短弦的长为2 2. 答案：2 2层级一学业水平达标1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9的位置关系是( ) A ．相交并且直线过圆心 B ．相交但直线不过圆心 C ．相切D ．相离解析：选D 圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|3×1＋4×1＋12|32＋42＝195，圆C 的半径r ＝3，则d ＞r ，所以直线与圆相离．2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A. 6 B.62C ．1D ．5解析：选A 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝2，则圆的半径r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9解析：选D 圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|5＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．0或3 C ．－2或6D ．－1或 3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D. 2 解析：选D 圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.6．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案：4±157．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是________．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4.∴r ＝16＋4－162＝1. 答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上，故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27，则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2，解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r .∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．∴a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2－d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③ 解由方程①②③组成的方程组，得{ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或{ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(x ＋7)2＝244.层级二应试能力达标1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．无法确定，与m 的取值有关解析：选A 圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1＜1＝r ，故选A. 2．直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( ) A.π4B.π2C ．πD.3π2解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝22.又圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5＝0被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的14，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即12×2πr ＝π.3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.4．与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．5．过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程为________________．解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立方程组{ y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3，故所求圆的方程为x 2＋y2＋7x ＋y ＋8＝0.答案：x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝06．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.切线长|OP |＝|OO ′|2－|O ′P |2＝2 5. ∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×55＝4.答案：47．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值．解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1.① 又圆心到直线的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，② 由①②，得{ a ＝2－1，b ＝2或{ a ＝－2－1，b ＝－ 2.8．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长．解：(1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－4－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.4．2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[新知初探]1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：[点睛] (1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距离为－2－2＋－2＝17，则R －r <17<R ＋r ，所以两圆相交，选B.3．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．解析：圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10.又x 2＋y 2＝10，两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案：x ＋3y ＝0对应学生用书P61[典例] 已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆C 2的位置关系．[解] [法一几何法]把圆C 1的方程化为标准方程，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝10.圆C 1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r 1＝10.把圆C 2的方程化为标准方程，得(x －1)2＋(y －4)2＝25.圆C 2的圆心坐标为(1,4)，半径长r 2＝5.圆C 1和圆C 2的圆心距d ＝－2－2＋－2－2＝35，又圆C 1与圆C 2的两半径长之和是r 1＋r 2＝5＋10，两半径长之差是r 2－r 1＝5－10. 而5－10<35<5＋10，即r 2－r 1<d <r 1＋r 2，所以两圆的位置关系是相交． [法二代数法]将两圆的方程联立得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，①x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，②由①－②得x ＋2y ＋1＝0，③ 由③得x ＝－2y －1，把此式代入①，并整理得y 2－1＝0，④所以y 1＝1，y 2＝－1，代入x ＋2y ＋1＝0得x 1＝－3，x 2＝1.所以圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点(－3,1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．[活学活用]到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．解析：到点A (－1,2)的距离为3的直线是以A 为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B 的距离为1的直线是以B 为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB |＝＋2＋－1－2＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条．答案：4[典例] 求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有a ＋2＋a －4－2＝ a ＋2＋a －4＋2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.法二： ∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7.故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.[活学活用]求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.[典例] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．[解] 以O 为坐标原点，OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离．此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.[活学活用]一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0，圆心(0,0)到l ：4x ＋7y －28＝0的距离d ＝2842＋72＝2865，因为2865>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．层级一学业水平达标1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A．相离 B．相交C．内切 D．外切解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝－2＋－2＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )A.10B.10 2C. 5 D．5解析：选B 由题意，知2r＝32＋12＝10，r＝102.3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4条 B．3条C．2条 D．1条解析：选C 圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝＋2＋－8－2＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：选C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( ) A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h解析：选B如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内MN 之间(含端点)为危险区，可求得|MN |＝20，∴时间为1 h.6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是________．解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1，因为两圆相离，所以a 2＋b 2>2＋1，即a 2＋b 2>3＋2 2. 答案：a 2＋b 2>3＋2 27．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝ 22－32＝1⇒a ＝1.答案：18．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．解析：由已知可设所求的圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.答案：x 2＋y 2－34x －34y －114＝09．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解：圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，－2＋－2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2112－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. 层级二应试能力达标1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C 依题意可得圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0的圆心分别为C 1(0,0)，C 2(3,4)，则|C 1C 2|＝ 33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( ) A ．r <5＋1 B ．r >5＋1 C ．|r －5|<1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，两圆圆心之间的距离为－2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选 D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为________．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝－2＋－1－2－2＝2(2－1)， ∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.8．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A ，B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A ，B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A ，B 两点在圆上，得{ a ＝0，b ＝2 或{ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．。

与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等）（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

2019-2020学年人教A版高中数学必修二检测-圆与圆的位置关系-直线与圆的方程的应用-Word版含解析

圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用检测题一、题组对点训练对点练一圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＝r2，(x －3)2＋(y ＋1)2＝r2外切，则正实数r 的值是________．解析：由题意得，2r ＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，即r ＝102. 答案：1022．已知圆C ：x2＋y2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－433．圆O1：x2＋y2－4y ＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．内含解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝(0－0)2＋(2－8)2＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．4．若两圆x2＋y2＝m 和x2＋y2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.对点练二直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A(0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h －3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km. 二、综合过关训练1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b)，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．已知点M 在圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a1＝22－(3)2＝1，解得a＝1.答案：16．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

2019年人教A版必修二数学同步练习：4.2.1 直线与圆的位置关系 Word版含解析

姓名，年级：时间：4.2.1 直线与圆的位置关系1.直线3x-4y+6=0与圆(x—2）2+（y-3）2=4的位置关系是（ C )（A）相离（B)相切(C)相交且过圆心（D)相交但不过圆心解析:由于圆心(2，3）在直线3x—4y+6=0上，故选C。

2.直线x+2y—5+=0被圆x2+y2—2x-4y=0截得的弦长为（ C ）(A）1 （B）2 (C）4 (D)4解析:由于（x-1)2+(y—2)2=5,则圆心为(1,2），半径长为,因为圆心到直线的距离d==1,所以弦长为2=2=4.故选C.3.若点P(1，1）为圆x2+y2—6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( D )（A)2x+y-3=0 （B）x—2y+1=0(C)x+2y—3=0 （D)2x-y-1=0解析:由于圆心Q(3,0）,直线MN与直线PQ垂直,因为k PQ=—,则k MN=2,所以直线MN方程为y—1=2(x—1）,即2x—y—1=0。

故选D。

4.直线(a+1)x+（a—1）y+2a=0（a∈R）与圆x2+y2-2x+2y—7=0的位置关系是（ B )（A）相切（B)相交（C）相离（D）不确定2—2×(—1）+2×(—1)-7<0,所以定点（-1，—1)在圆内，所以直线与圆相交。

5。

若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x—3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B ）（A）（x—3）2+（y—)2=1(B）(x—2)2+(y—1)2=1(C)(x—1)2+(y-3)2=1(D）（x—）2+（y—1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1，由a〉0,所以a=2。

6。

若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2的内部，则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是（ C )(A)相交 (B)相切（C)相离(D）无法确定解析:点P在圆x2+y2=r2内部,所以+<r2,而圆心到直线xx0+yy0=r2的距离是d=〉=r,所以直线与圆相离。

【创新设计】高中数学(人教版必修二)配套练习：4.2.2圆与圆的位置关系(含答案解析)

4.2.2 圆与圆的位置关系【课时目标】 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．圆与圆位置关系的判定有两种方法：1．几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：2．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒ Δ＝0⇒Δ<0⇒一、选择题1．两圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4和(x －3)2＋(y ＋6)2＝64的位置关系是( ) A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝04．圆C 1：(x －m)2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m)2＝4外切，则m 的值为( )A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝96．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A．(0，2－1) B．(0,1]C．(0,2－2] D．(0,2]二、填空题7．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．8．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．9．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为____________．三、解答题10．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．11．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．能力提升12．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．13．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B．直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB的方程．1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．2．两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数．3．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．4．2．2圆与圆的位置关系答案知识梳理1．d>r1＋r2r1＋r2d＝|r1－r2||r1－r2|2．相交内切或外切外离或内含作业设计1．A[圆心距d＝r＋R，选A．]2．C[∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心距d ＝(2＋2)2＋(－1－2)2＝5， r 1＝2，r 2＝3，∴d ＝r 1＋r 2，∴两圆外切，∴公切线有3条．]3．C [两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得答案为C ．] 4．C [外切时满足r 1＋r 2＝d ，即(m ＋1)2＋(－2－m)2＝5，解得m ＝2或－5．]5．D [设动圆圆心为P ，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时|PA|＝5，内切时|PA|＝3，所以P 的轨迹为以A 为圆心，3或5为半径的圆，选D ．]6．C [由已知M∩N ＝N 知N ⊆M ，∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －1)2＋(y －1)2＝r 2内切或内含， ∴2－r≥2，∴0<r≤2－2．] 7．±25或0解析 ∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径分别为1和5，两圆外切时有 (－4－0)2＋(a －0)2＝1＋5，∴a ＝±25，两圆内切时有(－4－0)2＋(a －0)2＝5－1， ∴a ＝0．综上，a ＝±25或a ＝0． 8．3解析 A 、B 两点关于直线x －y ＋n ＝0对称，即AB 中点(m ＋12，1)在直线x －y ＋n ＝0上，则有m ＋12－1＋n ＝0，①且AB 斜率41－m＝－1②由①②解得：m ＝5，n ＝－2，m ＋n ＝3． 9． 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0 ①x 2＋y 2＝5 ②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为 d ＝|－3|1＋(－1)2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝⎛⎭⎫322＝2．10．解设所求圆的方程为 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则⎩⎨⎧a＝b ①b ＝3 ②a 2＋b 2＝r ③由①②③得⎩⎨⎧a ＝b ＝3r ＝32．∴(x －3)2＋(y －3)2＝18．11．解把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9， (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4．如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以， |C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13．因此，|MN|的最大值是13＋5． 12．4解析如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25， ∴OO 1＝5， ∴AC ＝5×255＝2， ∴AB ＝4． 13．解(1)∵已知圆的方程为 (x －4)2＋(y －2)2＝32， ∴Q(4,2)．PQ 中点为Q′⎝⎛⎭⎫1，－12，半径为r ＝|PQ|2＝612，故以Q′为圆心的圆的方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝614． (2)∵PQ 是圆Q′的直径，∴PA ⊥AQ(如图所示) ∴PA 是⊙Q 的切线，同理PB 也是⊙Q 的切线． (3)将⊙Q 与⊙Q′方程相减，得6x ＋5y －25＝0．此即为直线AB 的方程．。

与圆有关的轨迹问题

高中数学：与圆有关的轨迹问题(1)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( D )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0 解析：由题意得|PC |2－22＝|PO |，所以(x －3)2＋(y ＋4)2－4＝x 2＋y 2，即6x －8y －21＝0，故选D.(2)(2019·郑州模拟)已知线段AB 的端点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上运动，端点A 的坐标为(4,0)，线段AB 的中点为M .则点M 的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4__.解析：设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ， ∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.【结论探究】在本典例(2)中，若圆C 1与曲线C 2交于C ，D 两点，试求线段CD 的长．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋(y －2)2＝4，x 2＋(y －4)2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0,4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522，又圆C 1的半径为4，∴线段CD 的长为242－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222＝14. 1.求与圆有关的轨迹问题的四种方法2．求与圆有关的轨迹问题的相关步骤已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)方法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0) ，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．。

2019年数学人教A必修二：4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用 Word版含解析

[学生用书P141(单独成册)])[A 基础达标]1．圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1和圆(x －3)2＋(y ＋6)2＝144的位置关系是( ) A ．相切 B ．内含 C ．相交D ．外离解析：选B ．因为两圆圆心分别为(－3，2)，(3，－6)，半径分别为r 1＝1，r 2＝12，所以两圆的圆心距d ＝（3＋3）2＋（－6－2）2＝10<12－1＝11，所以两圆内含．2．圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．E ＝－4，F ＝8B ．E ＝4，F ＝－8C ．E ＝－4，F ＝－8D ．E ＝4，F ＝8解析：选C ．由题意联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋F ＝0x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0，得4x ＋Ey －4－F ＝0，则E 4＝－1，－4－F 4＝1，解得E ＝－4，F ＝－8，故选C ．3．半径为5且与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0相切于原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－6x －8y ＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －8y ＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋8y ＝0D ．x 2＋y 2－6x －8y ＝0或x 2＋y 2＋6x ＋8y ＝0解析：选B ．已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，可知选B ．4．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8D ．8 2解析：选C ．因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0. 所以a ＋b ＝10，ab ＝17，所以(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32. 所以|C 1C 2|＝2（a －b ）2＝32×2＝8.5．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h解析：选B ．如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．以B (40，0)为圆心，30为半径的圆交直线于M ，N 两点，则当台风中心处于MN 之间(含端点)时，B 处于危险区内，可求得|MN |＝20，所以时间为1 h ．故选B ．6．已知两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋2)2＋(y －a )2＝25没有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0，0)，(－2，a )，半径分别为1，5，圆心距d ＝（0＋2）2＋（0－a ）2＝a 2＋4. 因为两圆没有公共点，所以a 2＋4<5－1或a 2＋4>5＋1，解得－23<a < 23或a <－42或a >4 2.答案：(－∞，－42)∪(－23，23)∪(42，＋∞)7．已知M ，N 是圆A ：x 2＋y 2－2x ＝0与圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________．解析：由题意，可知圆B 的圆心坐标为(－1，2)，半径为 5.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得直线MN 的方程为x －y ＝0，所以B (－1，2)到直线MN 的距离为|－1－2|2＝322，线段MN 的长度为2（5）2－⎝⎛⎭⎫3222＝2，所以△BMN 的面积为12×322×2＝32.答案：328．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________．解析：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝09．(2019·大同检测)求过圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解：由题意，设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ.由题意，得－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，所以λ＝－7.所以所求圆的方程是x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 10．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0.(1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点，并求出此定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0. 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2，即2＋5（a －2）2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|，即|5（a －2）2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，a ＝1±55.[B 能力提升]11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D ．设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则（x －5）2＋（y ＋7）2＝4＋1，所以(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则（x －5）2＋（y ＋7）2＝4－1，所以(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.12．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________．解析：如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5，所以AC ＝5×255＝2，所以AB ＝4. 答案：413．求与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程．解：曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2. 过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径为 2.设C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.14．(选做题)如图所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：(1)如图，以O 为坐标原点、OC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .由条件知，A (0，60)，C (170，0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150. 因此新桥BC 的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0. 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．。

高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题

b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ，（8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ，（10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程；（2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，

2019年人教版高中数学必修二考点练习：与圆有关的轨迹问题(含解析)

与圆有关的轨迹问题1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（）A.221x y +=B. ()2211x y x +=≠±C. ()2211x y x +=≠ D. ()2210x y x +=≠2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝13. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝24. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．8. 点P （4，﹣2）与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. （x ﹣2）2+（y +1）2=1B.（x ﹣2）2+（y +1）2=4C. （x +4）2+（y ﹣2）2=1D.（x +2）2+（y ﹣1）2=19. 已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．11. 已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；(2)求圆心的轨迹方程．12. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.13. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．14. 已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.参考答案与圆有关的轨迹问题1. 【答案】B2. 解析：选A 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3. 解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝12|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]．化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16. (2)设点N 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4. ∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．7. 【解析】设M 点坐标为(x ，y )，A 点坐标为(x 0,0)，B 点坐标为(0，y 0)．∵点M 是线段AB 的中点，∴000202x x y y +⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨+⎪⎪=⎪⎪⎩⎭，即0022.x xy y =⎧⎨=⎩∴A(2x,0)，B(0,2y )．又∵|AB|＝4， ∴()()222002x y -+-＝4，即x 2＋y 2＝4.8. 【解析】设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），则得:，代入x 2+y 2=4得（2x ﹣4）2+（2y +2）2=4，化简得（x ﹣2）2+（y +1）2=1．故选A ． 9. 【解析】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如右图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x ，y )，BC 中点D(x 0，y 0)．故x 0＝2x a+，y 0＝2y .①∵|AD|＝m ，∴(x 0＋a )2＋y 20＝m 2.② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，除去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．10. 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.11. 【解析】(1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a (2x －2y )＝0(a ≠1，且a ∈R)．令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＋2＝0，2x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以a 取不为1的实数时，圆过定点(1,1)． (2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1，又设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2－a ，消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．12. 解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况).13. [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.14. 解 (1)设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ，∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4. ∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋（y －2）2＝4，x 2＋（y －4）2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0，4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522，又圆C 1的半径为4， ∴线段CD 的长为242－⎝⎛⎭⎫5222＝14.15. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.。

2019年人教版高中数学必修二考点练习：求圆的方程含答案解析

为( )
( )3 4
y± A．x2＋ 3 2＝3
( )3 1
y± B．x2＋ 3±
C.
3 2＋y2＝3
( )3
1
x±
D.
3 ＋y ＝3 2 2
[来源:学科网]
19. 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(－1，1)和 B(1 ，3)，则圆 C 的方程为________.
20. 过点 A(4，1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2，1)，则圆 C 的方程为________.
x2 y2
24.
一个圆经过椭圆16＋ 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为
________.
25. 求经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线 2x－y－3＝0 上的圆的方程．
26. 一圆经过 A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程.
27. 已知抛物线 C：y2＝2x，过点(2，0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.
(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，－2) ，求直线 l 与圆 M 的方程.
参考答案求圆的方程
1. 【解析】(1)∵圆心为(2,3)，半径为 2，即 a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.
求圆的方程
1. 写出下列各圆的标准方程． (1)圆心在点(2,3)，半径为 2； (2)经过点 P(5,1)，圆心在点 C(8，－3)．
2. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1) ＋(y＋1) ＝1 2

人教版数学高一-必修二(人教A)练习 4.2.2圆与圆的位置关系

4.2.2圆与圆的位置关系一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为()A．外切B．内切C．外离D．内含2．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．4条B．3条C．2条D．1条3. 已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程为()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0.若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是()A．m<1 B．m>121C．1≤m≤121 D．1<m<1215．设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切和内含D．外切和外离6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝367．已知集合M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是()A．[－3 2，3 2] B．[－3，3]C．(－3，3 2] D．[－3 2，3)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．与圆x2＋y2＝5外切于点P(－1，2)，且半径为2 5的圆的方程为________________．9．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点的最短距离是________．10．经过两圆x2＋y2＝9和(x＋4)2＋(y＋3)2＝8的交点的直线方程为________________．11．已知⊙O方程为x2＋y2＝4，定点A(4，0)，则过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程为________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，且圆C过圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，求圆C的方程．13．(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．14．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________________．15．(15分)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且|PQ|＝|PA|.(1)求实数a，b间满足的等量关系；(2)若以点P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．4．2.2 圆与圆的位置关系1．A [解析] 因为两圆心间的距离d ＝r 1＋r 2＝3，所以圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系为外切．2．C [解析] 设⊙O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，⊙O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2，4)，R ＝8，∴|O 1O 2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13， ∴r －R <|O 1O 2|<R ＋r ， ∴两圆相交． ∴公切线有2条．3．C [解析] x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0可化为()x －22＋()y ＋32＝13，圆心为(2，－3)；x 2＋y 2－6x ＝0可化为()x －32＋y 2＝9，圆心为(3，0)．因为圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，所以AB 的垂直平分线即为过两圆圆心的直线，即为3x －y －9＝0.4．C [解析] 圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m ，则圆心C 1(0，0)，半径r 1＝m ；圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心C 2(－3，4)，半径r 2＝6.∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2，即|m －6|≤（－3－0）2＋（4－0）2≤m ＋6， ∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121. 5．D [解析] 两圆圆心之间的距离d ＝10，而r 1＋r 2＝4＋r >4， ∴d <r 1＋r 2，∴两圆不可能外切或外离．6．D [解析] 根据圆的半径为6，可排除A ，B ，再通过验证知圆心是(±4，6)，半径是6的圆与圆x 2＋(y －3)2＝1内切．7．C [解析] 由M ∩N ≠∅，知直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)相交，所以画图(图略)可知－3<b ≤3 2.8．(x ＋3)2＋(y －6)2＝20 [解析] 设所求圆的圆心为O 1(a ，b )，则所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝20.∵两圆外切于点P ，且两圆的半径分别为5，2 5，∴－1＝0＋a 3，2＝0＋b3，∴a ＝－3，b ＝6，∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝20.9.2 [解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为()x ＋12＋(y －2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径为 2.x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0可化为(x －2)2＋()y ＋12＝2，圆心为(2，－1), 半径为2.所以两圆圆心距为32，所以两圆上的点的最短距离是 2.10．4x ＋3y ＋13＝0 [解析] 由两圆的方程相减，得4x ＋3y ＋13＝0，所以过两圆交点的直线方程为4x ＋3y ＋13＝0.11．(x －2)2－y 23＝1 [解析] 设动圆圆心为P (x ，y )．因为动圆过定点A ，所以|PA |即为动圆半径．当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |＝|PA |＋2.当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |＝|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|PA ||＝2，即|x 2＋y 2－（x －4）2＋y 2|＝2，化简可得(x －2)2－y 23＝1.12．解：因为圆C 过两圆的交点，所以设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0，即 (1＋λ)(x 2＋y 2)－4x －4λy －3λ－3＝0，即 x 2＋y 2－4x1＋λ－4λy 1＋λ－3＝0，所以圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ. 因为圆C 的圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0,解得λ＝－13，故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.13．解：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1，3)，N (5，6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋10 11.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－10 11. (3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，圆心4x ＋3y －23＝0，则公共弦长为2 （11）2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝2 7.14．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 [解析] 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程即为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2，0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C 1(－2，0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2，∴所求圆的半径r ＝（3）2－（2）2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.15．解：(1)连接OP .∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ ，∴|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2. 又|PQ |＝|PA |，故|PA |2＝|PO |2－1，即(a 2＋b 2)－1＝(a －2)2＋(b －1)2.整理得2a ＋b －3＝0. (2)设圆P 的半径为R .∵圆P 与圆O 有公共点，且半径最小，∴|OP |＝a 2＋b 2＝a 2＋（－2a ＋3）2＝5a －652＋95，故当a ＝65时，|OP |取得最小值355.此时，b ＝－2a ＋3＝35，R 取得最小值355－1.所以当半径取最小值时，圆P 的方程为x －652＋y －352＝35 5－12.。

高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.2知识点总结含同步练习及答案

− |3 × 0 &#+ 12 − |AB| − − − − − − √− 10 设直线 l 与圆 C 的交点为 A 、B ，则． = √r2 − d 2 = 2 2 − |AB| = √−
为 √5 ，点 (0, 1) 到直线 l 的距离为 d =
可知 Δ = 4m(3m + 4)．
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 Δ > 0 ，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 Δ < 0 ，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
当 Δ = 0 ，即 m = 0 或 m = −
2.圆的切线描述：圆的切线长过圆外一点P (x 0 , y 0 ) 向圆 M 作两条切线，其中圆心 M 的坐标为 (a, b) ，如图，
切：d = r；直线与圆相离：d > r． 2. 代数法：把直线的方程与圆的方程联立，得方程组，消去 y 或 x 整理得到关于 x 或 y 的一元二次方程，其判别式为Δ ，直线与圆相交：Δ > 0 ；直线与圆相切：Δ = 0 ；直线与圆相离：Δ < 0 ．例题：当 m 为何值时，直线 mx − y − m − 1 = 0 与圆 x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 相交？相切？相离？解：法一：（几何法）由已知，得圆心坐标为 (2, 1)，半径 r = 2，圆心 (2, 1) 到直线 mx − y − m − 1 = 0 的距离
解得 A(
4.圆与圆的位置关系描述：圆与圆的位置关系
平面上两圆的位置关系有五种：
判断两圆的位置关系判断圆C1 ：(x − a1 )2 + (y − b 1 )2 = r2 与圆C2 ：(x − a2 )2 + (y − b 2 )2 = r2 的位置关系，主要 1 2 有两种方法： ①几何法：比较圆心距与两圆半径的关系，设两圆的圆心距为d ，当d > r1 + r2 时，两圆外离；当d = r1 + r2 时，两圆外切；当|r1 − r2 | < d < r1 + r2 时，两圆相交；当d = |r1 − r2 | 时，两圆内切；当0 ≤ d < |r1 − r2 | 时，两圆内含． ②代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆 C1 的方程与圆 C2 的方程联立，消去 x 或 y 得到关于y 或关于x的一元二次方程，当Δ > 0 ⇒ 两圆相交；当Δ = 0 ⇒ 两圆内切或外切；当Δ < 0 ⇒ 两圆外离或内含．例题： a 为何值时，两圆 C1 ：x 2 + y 2 − 2ax + 4y + a2 − 5 = 0 和C2 ： x2 + y 2 + 2x − 2ay + a2 − 3 = 0 ．（1）外切；（2）相交；（3）外离．解：将两圆方程写成标准方程，

高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析

高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为（x，y），半径为，由于动圆与圆和圆都外切，所以，所以，根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系；2.双曲线的定义.2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C截得的弦长是6.【答案】(1) 两圆相离 (2) 4x－7y＋19＝0【解析】(1)先由圆方程确定圆心坐标和半径，然后根据两圆心之间的距离与两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系；(2)由条件可知两弦长分别是两圆的直径，故所求直线过两圆圆心，故求连心线的直线方程即可.试题解析：(1)圆C1的圆心C1(－3,1)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(4,5)，半径r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴两圆相离.（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x－7y＋19＝0.【考点】1.两圆位置关系的判断；2.直线方程.3.已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________.【答案】【解析】设动圆的圆心为P（x,y）,半径为r，由题意，,∴,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以a=5,c=4,∴,∴动圆圆心的轨迹方程是【考点】本题考查了轨迹方程的求法点评：熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键，属基础题4.如图，已知圆，圆．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆、圆的周长．①求证：动圆圆心在一条定直线上运动；②动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）或（2）①求出圆心的轨迹方程为直线即可；②动圆过定点和【解析】（1）由题意可知，，，由图知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为……3分解得或，所以直线的方程为或．……6分（2）①证明：设动圆圆心，由题可知则化简得，所以动圆圆心在定直线上运动．……10分②动圆过定点设，则动圆的半径为动圆的方程为整理得……14分，解得或所以动圆过定点和．……16分【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系.点评：求解直线与圆的位置关系，主要看圆心到直线的距离与半径的关系，设直线方程时要注意直线的适用条件.5.圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】两个圆的圆心距等于所以两个圆相交.【考点】本小题主要考查两个圆的位置关系.点评：判断两个圆的位置关系，主要是根据两个圆的圆心距与半径的和或差的关系.6.已知两圆x2+y2="1" 和 (x+1)2+(y－3)2=10相交于A、B两点, 则直线AB的方程是________．【答案】【解析】两圆方程作差可得直线AB的方程是.【考点】本小题主要考查两圆的公共点所在直线的方程.点评：两个圆相交时，两个圆的方程相减即可得到直线AB的方程.7.两圆相交于点,两圆的圆心均在直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两圆的相交弦所在的直线与圆心连线的直线垂直，且被其平分，因此可知AB的中点坐标在直线上，代入可知为将m的值代入上式解得c=2，因此可知m+c=-1，选A.【考点】本试题考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的综合运用。

2019年最新-人教版高中数学必修二直线与圆的位置关系(公式及技巧)

2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ ________.
解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由
得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15. 答案：15
3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC
解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB. 又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°. 又∵AE＝2，∴AB＝ 3,AC2 3,BC＝3. 答案：
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D 是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
３，能创编动作表现歌（乐）曲，准确地唱歌。
教学重点：用柔和的声音演唱歌曲。
教学难点：能创编动作表现歌曲。
教学准备：录音机，电子琴
教学内容及过程：
一开始部分：
１听音乐问好！
２复习歌曲。
３复习柯尔文手势。
二基本部分：
１、表演《布谷》
a 完整地感受歌曲的旋律，课题是学生跟着音乐拍手、拍腿，感受歌曲的节拍。然后听歌曲录音，用手指点歌词，想一想哪些音长？
(1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四点共圆； (2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小．
证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O， M四点共圆．

高中数学必修二圆与圆的位置关系附答案解析版

4.2.2圆与圆的位置关系基础巩固1.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切2.圆C 1:x 2+y 2+4x+8y-5=0与圆C 2:x 2+y 2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离3.已知圆A 与圆B 相切,圆心距为10cm,其中圆A 的半径为4cm,则圆B 的半径为（）A .6cm 或14cmB .10cmC .14cmD .无解4.已知圆O 1的方程为x 2+y 2=4,圆O 2的方程为(x-a )2+y 2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}5.圆x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆x 2+y 2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.46.已知以C (4,-3)为圆心的圆与圆O :x 2+y 2=1相切,则圆C 的方程为（）A .(x-4)2+(y+3)2=16B .(x+4)2+(y-3)2=36C .(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D .(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=367.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.8.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m=.9.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为.10.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,半径为2的圆的方程.能力提升1.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±3.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m的最大值为（）A .7B .6C .5D .4★4.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.22⎛ ⎝⎭B.22⎛-- ⎝⎭C.,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭D.22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是.6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.7.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.★8.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.参考答案基础巩固1.【解析】圆C 1的圆心是C 1(-2,2),半径r 1=1,圆C 2的圆心是C 2(2,5),半径r 2=4,则圆心距|C 1C 2|=5.因为|C 1C 2|=r 1+r 2,所以两圆外切.【答案】D2.【解析】由已知,得C 1(-2,-4),r 1=5,C 2(-2,-2),r 2=3,则d=|C 1C 2|=2,所以d=|r 1-r 2|.故两圆内切.【答案】C3.【解析】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1,r 2,当两圆外切时,r 1+r 2=10,所以r 2=10-r 1=10-4=6;当两圆内切时,|r 1-r 2|=10,即|4-r 2|=10,r 2=14或r 2=-6(舍),即圆B 的半径为6cm 或14cm .【答案】A4.【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a 的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C .【答案】C5.【解析】两圆的圆心分别为C 1(-2,2),C 2(2,-5),则两圆的圆心距d =又半径分别为r 1=1,r 2=4,则d>r 1+r 2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r 2(r>0).因为圆C 与圆O 相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=08.【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45-=,解得m=81.【答案】819.【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB 的距离d ==故公共弦AB 的长为AB =10.【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以2222913422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得322a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以圆心C 的坐标为333,22⎛-- ⎝⎭,所求圆的方程为223422x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.能力提升1.【解析】圆心距d =,两圆半径的和为2+1=3,两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C2.【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a,又公共弦长为,所以=解得2a =±.【答案】A3.【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B4.【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a<<,所以22a-<<或22a <<.【答案】C5.【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切6.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=.①若两圆外切,则有123+=.②由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有211-=.③由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.7.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1.设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2,化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥).8.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1-),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1-)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r .因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=,①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①的距离得=,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。

高中数学必修二第四章圆与方程知识点与常考题(附解析)

高中数学必修二第四章圆与方程知识点与常考题(附解析)必修二第四章圆与方程知识点与常考题(附解析)知识点：4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点0(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）220()()xa yb -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x，圆心为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆>直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。