福建省漳州市东山二中高二数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)

2015-2016学年福建省漳州市东山二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．袋内有红、白、黑球各3，2，1个，从中任取两个，则互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个白球；都是白球B．至少一个白球；红，黑球各一个C．至少有一个白球；至少有一个红球D．恰有一个白球；一个白球一个黑球2．设R为平面上以A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x﹣3y的最大值与最小值分别为( )A．最大值13，最小值﹣18 B．最大值﹣14，最小值﹣18C．最大值18，最小值13 D．最大值18，最小值﹣143．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；A．B．C．D．4．某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是( )A．193 B．192 C．191 D．1905．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A．B．C．D．6．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )A．3 B．9 C．17 D．517．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a+b为( ) A．25 B．35 C．﹣25 D．﹣358．如图所示的程序框图的输出结果为( )A．5 B．7 C．9 D．119．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是( )A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和10．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( ) A．B．C．D．11．在△ABC内任取一点P则△ABP与△ABC的面积之比大于的概率是( ) A．B．C．D．12．已知数列{a n}，a n=﹣2n2+λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，6）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项的和S5=__________．14．已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为__________．15．一位同学设计计算13+23+…+103的程序框图时把图中的①②的顺序颠倒了，则输出的结果比原结果大__________．16．设函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取的一个数，则f（x）＞b恒成立的概率为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为y，求y＜x+2的概率．18．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，（1）求∠A的大小；（2）求的值．19．A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．20．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 （Ⅰ）请用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅲ）现要从中选派一人参加9月份的全国数学联赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1（n∈N*），等差数列{b n}的公差为正数，其前n 项和为T n，T3=15，且b1，，b3成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=，求数列{c n}的前n项和P n．2015-2016学年福建省漳州市东山二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．袋内有红、白、黑球各3，2，1个，从中任取两个，则互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个白球；都是白球B．至少一个白球；红，黑球各一个C．至少有一个白球；至少有一个红球D．恰有一个白球；一个白球一个黑球【考点】互斥事件与对立事件．【专题】概率与统计．【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案【解答】解：选项A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A是不是互斥的；选项B，“至少一个白球”发生时，“红，黑球各一个”不会发生，故B互斥，当然不对立；选项C，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；选项D，“恰有一个白球”，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；故选：B．【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系．属于基本概念型题2．设R为平面上以A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x﹣3y的最大值与最小值分别为( )A．最大值13，最小值﹣18 B．最大值﹣14，最小值﹣18C．最大值18，最小值13 D．最大值18，最小值﹣14【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=4x﹣3y过点A（4，1）时，z最大是13，当直线z=4x﹣3y过点C（﹣3，2）时，z最小是﹣18，故选A．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；A．B．C．D．【考点】频率分布表．【专题】计算题．【分析】根据所给的频数分布表，得到在规定的区间上的数据的频数，用这个频数除以样本容量，得到要求的概率的值．【解答】解：∵（10，20]，2；某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是( )A．193 B．192 C．191 D．190【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】利用分层抽样方法中所抽取的比例相等，求出对应的样本容量．【解答】解：由题意知：=，解得n=192．故选：B．【点评】本题考查了用分层抽样方法抽取样本的应用问题，是基础题目．5．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题6．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )A．3 B．9 C．17 D．51【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题．【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．7．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a+b为( )A．25 B．35 C．﹣25 D．﹣35【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】由不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，根据三个二次之间的对应关系，我们易得a，b的值，从而得出a+b．【解答】解：∵ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴ax2﹣5x+b=0的根为﹣3、2，即﹣3+2=﹣3×2=解得a=﹣5，b=30∴a+b=﹣5+30=25．故选A．【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．8．如图所示的程序框图的输出结果为( )A．5 B．7 C．9 D．11【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出S＞8时，变量k的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 k S循环前/1 1第一圈是 3 2第二圈是 5 4第三圈是 7 8第四圈是 9 16第五圈否故选C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是( )A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．故选A．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．10．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( ) A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．【点评】本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．11．在△ABC内任取一点P则△ABP与△ABC的面积之比大于的概率是( ) A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】作出与AB平行，且到AB的距离等于C到AB距离的的线段DE，如图所示．根据三角形面积公式，可得当点P位于△CDE内部时，△ABP与△ABC的面积之比大于．由此利用相似三角形的性质与几何概型公式，即可算出△ABP与△ABC的面积之比大于的概率．【解答】解：分别在AC、BC上取点，使AD=AC且BE=BC，连结DE．∵，∴DE∥BC，且DE到AB的距离等于点C到AB距离的．因此当点P在△ABC内且在DE的上方时，S△ABP＞S△ABC，即点P位于△CDE内部时，△ABP与△ABC的面积之比大于．根据几何概型公式，可得所求概率等于△ABP的面积与△ABC的面积之比．∵DE∥BC，，∴△DEC∽△ABC，可得==，因此，△ABP与△ABC的面积之比大于的概率P=．故选：C【点评】本题在△ABC内取一点P，求△ABP与△ABC的面积之比大于的概率．着重考查了相似三角形的性质三角形面积公式与几何概型的计算等知识，属于中档题．12．已知数列{a n}，a n=﹣2n2+λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，6）【考点】数列的应用．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】若数列{a n}为单调递减数列，则a n+1﹣a n＜0对于任意n∈N*都成立，得出﹣4n﹣2+λ＜0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．【解答】解：∵对于任意的n∈N*，a n=﹣2n2+λn恒成立，∴a n+1﹣a n=﹣2（n+1）2+λ（n+1）+2n2﹣λn=﹣4n﹣2+λ，∵{a n}是递减数列，∴a n+1﹣a n＜0，∴﹣4n﹣2+λ＜0∴λ＜4n+2∵n=1时，4n+2取得最小值为6，∴λ＜6．故选D．【点评】本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项的和S5=15．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴S5=5×（﹣1）+=15．故答案为：15．【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为3．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．【解答】解：因为x＞0， y＞0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），于是，，xy≤3．故答案为：3【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．15．一位同学设计计算13+23+…+103的程序框图时把图中的①②的顺序颠倒了，则输出的结果比原结果大1330．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】执行程序框图，第一个处理框为s=s+i3，第二个处理框为i=i+1时，S1=13+23+ (103)若把图中的①②的顺序颠倒，执行程序可知，S2=23+…+103＜S1．【解答】解：程序框图的功能是计算13+23+…+103，则第一个处理框应为s=s+i3，第二个处理框应为i=i+1，S1=13+23+…+103若把图中的①②的顺序颠倒，执行程序可知，S2=23+…+103＜S1．故输出的结果比原结果小，故答案为：1330．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基本知识的考查．16．设函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取的一个数，则f（x）＞b恒成立的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果，即可得答案．【解答】解：函数=ax++1=a（x﹣1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，当且仅当x=+1＞1时，取“=”，∴f（x）min=（+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）==．【点评】本题考查了古典概型概率，在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为y，求y＜x+2的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．【解答】（1）从袋中随机取两个球，其中一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个，从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个，因此所求事件的概率为；（2）从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个，又满足条件n≥m+2的事件为（1，3），（1，4），（2，4）共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为，故满足条件n＜m+2的事件的概率为1﹣．【点评】本题考查列举法计算基本事件数即事件发生的概率，准确列举是解决问题的关键，属基础题18．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，（1）求∠A的大小；（2）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）等比数列可推知b2=ac 代入原式，求得a2=b2+c2﹣bc，进而根据余弦定理求得cosA的值，进而求得A的值．（2）把b2=ac和A的值代入正弦定理，即可求得的值．【解答】解：（1）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，代入原式得a2﹣c2=b2﹣bc，即a2=b2+c2﹣bc．根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bcCosA，∴2cosA=1，cosA=，∴A=60°．（2）在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴==sin60°=．【点评】本题主要考查了等比数列的性质和正弦定理及余弦定理的运用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题的常用的方法，通过边和角的互化，达到解题的目的，属于中档题．19．A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】（1）分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A与B的交集即可；（2）分a=0，a小于0以及a大于0三种情况，分别求出集合C中不等式的解集，根据C为A 与B交集的子集判断即可确定出a的范围．【解答】解：（1）依题意得：A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x2+2x﹣3＞0}={x|x ＞1或x＜﹣3}，∴A∩B={x|1＜x＜4}；（2）分三种情况考虑：①当a=0时，C=∅，符合C⊆（A∩B）；②当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆（A∩B），则有，解得：1≤a≤2；③当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，显然a＜0，C不为A∩B的子集，不合题意，舍去，综上，a的范围是1≤a≤2或a=0．【点评】此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．20．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85（Ⅰ）请用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅲ）现要从中选派一人参加9月份的全国数学联赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．【分析】（1）用茎叶图表示两组数据，首先要先确定“茎”值，再将数据按“茎”值分组分类表示在“叶”的位置．（2）要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率，首先要计算“要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个”的事件个数，再计算“甲的成绩比乙高”的事件个数，代入古典概型公式即可求解．（3）选派学生参加大型比赛，是要寻找成绩发挥比较稳定的优秀学生，所以要先分析两名学生的平均成绩，若平均成绩相等，再由茎叶图分析出成绩相比稳定的学生参加．【解答】解：（Ⅰ）作出茎叶图如下图（Ⅱ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（79，95），（79，75），（79，80），（79，90），（79，85），（95，95），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，95），（87，75），（87，80），（87，90），（87，85），基本事件总数n=25记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：（82，75），（82，80），（82，75），（82，80），（79，75），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，75），（87，80），（87，85），事件A包含的基本事件数m=12所以（Ⅲ）派甲参赛比较合适，理由如下：=（70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5）=85，=（70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5）=85∵=，S甲2＜S乙2∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适【点评】根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣“茎叶”图是新高考的重要考点，同时（2）中概率也是高考的热点．对于“茎叶图”学习的关键是学会画图、看图和用图，对于概率要多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数．21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200，然后在区间上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间在区间上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1（n∈N*），等差数列{b n}的公差为正数，其前n 项和为T n，T3=15，且b1，，b3成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=，求数列{c n}的前n项和P n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）S n+a n=1，可得当n=1时，2a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为2a n=a n﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）由b1，，b3成等比数列，可得，b1（b1+2d）=16，又T3=15，可得b1+d=5，联立解出即可．b n=3n﹣1．c n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵S n+a n=1，∴当n=1时，2a1=1，∴a1=；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），化为2a n=a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，a n=．（II）∵b1，，b3成等比数列，∴，∴b1（b1+2d）=16，又T3=15，∴=15，化为b1+d=5，联立，又d＞0，解得．∴b n=2+3（n﹣1）=3n﹣1．∴c n===，∴数列{c n}的前n项和P n=++…+==．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。