3第三章 刚体的定轴转动

程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公
式补充方程，然后对这些方程综合求解.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张 力. o 解: 受力图如下，设 m 2 m 1 r m' F T1 F T2
怎样的?
3. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?
一、动量矩(角动量)
质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r ，质点相对于原
点的动量矩（角动量） L0 r p r m v 大小 L 0 rm v sin θ
t
0 (1 e ) 0 95 0 8 6(rad s )
（下一页）
1
⑵角加速度随时间变化的规律为： 0 d 2 e 4 5e (rad s ) dt ⑶ t =6 · s 时转过的角度为 0
t t
dt 0 (1 e
dr

力矩的功
W
O o
x


1
2
M d
转动动能
刚体内部质量为 mi 的质量元的速度为 v r i i 动能为
1 2 mi vi
2
刚体定轴转动的总能量（转动动能）
Ek
n
1 2
1
Δm1v1
2
2
1 2
n
Δm2 v2
2
1 2
1 2
mn vn
n
2

2
i 1
Δmi vi
组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚
体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系. 2. 刚体的定轴转动的动能应用 E k
1 2 J
2
计算.
三、刚体定轴转动的转动定律
转动惯量 J
J
n

1
m i ri
2
J称为刚体对转轴的转动惯量，与质点的质 量相对应。刚体转动动能与质点运动动能在 表达形式上具有相似性。
r
l O´ O´ 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 r 处 的质量元 d m λ d r, d J r 2 d m λr 2 d r
J 2
l 2
dr
l 2
dr

l/2
r dr
2
1 12
l
3

1 12
l
ml
2
2
0
如转轴过端点垂直于棒 J

r dr
1 3
第三章
刚体的定轴转动
第三章 刚体的定轴转动
3-0 第三章教学基本要求
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
教学基本要求
一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念. 二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念 三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转 换关系. 四、理解刚体定轴转动定律. 五、理解角动量的概念, 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律. 六、会计算力矩的功 (只限于恒定力矩的功) 、定轴转动刚体 的转动动能和对轴的角动量. 七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题.
J J1 J 2
( 1 3
o
α
m1g m2g
1 3
l
ml
2
2
m 2l
2
m m 2 )l
2）系统的转动动能为：
Ek 1 2 Jω
2
1 1 2 2 ( m1 m 2 )l ω 2 3
o
α
m1g
l
3）系统所受重力有杆的重立和小球的重力.
则系统所受重力对轴的力矩的大小为：
2
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴 的距离为r，则转动惯量
J

r dm
2
单位：kg · 2（千克· 2）. m 米
1 2 J
2
刚体定轴转动动能计算式：Ek
刚体定轴转动的动能定理
刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体 做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作 功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的 变化只有定轴转动动能的变化.
八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.
3-1 刚体定轴转动的动能定理 和转动定律
预习要点 1. 注意描述刚体定轴转动的运动学方法. 2. 阅读附录1中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算? 3. 领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平 动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算 方法. 4. 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关? 5. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意 它的应用方法.
例：某种电动机启动后转速随时间变化
t
的关系为： 0 (1 e

), 式中 0 9 0rad s 2 0s
1
求： ⑴t =6 · s时的转速 ； 0
⑵角加速随时间变化的规律；
⑶启动后6 · s 内转过的圈数。 0
解：⑴根据题意转速随时间的变化关系，
将t =6 · s 代入，即得： 0
一、刚体及刚体定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变
化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点
组）. 刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.
转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.
转动分定轴转动和非定轴转动.
转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；
0 0
6s
6s
t
)dt
0 [t e

t

]0 9[(6 2 0 05) (0 2)]
6s
36 9rad
则 t =6 · s 时电动机转过的圈数 0
N 2 5 87圈
二、刚体定轴转动的动能定理
力矩 刚体绕Oz轴旋转, O为轴
与转动平面的交点，力 F 作用
垂直于转轴的平面叫转动平面.
描述刚体定轴转动的物理量
角坐标 (t ) 角位移
(t t ) (t )
O
z
(t )
x
角速度
lim
t
t 0

d dt


角加速度
d dt
定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转 向的 、 、 取正，顺时针取负.
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力 矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
七、牛顿定律和转动定律的综合应用
如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物 体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. 但 应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. 把平动物 体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把 定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方
ml
2
0
刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布 和转轴的位置有关.
例、求质量为m、半径为r 的均匀细圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: 在圆环上任取质量元 dm
J
r
2
dm r
2
dm mr
2
O
r dm
J 是可加的，所以若为薄圆
筒（不计厚度）结果相同。
（下一页）
例、求质量为M、半径为R、厚为l 的均匀圆盘
2 Δm (r ω)
i i i 1
1
2

( mi ri )
2 i 1
2
转动惯量 比较转动动能 Ek
n
1 2
n
( mi ri )
2 i 1
2
与平动动能 E k
1 2
mv
2

i 1
m i ri
2
相当于描写转动惯性的物理量.
n
定义转动惯量
J

i 1
m i ri
L0
1 2 MR
2
。
（下一页）
转动定律
由动能定理：
W

2
1
M d
1 2
2
1 2
J
2 2

1 2
J 1
2
取微分形式： M d d (
两边除dt 由于 故得
M d dt d dt ,
d dt
J ) J d
Jω d dt
dω dt
M J
J
刚体的匀变速转动
0 (t t0 )
0 0 (t t0 )
2 2
（角加速度为恒量）
1 2
(t t0 )
2
0 2 ( 0 )
类似于 匀变速直线动

0
2 但是 非匀变速转动时：

dm ds
dm dV
质量为体分布
其中、、 分别为质量的 线密度、面密 度和体密度。
线分布
面分布
体分布
（下一页）
几 种 常 见 形 状 的 刚 体 的 转 动 惯 量
转动惯量的计算举例
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心 和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量. O O
与转动惯量有关的因素： •刚体的质量 •刚体的形状 •转轴的位置
注意：转动惯量 是刚体转动惯性 的量度。
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与 这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。 在（SI）中，J 的单位：kgm2 质量为线分布 质量为面分布
dm dl
若质量连续分布 J r 2dm
a
m1g
F T1
F T2
a
m2g
m2
m1
F T1 m 1 g m 1 a
F T2 r F T1 r J
m 2 g F T2 m 2 a
a r
J
1 2
mr
2
得解 a
(m 2 m1 ) g m1 m 2 1 2
1 2 1 2
, m

积分 积分

求导

求导
切记！
（下一页）
角量与线量的关系
线量 速度、加速度
v r at r a n r
2
2 2 4
角量
角速度、角加速度
v
2
r
2
总加速度：
a
an at r
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都 相同；各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成 正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远 处，其切向加速度和法向加速度也越大。
(m 2 m1) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
m )r
m1 (2 m 2 FT 1
m)g , m FT 2
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以 不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在 竖直面内绕轴转动的角速度为 ω ，杆与竖直轴的夹角 为 α . 设杆的质量为 m 1 、杆长为 l，小球的质量为m 2 . 求： 1）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩. 解: 1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动 惯量J1与小球的转动惯量J2之和.
M
在刚体上点 P , 且在转动平面 P 的位矢.
F 对转轴z的力矩
M
z
z
M
F
内, r 为由点O 到力的作用点
O
r
*
d
A
Fr sin Fd
(d:力臂)
力矩作功
d W F d r F cos d s
d
v
Ft
r
F

M d Fr sin d
的===转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：任取半径为r 宽为dr 的同心细圆环, dm 2rdr l
dJ r dm 2lr dr
2 3
Z
O
R
J
dJ


R
2lr dr
3
1 2
2
R l
4
0

m
R l
2
J
1 2
MR
可见，转动惯量与其厚度 l 无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量也是 J
M M
1
M
2
m1g
( 1 2
l 2
sin α m 2 gl sin α
m 1 m 2 ) gl sin α
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
由质点组动能定理 W
W
in
ex
W

0
in
Ek Ek0
0,
W
2
ex


M d
1 2 J 0
2
Ek
1 2
J ,
E k0
得刚体定轴转动的动能定理
W


0
M d
1 2J2ຫໍສະໝຸດ 1 2J0
2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量.
注意: 1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点