二次型惯性定理的简单证明

y2 p1
L
dr yr2 ,
其中r为f的秩, di 0,i 1,L ,r再. 作可逆线性替换
yi (1 / di )zi ,, i 1,L , n,
则有
f
z12 L

z
2 p

z2 p1
L
zr2 .
现在证明唯一性.设有两个非退化线性替换
X

C1Y ,
f
X

yC12 2ZL使得y
数 y1 ,L , yp , yr1 ,L , yn , zq1,L , zr ,使得
y11 L yp p yr1 r1 L ynn
zq1 q1 L zrr o.
于是
y11 L y p p yr1 r1 L ynn
2 p

y2 p1
L
yr2
z12 L

zq2

z2 q1
L
zr2 .
要证p=q.如不然，不妨设 q p. 显然q<r.
设C1和C2的列向量分别为1,L ,n和1,L ,n .
考虑向量组
1,L , p ,r1,L ,n ,q1,L ,r .
其个数是 p n r r q n (q p) n, 故这个向量组线性相关，于是存在不全为零的
二次型惯性定理的简单证明
§3 化实二次型为规范形
定理(惯性定理)任意一个实二次型f 都可以经过 可逆线性替换化为唯一规范形
f
z12 L

z
2 p

z2 p1

L
zr2 ,
其中的r是二次型f的秩.
证明设可逆线性替换 X CY 化为标准形
f
d1 y12 L

dp
y
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2 p

d p1
( zq1 q1 L zrr ) X o.
f (X)
y12 L

y
2 p
0,
f
(
X
)


z2 q1

L
zr2 0.
矛盾.故 p q.
定义 上述定理中的系数+1(–1)的个数p(r-p)称为 二次型的正(负)惯性指数,2p–r称为符号差.