集合与简易逻辑基础知识点总结

集合、简易逻辑
知识梳理：
1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。

集合中的每一个对象称为该集合的元素。

元素与集合的关系：A a ∈或A a ∉
集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。

集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。

常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R
2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B
3、真子集：如果A ⊆B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ⊄B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,⊆。

注：空集是任何集合的子集。

是非空集合的真子集
结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个
4、补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ∉∈且,|。

5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。

通常全集记作U 。

6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ⋂即：B A ⋂=}{B x A x x ∈∈且,|。

7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ⋃即：B A ⋂=}{B x A x x ∈∈或,|。

记住两个常见的结论：B A A B A ⊆⇔=⋂；A B A B A ⊆⇔=⋃； 9、命题：可以判断真假的语句叫做命题。

（全称命题 特称命题）
⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；
全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；
10、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p 或q ；p 且q ；非p(记作┑q) 。

11、“或”、“且”、“非”的真值判断：
非p与p真假相反；“p且q”：同真才真，
一假即假；“p或q”：同假才假，一真即真
12、命题的四种形式与相互关系：
•原命题：若P则q；
•否命题：若┑P则┑q；
•逆否命题：若┑q则┑p
•原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；
•逆命题与否命题互为逆否命题，同真假；
13、从逻辑推理关系上看：
若q
p⇒，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“前者为后者的充分，后者为前者的必要”。

若q
p⇔，则p 是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件。

若q
q p，那么称p是q的充分不必要条件。

p⇒，且Array若p ，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件。

若p，且q p，那么称p是q的既不充分又不必要条件。

从集合与集合之间的关系上看：
条件p、q对应集合分别为A、B，则
若B
A⊆，则p是q的充分条件，若B
A⊂，则p是q的充分非必要条件
若B
A⊇，则p是q的必要条件，若B
A⊃，则p是q的必要非充分条件
若A=B，则p是q的充要条件
若A
⊄且，则p是q的非充分必要条件
B
B
A⊄。