第11章 稳定分析与稳定性设计

第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。

2) 平衡路径，分叉，分叉点。

3) 屈曲(丧失稳定)。

4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。

5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。

特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。

2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。

3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。

11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。

承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。

当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。

扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。

此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。

不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。

例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。

这一过程称为屈曲或失稳。

通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。

由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。

11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。

处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。

非线性弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡构形是稳定的。

使杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷，用F Pcr 表示。

11.2.3三种类型的压杆的不同临界状态不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的压杆都是弹性的。

理论分析与试验结果都表明，根据不同的失效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界载荷各不相同。

● 细长杆—发生弹性屈曲，当外加载荷Pcr P F F ≤时，不发出屈曲；当Pcr P F F >时，发生弹性屈曲，即当载荷除去后，杆仍能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形。

细长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图11-2 三类压杆不同的临界状态图11-2a 所示。

● 中长杆—发生弹塑性屈曲。

当外加载荷Pcr P F F >时，中长杆也会发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为这时压杆上的某些部分已经出现塑性变形。

中长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图11-2b 所示。

● 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服。

粗短杆承受压缩载荷时，载荷与轴向变形关系曲线如图11-2c 所示。

显然，上述三种压杆的失效形式不同，临界载荷当然也各不相同。

11.2.4细长压杆的临界载荷一欧拉临界力公式1. 两端铰链支座的压杆临界载荷的一般表达式222Pcr πl EI n F = 当其中n =1时，所得到的就是具有实际意义的、最小的临界载荷计算公式22Pcr πl EI F = 上述二式中，E 为压杆材料的弹性模量；I 为压杆横截面的形心主惯性矩：如果两端在各个方向上的约束都相同， I 则为压杆横截面的最小形心主惯性矩。

其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式。

1. 不同刚性支承条件下的压杆不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。

对于细长杆，这些公式可以写成通用形式22Pcr )(πl EI F μ= 这一表达式称为欧拉公式。

其中μl 为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度图11-3不同支承条件下压杆的屈曲波形（图11-3）称为有效长度；μ为反映不同支承影响的系数，称为长度系数，可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。

例如，一端固定另一端自由的压杆，其微弯屈曲波形如图11-3a 所示，屈曲波形的正弦半波长度等于2l 。

这表明，一端固定、另一端自由、杆长为l 的压杆，其临界载荷相当于两端铰支、杆长为2l 压杆的临界载荷。

所以长度系数μ＝2。

又如，图11-3c 所示一端铰支、另一端固定压杆的屈曲波形，其正弦半波长度等于0.7l ，因而，临界载荷与两端铰支、长度为0.7l 的压杆相同。

再如，图11-3d 所示两端固定压杆的屈曲波形，其正弦半波长度等于0.5l ，因而，临界载荷与两端铰支、长度为0.5l 的压杆相同。

需要注意的是,上述临界载荷公式，只有在微弯曲状态下压杆仍然处于弹性状态时才是成立的。

11.2.5长细比的概念 三类不同压杆的判断1. 长细比的定义与概念前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。

这就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即Pcr cr p F Aσσ=≤ 式中，cr σ称为临界应力；p σ为材料的比例极限。

对于某一压杆，当临界载荷F Pcr 尚未算出时，不能判断上式是否满足；当临界载荷算出后，如果上式不满足，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式，重新计算。

这些都会给实际设计带来不便。

能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生弹性屈曲还是发生超过比例极限的非弹性屈曲？或者不发生屈曲而只发生强度失效？为了回答这一问题，需要引进长细比的概念。

长细比用λ表示，由下式确定iμl ＝λ 其中，i 为压杆横截面的惯性半径：AI i = 上述二式中：μ为反映不同支承影响的长度系数；l 为压杆的长度；i 是全面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。

所以，长细比是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量。

2. 三类不同压杆的区分根据长细比的大小可以将压杆分成三类，并且可以判断和预测三类压杆将发生不同形式的失效。

三类压杆是：细长杆当压杆的长细比λ大于或等于某个极限值λp 时P λλ≥压杆将发生弹性屈曲。

这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。

中长杆当压杆的长细比λ小于λp ，但大于或等于另一个极限值λs 时s P λλλ≥>压杆也会发生屈曲。

这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。

这种屈曲称为非弹性屈曲。

这类压杆称为中长杆。

粗短杆长细比λ小于极限值λs 时s λλ<压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。

这类压杆称为粗短杆。

3. 三类压杆的临界应力公式对于细长杆，根据临界应力公式和欧拉公式，有22cr πλσE=对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常用的是直线公式λσb a －＝cr其中a 和b 为与材料有关的常数，单位为MPa 。

对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材料)，故其临界应力即为材料的屈服应力，亦即s cr σσ＝将上述各式乘以压杆的横截面面积，即得到三类压杆的临界载荷。

几种常见材料a 、b 值4. 临界应力总图与s P λλ、值的确定根据三种压杆的临界应力表达式，在λσcr O 坐标系中可以作出λσ－cr 关系曲线，称为临界应力总图，如图11-4所示。

根据临界应力总图中所示之λσ－cr 关系，可以确定区分不同材料三类压杆的长细比极限值s P λλ、。

令细长杆的临界应力等于材料的比例极限(图11-4中的B 点)，得到 P 2P πσλE＝对于不同的材料，由于E 、σP 各不相同，λP 的数值亦不相同。

一旦给定E 、σP ，即可算得λP 。

例如，对于Q235钢，E ＝206 GPa 、σP ＝200 MPa ，由上式算得λP ＝101。

若令中长杆的临界应力等于屈服强度(图11-4中的A 点)，得到 ba s s σλ－＝ 例如，对于Q235钢，σs ＝235 MPa ， a ＝304 MPa ，b ＝1.12 MPa ，由上式可以算得λs ＝61.6。

图11-4 临界应力总图11.2.6压杆的稳定性设计1. 压杆稳定性设计内容稳定性设计一般包括：¢ 确定临界载荷当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，确定压杆的临界载荷。

¢ 稳定性安全校核当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。

2. 安全因素法与稳定性设计准则为了保证压杆具有足够的稳定性，设计中，必须使杆件所承受的实际压缩载荷（又称为工作载荷）小于杆件的临界载荷，并且具有一定的安全裕度。

压杆的稳定性设计一般采用安全因数法与稳定系数法。

本书只介绍安全因素法。

采用安全因数法时，稳定性设计准则一般可表示为[]st w n n ≥式中w n 为工作安全因数，由下式确定FA F F n cr Pcr w σ== 式中，F 为压杆的工作载荷；A 为压杆的横截面面积；[]st n 为规定的稳定安全因数。

在静载荷作用下，稳定安全因数应略高于强度安全因数。

这是因为实际压杆不可能是理想直杆，而是具有一定的初始缺陷（例如初曲率），压缩载荷也可能具有一定的偏心度。

这些因素都会使压杆的临界载荷降低。

对于钢材，取[]st n ＝1.8～3.0；对于铸铁，取[]st n ＝5.0～5.5；对于木材，取[]st n =2.8～3.2 。

3. 压杆稳定性设计过程根据上述设计准则，进行压杆的稳定性的设计，首先必须根据材料的弹性模量与比例极限E 、σP ，确定长细比的极限值s P λλ、；再根据压杆的长度l 、横截面的惯性矩I 和面积A ，以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比λ；然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一类压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷；最后，计算压杆的工作安全因素，并验算是否满足稳定性设计准则。

对于简单结构，则需应用受力分析方法，首先确定哪些杆件承受压缩载荷，然后再按上述过程进行稳定性计算与设计。

11.3 学 习 建 议1. 正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准则进行稳定性计算或稳定性设计。

例如，图11-5所示之某种仪器中的微型钢制圆轴，在室温下安装，这时轴既不沿轴向移动，也不承受轴向载荷，当温度升高时，轴和机架将同时因热膨胀而伸长，但二者材料的线膨胀系数不同，而且轴的线膨胀系数大于机架的线膨胀系数。