弧弦与圆心角关系定理

二
B
α
A
Oα
A1
B1
思考 如图，∠AOB=2∠COD，则
AB=2CD吗？
C
A⌒B=2C⌒D吗？
O
D
A
E
B
小试身手
1.判断下列说法是否正确：
（1）相等的圆心角所对的弧相等。（×） （2）相等的弧所对的弦相等。（√ ） （3）相等的弦所对的弧相等。（×）
2、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么__A_B___=___C_D_，_____A_O_B_____C_O_D___．
知识回顾
圆的对称性：
1、圆是轴对称图形
垂径定理及其推论
2、圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它
都能与自身重合。（圆的旋转不变性）
?
概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O· B
O A DB
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
∠AOD,∠BOD,∠AOB
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说 明理由。
4、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上
取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于
点A、 B.
⌒⌒
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
O
E C
F D
A
B
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
⑴ ∠AOB、∠COB、∠AOC分别为多少度？ Ａ ⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于
点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ
是哪一种特殊三角形？
Ｏ
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四 Ｂ
Ｐ
Ｃ
边形，并说明理由。
Ｄ
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？
当a = 2 3 时求圆的半径?
做一做
如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆 外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B 和C、D。 求证：AB=CD
BE
. A M O
P
C
ND
F
变式练习：
P点在圆上，PB=PD吗？
弦___相_等____；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角__相__等__，所对 的弧___相__等____．
圆心角
在同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条
等对等定理
相等
弦中有一组量相等，它
们所对应的其余各组量
也相等．
弧 相等
弦 相等
等对等定理整体理解：
(1) 圆心角 知
(2) 弧
一
得
(3) 弦
（2）如果 AB = CD ，那么___A_B__=_C_D____，__A_O_B_____C_O__D_． （3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B___=___C_D__，___A_B__=_C_D_．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？答 ：OE﹦OF
4.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为 A⌒B的中点，M、N分别为OA、OB的中点， 求证：MC=NC
提示：证 MOC 和 NOC全等
O
M
N
A
B
C
3.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半 径，弦BE∥OA, 求证：A⌒C=A⌒E
C
O A
E
B
知识延伸
如图，AC与BD为⊙O的两条互
相垂直的直径.
C
BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
练习
2、如图，AD=BC, 比较A⌒B和C⌒D
AB与CD的长度，并证明你的结论。
练习
3、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径， 弦BE∥OA,求证：AC⌒=A⌒E
C
O A
E
B
3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。求证：AC=BD
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角 弧 弦
A O·
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
探究一
如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋
转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？
为什么？
A′ B
B′
O·
A
显然∠AOB＝∠A′OB′
︵︵
可得到： AB A ' B '.
AB A' B '.
探究一
思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′，
你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
A′
B′
O·
·O ′
由∠AOB＝∠A′O ′ B′︵可得到：︵
AB A' B '.
AB A' B '.
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
A
证明：
∵ AB = AC
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰三角形
B
又∠ACB=60°，
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
·O 60° C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
练习
1、如图，AB是⊙O 的直径， BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
E
D
∵ BC = CD = DE
A
证明在：圆∵心OE角⊥、AB弧O、F ⊥弦C、D 弦心距 这四组量中，有一组量相等，
E
B
O·
D
∵其AB余﹦各CD组∴也A相E﹦等C。F
F
∵ OA﹦OC ∴ RT△AOE≌RT △COF C
∴ OE﹦OF
例题
例1 如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
AB A' B '. 成立吗 ?
（1）
探究二 在同圆中，
（2）︵、如︵果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
AB A' B '. 成立吗 ?
（2）
小结 弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等．
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角__相__等_， 所对的
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
温馨提示：
由弦相等推出弧相等时， 这里弧一般要求 都是优弧或劣弧
探究二 在同圆中，
︵︵
（1）、如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
B
⌒ ⌒⌒ ⌒
求证：AB=BC=CD=DA;
AB=BC=CD=DA.
A
O
D
C
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DO源自文库=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
4.已知：如图，∠AOB=90°，D、C将 A⌒B三 等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E 求证：AE=DC=BF．