渐近跟踪与干扰抑制

式(14)的导出利用了分块矩阵的秩的一些性质：
rank P0
0 Q
= rankP rankQ
rank
P S
0 Q
≥
rankP rankQ
sI A 0 B
V
(s)
In
0
0 Bc
0 (sI Ac )
C 0
0 D Iqm 0
因为系统式（9）完全能控，显然对任意复数s均有：
sI A 0
,
q eq q q1
Γ qmqm
Bc
, Cc
qmq
qqm
因为各子系统都是取能控规范型实现，各子系统显然能控， 故整个伺服补偿器也完全能控。
显然伺服补偿器就是参考输入和扰动中不稳定部分的q重模型， 即内模。
将受控对象式（4）和伺服补偿器式（7）串联在一起，构成广 义受控对象状态空间模型：
B
raVn(ks)I0n
B0cBCc
sI(sI0AcAc )BcDn qm
另外： sI A 0 B
rank
C
0
0 Iqm
D 0
rank
sI A
C
B D
qm
如果对φ（s）的所有根，成立：
rank
sI A
C
B D
n
q
（15） （16） （17） （18）
根据Sylvester不等式： rankR+rankT-p≤rank(RT) ≤min{rankR,rankT}
在此状态反馈下，组合系统的结构图如下图所示。
w(t)
F
r _
e Ac Bce
-Kc _
u x Ax Bu Ew x C
D
+ y(t) +
K
为了实现极点配置，广义受控系统式（10）必须为完全可控， 根据能控性的PBH判据，也就是要求对任意复数s，成立：
sI A 0
B
rankV(s)
rank
x A 0 x B E 0
BcC
Ac
Bc
Du
Bc
F
w
Bc
r
y
C
0
0
I
x
D0 u
F
0
w
（10）
设计镇定补偿器的目的是使得由式（10）描述的广义受控对 象稳定，可以用各种方法构造镇定补偿器，如采用状态反馈和动 态输出反馈等。本节采用状态反馈：
u K
Kc
x
E(s) R(s) Y (s)
dc (s)dg (s)r (s)
nr (s)
dc (s)dg (s)r (s) nc (s)ng (s) dr (s)
由于dr(s)中的不稳定的零点均被φr(s)精确地消去，所以，只
要选择dc(s)、nc(s)使 dc(s)φr(s) dg(s)+ nc(s) ng(s)=0的根具有负实部。
第i个子系统的状态空间描述为：
i Γi ei i i
（8）
其中 i为第i个子系统的m维子状态向量，ei为e的第i分量， i
为子系统输出，要求选择 Γ , , 使得式（8）的传递函数为
1/φ（s）(可选择能控规范型实现)：
0 1 0 0
0
0
Γ
0
a0
0 0 a1
1
0
0
1
am1
0
必须有
1） d g (s)dC (s) ng (s)nC (s) 0 的所有根实部均为负。 2） dr (s) 在s右半闭平面的零点也是 dg (s)dC (s)的零点。
上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即 t
时有 y(t) r(t) 。其中，第2个条件就是著名的内模原理。
E(s)
dg (s)dC (s)
系统方程为 x Ax Bu Ew y Cx Du Fw
（4）
x:n×1, y:q×1,{A,B}为能控，{A,C}为能观测。
w(t) 为干扰信号，认为它是在未知初始条件下，由以下系统产生：
xw Aw xw
w(t) Cw xw
（5）
r(t) 认为是在未知初始条件下，由以下系统产生：
xr Ar xr
8.6 渐近跟踪与干扰抑制问题
8.6.1 渐近跟踪与干扰
w(t)
抑制问题
r(t) e(t)
+
y(t)
右图所示反馈控制系统
gc(s) -
g(s)
g(s) ng (s) dg (s)
gC
(s)
nC dC
(s) (s)
一般很难做到在所有时间上都有 y(t) r(t)， 但 t ，y(t) r(t)
lim
t
yw (t )
0
（3）
（2）式称为渐近跟踪，（3）式称为扰动抑制。
当系统实现无静差跟踪时，将可同时达到渐近跟踪和扰动抑
制，即对任意的r(t)和w(t)，（1）式成立。
如果参考信号r(t)和扰动w(t)，当t ∞时均趋于0，则只要寻 找控制u使系统为渐近稳定，(1)式就自动地成立，即无静差跟踪 可自动的达到。所以这种情况没有研究的必要。
r(t) Cr xr
（6）
Aw Cw和 Ar Cr 为能观测，要求设计的系统实现渐近跟踪与
干扰抑制。
设 w (s) det(sI Aw )
r (s) det(sI Ar )
w (s) 和 r (s) 在s右半闭平面零点因式的最小公倍式为 (s)
(s) sm am1sm1 a1s a0
如果w(s)=nw(s)/dw(s)为正则有理函数，假定dw(s)=0的某些根具
有零实部或正实部。令φw(s)是 w(s)的不稳定极点构成的s多项式。 于是φw(s)的所有根均具有零实部或正实部。那么只要将内模1/φw(s)
放入系统中，再选择gc(s)使反馈系统成为渐近稳定的系统，即可实 现干扰抑制。
w(t)
r(t) e(t)
+
y(t)
gc(s) 1/φw(s)
g(s)
-
这是因为由 w(t) 作用引起的系统输出为：
Yw
(s)
dC
dC (s)ng (s)w (s) (s)dg (s)w(s) nC (s)ng
(s)
nw (s) dw (s)
由于dw(s)中的不稳定的零点均被φw(s)精确地消去，所以，只
BcC
sI Ac BcD n qm
由于系统式（4）能控，即对任意复数s均有：
ranksI A B n
（11） （12）
并且对所有不是Ac的特征根，即不是φ（s）的根的s成立：
ranksI Ac qm
（13）
这表明对所有不是φ（s）的根的s成立：
rankV(s) n qm
（14）
即用gc(s)镇定系统，则
时t ， e(t) r(t) y(t，) 实现0 了
渐近跟踪。这就是内模原理.
8.6.3 干扰抑制问题
如果系统存在确定性 干扰，如右图所示。
w(t)
r(t) e(t)
+
y(t)
gc(s)
g(s)
-
当 r(t) 0时，t ，使 yw (t) 0 ，称为干扰抑制问题。
（7）
r(t) e(t) 伺服补偿器
-
镇定补偿器
w(t) y(t)
受控系统
x
前面基于内模原理的控制系统结构可以画为上图所示形式， 内模相当于图中的伺服补偿器，用来抵消外部信号的不稳定极点， 保证实现扰动抑制和渐近跟踪，而镇定补偿器的作用是使受控系 统和伺服补偿器串联在一起的广义受控对象得到镇定。
对于q维误差向量e，伺服补偿器由q个相互独立的子系统组成，
（19）
其中R为l×p阵，T为p×k阵。
因此对φ（s）的所有根： n+qm≤rankV(s) ≤n+qm
（20）
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也就是说，根据式（19）在式（18）成立的前提下，对所有复 数s成立：
rankV(s)=n+qm 即广义受控对象式(10)为完全能控。
（21）
定理1：受控系统（4）可按上图所示的控制方式实现渐近跟踪和
3) 内模原理实现无静差跟踪控制的一个重要优点，是对除了 内模以外的受控系统和补偿器的参数的变动不敏感。
当除了内模以外的受控系统和补偿器的参数出现摄动时，只 要闭环控制系统仍为渐近稳定，则必仍具有无静差跟踪的属性。
在这个意义上，控制系统具有鲁棒性，所设计的控制器称为 渐近跟踪鲁棒调节器。
8.6.5 状态空间设计法
dg (s)dC (s) ng (s)nC (s) dr (s)
显然，输入信号的分母dr(s)=0中那些实部为负的根，当t 时 对稳态误差无影响；只有那些位于s右半闭平面（包括虚轴的右半平 面）的根，对稳态误差有影响。
r(t) e(t) gc(s)
-
y(t) g(s)
要使
ess
lim e(t)
t
数、正余弦函数等。 轨道对行驶中
的列车的纵摇
或横摇等扰动。
可通过分 析或辨识 等手段来 获得其函 数形式 （结构特 性）。
系统为线性，且同时作用有参考信号r(t)和扰动信号w(t)。则：
当w(t)=0，对任意的r(t) 有：
lim y(t) lim r(t)
t
t
（2）
当r(t)=0，对任意的w(t)，相应的输出yw(t)满足：
相对于各自的未知初始条件xr(0)和xw(0)所产生的。
向量信号的情况：
参考信号r(t)和扰动信号w(t)可分别看成为是在未知的初始
状态下，由其模型：
xr Ar xr
和
r(t) cr xr
所产生。
xw Awxw w(t) cwxw
在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。
输入信号
1(t )
3点说明：
1）内模 1/φ(s)的位置要求并不高，只要不位于从 R(s)到E(s)和从 w(s)到Y(s)的前向通道中即可 。
2）内模 1/φ(s)的系数不允许变化，否则无法实现精确对消。虽然现 实中，很难极其精确地对消，但由于r(t)和w(t)大多数是有界的，输 出仍然可以跟踪输入，只是有有限的稳态误差。
又由于信号的非结构特性为未知，多项式nr(s)和nw(s)为未知
和任意。对nr(s)和nw(s)的唯一限制是应保证 r(s),w(s)
均为严格真的有理分式函数。
在时间域内，上述关系等价于把r(t)和w(t)分别看成为是
由信号模型：
xr Ar xr
和 xw Awxw
r(t) cr xr
w(t) cwxw
0
1
[1,0,,0]
输出即为伺系服 统补状偿态器向的量第ii的个第子1系分统量的输i1，入利为用误分差块向对量角e的形第式i分，量将e式i，
（8）所示的各子系统的模型集合起来，可以得到整个伺服补偿器
的状态空间描述为：
Ac Bce
（9）
Cc
1
,
e
e1
,
1
11
,
Ac
Γ
标量情况：
若信号为未知幅值的阶跃函数，则拉氏变换为β/s。 若信号为未知振幅和初始相位的正弦函数，拉氏变换为：
1s 0 s2 2
一般情况下，可将标量的r(t)和w(t)的拉氏变换分别表示为：
r(s) nr (s) , w(s) nw (s)
dr (s)
dw (s)
由于信号的函数结构为已知，多项式dr(s)和dw(s)是已知的，
以后讨论中规定：
lim r(t) 0,lim w(t) 0
t
t
实际情况大多如此。如阶跃信号，斜坡信号，正余弦信号等。
关于参考信号和扰动的模型：
设r(t)和w(t)，当t ∞时均不趋于0，如果对它们的属性没有 任何了解，则无从讨论系统的渐近跟踪问题和扰动抑制问题。
为了研究跟踪问题，需要对r(t)和w(t)的某些结构性质有所了 解，并建立起相应的信号模型。
nr (s)
dg (s)dC (s) ng (s)nC (s) dr (s)
8.6.2 内模原理
r(t) e(t) gc(s)
-
1/φr(s)
y(t) g(s)
假定输入信号R(s)的分母多项式dr(s)的某些根具有零实部或
正实部，令φr(s) 是R(s)中不稳定的极点构成的多项式。将内模
1/φr(s)放入系统中，则
就有可能做到，即： lim e(t) lim[r(t) y(t)] 0
t
t
稳态时，实现了y(t)跟踪r(t)，称为渐近跟踪。
外部扰动信号
随机性扰动：具有随机的形式， 只知道一些统计性质，如均值， 方差。(随机控制研究的内容)
确定性扰动：有确 定的函数形式，如
阵风对雷达天 线的扰动。
阶跃函数、斜坡函
要选择dc(s)、nc(s)使 dc(s)φw(s) dg(s)+ nc(s) ng(s)=0的根具有负实部。
即用gc(s)镇定系统，则 制。
时t ， yw (。t)从而0实现了干扰抑
8.6.4 渐近跟踪与干扰抑制
w(t)
r(t) e(t)
+
y(t)
gc(s) 1/φ(s)
g(s)
-
如果r(t)≠0， w(t)≠0 ，若φ(s)是R(s)和w(s)的不稳定极点因式 之最小公分母，通过在系统中引入内模1/φ(s)，然后设计补偿器 gc(s)，就可以实现渐近跟踪和干扰抑制。
t t1 2
2
稳态误差
0型 Ⅰ型
1 1 Kp
∞
0
1
1 1/KKvV
∞
∞
Ⅱ型 0 0
1 11/KKa a
但是，对于r(t)不是典型输入信号的情况，则y(t)跟踪r(t)的条件 是什么？
输入和误差信号的拉氏变换式分别为
R(s) nr (s) , E(s)
dg (s)dC (s)
nr (s)
dr (s)