巧用函数性质解抽象函数不等式

巧用函数性质简解抽象函数不等式

解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，这需要做好两件事，一是要把原不等式转化为f(◇) ＞f(□)的模型，二是判断函数f（x）的单调性，再根据函数的单调性将不等式中的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解。

一、巧用函数的单调性脱掉函数符号“f”

⑴先把常数穿上“f”，然后脱掉“f”

例1、已知y＝f(x)是（0，∞）上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1,解不等式：f(x)+(x-2)＜3. （ 2＜x＜4 ）

解析：破解此题的关键是要把不等式转化为f(◇) ＞f(□)模型，从哪里入手，如何确定3是f(x)在自变量x取何值时的函数值。从f(2)=1入手，想到把3改写成1+1+1，即3=1+1+1= f(2) +f(2) +f(2)。

⑵巧用奇函数的性质，从“f”中走出来

例2、设f(x)是[-1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[-1,1]时，〔f(a)+(b)〕/(a+b)＞0，解不等式：f(x-1/2)+(1/4-x)＜0。（-1/2≤x＜3/8）或（3/8＜x≤4/5）二、巧用奇函数的对称性，寻求具体模拟图像

画出一个符合题意且最简单的f（x）示意图，并会看其图像，是解决抽象函数问题的一大法宝。

例3、设f(x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

当x0时，f’(x) g(x)+f(x) g’(x)＞0,且g(-3)＝0，解不等式f(x) g(x)＜0。

解析：∵f’(x) g(x)+f(x) g’(x)＞0，想到积的导数，于是令F(x)= f(x) g(x),

由F’(x)=f’(x) g(x)+f(x) g’(x)＞0,∴F(x)在（-∞, 0）上是增函数。

又可得F(x)＝奇*偶，F(x)是R上的偶函数。F(-3)=0。

可以作出F(x)的一个简单示意图了，在图像中一目了然得到解。

三、巧用奇函数的对称性，从抽象中找到具体

针对选择填空题，可以用特殊化方法来解决，如特殊值、特殊函数、特殊点、特殊图像等，从抽象中找到具体，从而把抽象转化为具体，对于解决抽象不等式也可以用此法。

例4、已知偶函数f(x)在区间[0，+∞）单调递增，则满足f(2x-1）＜f (1/3)的x取值范围是（）

解析：因为是填空题，无需解答过程，找一个符合题意、最简单的函数f（x）=x2 来解答就可以了。

四、巧用偶函数的性质，从抽象中走出来

例5、设f(x)是定义在[-2，2]上的偶函数，且在[-2，0]上单调递增，若f(1-m)＞f(m)，求实数m的取值范围。

解析：f(x) 在[-2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，要去掉“f”，需要分多种情况讨论，十分复杂，不易完整，还易出错。巧用偶函数性质f(x)=F(|x|)，就不用对1-m和m可能所在的区间进行讨论。

五、巧用函数的周期性，从抽象中找到形象

例6、f(x)在[0，3]上单调递减，且f(x+4) =f(x)，解不等式：f(2010)＜f(|2x-1|)

解析：因为2010远离[0，3]，所以要用函数的周期性，把f(2010)等价向区间[0，3]靠近，转化为f(4*502+2)= f(2)。

由例子可以看出，对于求解抽象函数不等式问题，往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域等知识。