[精美版]2014年广东高考理科数学(逐题详解)
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12.在 DABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C + c cos B = 2b ,则 = _______.
2 a 2 + b 2 - c 2 a 2 + c 2 - b a 另解 2:由余弦定理得 b × + = 2 b ,即 2a 2 = 4 ab ,即 a = 2b ,所以 = 2 . 2ab 2 ac b
æ1 1ö , ÷ ,当直线 y = -2 x + z 过点 A 时, è 2 2 ø 取得最小值 n = -3 ,过点 B 时,取得最大值 m = 3 ,故 m - n = 6 ,选 C. x2 y 2 x2 y 2 = 1 与曲线 = 1 的( 25 9 - k 25 - k 9
C．实半轴长相等 ) D． ( -1, 0,1) ) D．焦距相等
C ． { - 1, 0, 2}
【解析】B； M U N = {-1, 0,1, 2} ,选 B. 2．已知复数 z 满足 ( 3 + 4i ) z = 25 ,则 z = ( A． 3 - 4i B． 3 + 4i ) C． -3 - 4i D． -3 + 4i
O A B
y
C
25 ( 3 - 4i ) 25 【解析】A； z = = = 3 - 4i ,选 A. 3 + 4i ( 3 + 4i )( 3 - 4i )
3
20 1 = . 120 6
a b 【解析】2 ； 考查解三角形!由正弦定理及 b cos C + c cos B = 2b ,可得 sin B cos C + sin C cos B = 2 sin B , a sin A 即 sin( B + C ) = 2sin B ,所以 sin A = 2 sin B ,故 = = 2 . b sin B a 另解 1:由射影定理知 b cos C + c cos B = a ,故 a = 2b ,所以 = 2 ； b
)
1 【解析】A；按 0 的个数分类:当含有 4 个 0 时, 2C5 = 10 个；当含有 3 个 0 时, 2 3 C5 × 2 2 = 40 个；当含有 2 个 0 时, C5 × 23 = 80 个；故所求个数为10 + 40 + 80 = 130 个.
l1
二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分） (一)必做题(9～13 题)
p pö 30 æ 3p ö æ 3 - q ÷ = 3 sin ç - q + ÷ = 3 sin (p - q ) = 3 sin q = . 4 ø 4 è 4 ø è 4
17.(本题满分 13 分) 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:
30 , 42 , 41 , 36 , 44 , 40 , 37 , 37 , 25 , 45 , 29 , 43 , 31 , 36 , 49 , 34 , 33 , 43 , 38 , 42 , 32 , 34 , 46 , 39 , 36
A E B CD DCDF 的面积 = 3 :1 ,故 为相似比的平方,即为 9 . 图 3 AE DAEF的面积 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin ç x + (1) 求 A 的值；
2014 年广东高考理科数学逐题详解
详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周 林宝碧
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1．已知集合 M = {-1, 0,1} , N = {0,1, 2} ,则 M U N = ( A． {- 1, 0,1} B． {- 1, 0,1, 2} ) D． {0,1 }
4．若实数 k 满足 0 < k < 9 ,则曲线 A．离心率相等
B．虚半轴长相等
2 【解析】D；因为 0 < k < 9 ,所以两条曲线均为双曲线,且 c 均为 34 - k ,故选 D.
5．已知向量 a = (1, 0, - 1) ,则下列向量中与 a 成 60° 夹角的是( A ． ( - 1,1, 0 ) B． (1, - 1, 0 ) C． ( 0, - 1,1)
æ è
pö
æ 5p ö 3 ÷ , x Î R ,且 f ç ÷= . 4 ø è 12 ø 2 3 pö p æ 3 ö -q ÷ . (q ) + f ( -q ) = ,q Î æ ç 0, ÷ ,求 f ç 2 è 2 ø è 4 ø
(2) 若 f
【解析】(1) 依题意 f ç
9．不等式 x - 1 + x + 2 ³ 5 的解集为 ．
【解析】 ( -¥, -3] U [ 2, +¥ ) ；利用数轴法,先找出临界点: -3 和 2 ,故解集为 ( -¥, -3] U [ 2, +¥ ) . 10．曲线 y = e -5 x + 2 在点 ( 0, 3 ) 处的切线方程为 ．
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A．100,10
B． 200,10
C．100, 20
D． 200, 20
【解析】D；样本容量为 ( 3500 + 4500 + 2000 ) ´ 2% = 200 ,抽取的高中生近视人数为 2000 ´ 2% ´ 50%
= 20 ,故选 D.
2
C ) . 1 和 C 2 交点的直角坐标为 (1,1
15.(几何证明选讲选做题)如图 3 ,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB = 2 AE , AC 与 DE 交于
F ,则
DCDF 的面积 = DAEF的面积
.
D F
C
【解析】 9 ；考查相似三角形性质的应用.由题易知 DCDF ∽ DAEF 所以相似比为
æ 5p è 12
2p 3 3 ö æ 5p p ö + ÷ = A sin = A = ,解得 A = 3 ； ÷ = A sin ç 3 2 2 ø è 12 4 ø
(2) 由(1)知, f ( x ) = 又 f (q ) + f ( -q ) =
pö æ 3 sin ç x + ÷ , 4 ø è
7．若空间中四条两两不同的直线 l l1 ^ l2 , l2 ^ l3 , l3 ^ l4 ,则下列结论一定正确的是( 1 , l 2 , l 3 , l 4 ,满足 A． l1 ^ l4 8．设集合 A = B． l1 // l 4 C． l 1 与 l 4 既不垂直也不平行 D． l l 1 与 4 的位置关系不确定 【解析】D；弄个正方体一目了然! )
q= 【解析】B；对于 ( -1,1, 0 ) , cos
夹角为 60° ；选 B.
-1 1 1 1 = - ,夹角为120° ；对于 (1, -1, 0 ) , cos q = = , 2 2´ 2 2 ´ 2 2
6． 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用 分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
x = 0
【解析】 5 x + y - 3 = 0 ；考查导数的几何意义及切线的定义.由 y ¢ = -5e -5 x 得 y ¢
= -5 ,故切线方程为
y - 3 = -5 x ,即 5 x + y - 3 = 0 .
11.从 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为_______.
x
ì y £ x ï 3．若变量 x, y 满足约束条件 í x + y £ 1 ,且 z = 2 x + y 的最大值和最小值分别为 m 和 n , ï y ³ -1 î
则m- n =( A． 8 ) B． 7 C． 6 D． 5
【解析】C；画出可行域如图所示,其中 A ( -1, -1) , B ( 2, -1) , C ç
2
10
q = cos q 和 r sin q = 1 .
以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C 1 和 C 2 交点的直 角坐标为______. 【解析】 (1,1 ) ；由 r sin 2 q = cos q ,可得 ( r sin q ) = r cosq ,即 y 2 = x .由 r sin q = 1 ,可得 y = 1 .曲线
7 【解析】 ； 考查古典概型及中位数定义.从已知10 个数中任取 7 个数的情况共有 C10 = 120 种, 7 个数的
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
中位数为 6 的情况共有 C6 = 20 种(即从 0,1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,当然, 7,8,9 这三个数必出), 故由古典概型定义知所求概率 P =
,那么集合 A 满足条件 {( x , x , x , x , x ) x Î{-1, 0,1} , i = 1, 2,3, 4, 5}
1 2 3 4 5 i
l 4 l 4 l3 l 2
“ 1 £ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 £ 3 ”的元素个数为( A．130 B．120 C． 90 D． 60
(1) 确定样本频率分布表中 n 1 , n 2 , f 1 和 f 2 的值； (2) 根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图； (3) 根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 ( 30,35 ] 的概 率. 【解析】(1) 由给定数据可知 n1 = 7 , n2 = 2 , f1 = (2) 每组对应的 组别 频率
根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率
[ 25,30 ]
3
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0.12
共 8 页
( 30,35 ] ( 35, 40 ] ( 40, 45 ] ( 45, 50 ]
5 8
0.20 0.32
n1 n2
f1 f 2
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5 5
ln a1 + ln a2 + L + ln a20 = ln ( a1a2 L a19 a20 ) = ln ( e5 ) = 50 . (二)选做题(14～15 题,考生只需从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C 1 和 C 2 的方程分别为 r sin
13.若等比数列 {a 的各项均为正数,且 a10 a11 + a9 a12 = 2e 5 ,则 ln a1 + ln a2 + L + ln a20 = ______. n } 【解析】 50 ；考查等比数列性质的应用.由 a10 a11 + a9 a12 = 2 e ,可得 a10 a11 = a9 a12 = e ,所以
pö p ö 3 6 3 æ æ ,所以 3 sin ç q + ÷ + 3 sin ç -q + ÷ = ,展开化简得 cos q= , 2 4ø 4ø 2 4 è è
2
又 q Î ç 0, ÷ ,所以 sin q = 1 - cos q = 所以 f ç
æ pö è 2ø
10 , 4
频率 组距 频率 组距
n n 7 2 1 = = 0.28 , f 2 = 2 = = 0.08 . 25 25 25 25
(其中组距为 5 )数据如下:
[ 25,30]
0.12 0.024
( 30,35]
0.20 0.04
频率 组距
( 35, 40]
2 a 2 + b 2 - c 2 a 2 + c 2 - b a 另解 2:由余弦定理得 b × + = 2 b ,即 2a 2 = 4 ab ,即 a = 2b ,所以 = 2 . 2ab 2 ac b
æ1 1ö , ÷ ,当直线 y = -2 x + z 过点 A 时, è 2 2 ø 取得最小值 n = -3 ,过点 B 时,取得最大值 m = 3 ,故 m - n = 6 ,选 C. x2 y 2 x2 y 2 = 1 与曲线 = 1 的( 25 9 - k 25 - k 9
C．实半轴长相等 ) D． ( -1, 0,1) ) D．焦距相等
C ． { - 1, 0, 2}
【解析】B； M U N = {-1, 0,1, 2} ,选 B. 2．已知复数 z 满足 ( 3 + 4i ) z = 25 ,则 z = ( A． 3 - 4i B． 3 + 4i ) C． -3 - 4i D． -3 + 4i
O A B
y
C
25 ( 3 - 4i ) 25 【解析】A； z = = = 3 - 4i ,选 A. 3 + 4i ( 3 + 4i )( 3 - 4i )
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20 1 = . 120 6
a b 【解析】2 ； 考查解三角形!由正弦定理及 b cos C + c cos B = 2b ,可得 sin B cos C + sin C cos B = 2 sin B , a sin A 即 sin( B + C ) = 2sin B ,所以 sin A = 2 sin B ,故 = = 2 . b sin B a 另解 1:由射影定理知 b cos C + c cos B = a ,故 a = 2b ,所以 = 2 ； b
)
1 【解析】A；按 0 的个数分类:当含有 4 个 0 时, 2C5 = 10 个；当含有 3 个 0 时, 2 3 C5 × 2 2 = 40 个；当含有 2 个 0 时, C5 × 23 = 80 个；故所求个数为10 + 40 + 80 = 130 个.
l1
二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分） (一)必做题(9～13 题)
p pö 30 æ 3p ö æ 3 - q ÷ = 3 sin ç - q + ÷ = 3 sin (p - q ) = 3 sin q = . 4 ø 4 è 4 ø è 4
17.(本题满分 13 分) 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:
30 , 42 , 41 , 36 , 44 , 40 , 37 , 37 , 25 , 45 , 29 , 43 , 31 , 36 , 49 , 34 , 33 , 43 , 38 , 42 , 32 , 34 , 46 , 39 , 36
A E B CD DCDF 的面积 = 3 :1 ,故 为相似比的平方,即为 9 . 图 3 AE DAEF的面积 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin ç x + (1) 求 A 的值；
2014 年广东高考理科数学逐题详解
详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周 林宝碧
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1．已知集合 M = {-1, 0,1} , N = {0,1, 2} ,则 M U N = ( A． {- 1, 0,1} B． {- 1, 0,1, 2} ) D． {0,1 }
4．若实数 k 满足 0 < k < 9 ,则曲线 A．离心率相等
B．虚半轴长相等
2 【解析】D；因为 0 < k < 9 ,所以两条曲线均为双曲线,且 c 均为 34 - k ,故选 D.
5．已知向量 a = (1, 0, - 1) ,则下列向量中与 a 成 60° 夹角的是( A ． ( - 1,1, 0 ) B． (1, - 1, 0 ) C． ( 0, - 1,1)
æ è
pö
æ 5p ö 3 ÷ , x Î R ,且 f ç ÷= . 4 ø è 12 ø 2 3 pö p æ 3 ö -q ÷ . (q ) + f ( -q ) = ,q Î æ ç 0, ÷ ,求 f ç 2 è 2 ø è 4 ø
(2) 若 f
【解析】(1) 依题意 f ç
9．不等式 x - 1 + x + 2 ³ 5 的解集为 ．
【解析】 ( -¥, -3] U [ 2, +¥ ) ；利用数轴法,先找出临界点: -3 和 2 ,故解集为 ( -¥, -3] U [ 2, +¥ ) . 10．曲线 y = e -5 x + 2 在点 ( 0, 3 ) 处的切线方程为 ．
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A．100,10
B． 200,10
C．100, 20
D． 200, 20
【解析】D；样本容量为 ( 3500 + 4500 + 2000 ) ´ 2% = 200 ,抽取的高中生近视人数为 2000 ´ 2% ´ 50%
= 20 ,故选 D.
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C ) . 1 和 C 2 交点的直角坐标为 (1,1
15.(几何证明选讲选做题)如图 3 ,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB = 2 AE , AC 与 DE 交于
F ,则
DCDF 的面积 = DAEF的面积
.
D F
C
【解析】 9 ；考查相似三角形性质的应用.由题易知 DCDF ∽ DAEF 所以相似比为
æ 5p è 12
2p 3 3 ö æ 5p p ö + ÷ = A sin = A = ,解得 A = 3 ； ÷ = A sin ç 3 2 2 ø è 12 4 ø
(2) 由(1)知, f ( x ) = 又 f (q ) + f ( -q ) =
pö æ 3 sin ç x + ÷ , 4 ø è
7．若空间中四条两两不同的直线 l l1 ^ l2 , l2 ^ l3 , l3 ^ l4 ,则下列结论一定正确的是( 1 , l 2 , l 3 , l 4 ,满足 A． l1 ^ l4 8．设集合 A = B． l1 // l 4 C． l 1 与 l 4 既不垂直也不平行 D． l l 1 与 4 的位置关系不确定 【解析】D；弄个正方体一目了然! )
q= 【解析】B；对于 ( -1,1, 0 ) , cos
夹角为 60° ；选 B.
-1 1 1 1 = - ,夹角为120° ；对于 (1, -1, 0 ) , cos q = = , 2 2´ 2 2 ´ 2 2
6． 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用 分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
x = 0
【解析】 5 x + y - 3 = 0 ；考查导数的几何意义及切线的定义.由 y ¢ = -5e -5 x 得 y ¢
= -5 ,故切线方程为
y - 3 = -5 x ,即 5 x + y - 3 = 0 .
11.从 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为_______.
x
ì y £ x ï 3．若变量 x, y 满足约束条件 í x + y £ 1 ,且 z = 2 x + y 的最大值和最小值分别为 m 和 n , ï y ³ -1 î
则m- n =( A． 8 ) B． 7 C． 6 D． 5
【解析】C；画出可行域如图所示,其中 A ( -1, -1) , B ( 2, -1) , C ç
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q = cos q 和 r sin q = 1 .
以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C 1 和 C 2 交点的直 角坐标为______. 【解析】 (1,1 ) ；由 r sin 2 q = cos q ,可得 ( r sin q ) = r cosq ,即 y 2 = x .由 r sin q = 1 ,可得 y = 1 .曲线
7 【解析】 ； 考查古典概型及中位数定义.从已知10 个数中任取 7 个数的情况共有 C10 = 120 种, 7 个数的
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中位数为 6 的情况共有 C6 = 20 种(即从 0,1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,当然, 7,8,9 这三个数必出), 故由古典概型定义知所求概率 P =
,那么集合 A 满足条件 {( x , x , x , x , x ) x Î{-1, 0,1} , i = 1, 2,3, 4, 5}
1 2 3 4 5 i
l 4 l 4 l3 l 2
“ 1 £ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 £ 3 ”的元素个数为( A．130 B．120 C． 90 D． 60
(1) 确定样本频率分布表中 n 1 , n 2 , f 1 和 f 2 的值； (2) 根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图； (3) 根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 ( 30,35 ] 的概 率. 【解析】(1) 由给定数据可知 n1 = 7 , n2 = 2 , f1 = (2) 每组对应的 组别 频率
根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率
[ 25,30 ]
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ln a1 + ln a2 + L + ln a20 = ln ( a1a2 L a19 a20 ) = ln ( e5 ) = 50 . (二)选做题(14～15 题,考生只需从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C 1 和 C 2 的方程分别为 r sin
13.若等比数列 {a 的各项均为正数,且 a10 a11 + a9 a12 = 2e 5 ,则 ln a1 + ln a2 + L + ln a20 = ______. n } 【解析】 50 ；考查等比数列性质的应用.由 a10 a11 + a9 a12 = 2 e ,可得 a10 a11 = a9 a12 = e ,所以
pö p ö 3 6 3 æ æ ,所以 3 sin ç q + ÷ + 3 sin ç -q + ÷ = ,展开化简得 cos q= , 2 4ø 4ø 2 4 è è
2
又 q Î ç 0, ÷ ,所以 sin q = 1 - cos q = 所以 f ç
æ pö è 2ø
10 , 4
频率 组距 频率 组距
n n 7 2 1 = = 0.28 , f 2 = 2 = = 0.08 . 25 25 25 25
(其中组距为 5 )数据如下:
[ 25,30]
0.12 0.024
( 30,35]
0.20 0.04
频率 组距
( 35, 40]