基于小波变换的图像融合的研究

基于小波变换的图像融合的研究摘要：数据融合是80年代初形成与发展起来的一种信息综合处理技术。

图像融合是数据融合在数字图像处理方面的一个应用。

近年来，图像融合已成为图像理解和计算机视觉领域一项重要的新技术。

把小波变换技术应用到图像融合技术之中时该研究领域的重大突破。

本文首先论述图像融合技术和小波变换的相关理论，在将小波变换运用于图像融合，并设计了相关实验验证基于小波变换的图像融合，对融合结果进行质量评价。

关键词：小波变换，图像融合1.引言图像融合是信息融合技术的一个重要的分支，它是以图像为主要研究内容的数据融合技术。

从八十年代初到至今，图像融合技术已引发了世界范围的广泛研究兴趣和热潮，它在自动目标识别、计算机视觉、遥感机器人、医学图像处理以及军事应用等众多领域有着广泛的应用前景。

图像融合的方法与具体的处理对象类型、处理等级有关。

如：可分为像素级融合、特征级融合和决策级融合三大类。

主要基于各类图像的解析度不同、表现的目的不同，相应的处理方法也要根据具体情况而定。

随着小波变换技术的出现，在众多融合方法中，基于小波变换的融合方法具有良好的效果，现已成为当今研究的一个热点。

同时产生的一个亟待解决的问题是如何准确地对融合效果进行评价。

评价的方法有很多，评价的标准也是因人、因物而不同，这就需要进行综合研究比较，得出不同融合方法的适应性和优异性。

2．图像融合技术简介图像融合以图像作为研究和处理对象，是一种综合多个源图像信息的先进图像处理技术，它把对同一目标或场景的多重源图像根据需要通过一定的融合规则融合成为一幅新图像，在这一幅新图像中能反映多重源图像中的信息，以达到对目标或场景的综合描述，以及精确的分析判断，有效地提高图像信息的利用率、系统对目标探测识别的可靠性及系统的自动化程度。

其目的是集成多个源图像中的冗余信息和互补信息，以强化图像中的可读信息、增加图像理解的可靠性等。

相对于源图像，通过图像融合得到的融合图像可信度增加、模糊性减少、可读性增强、分类性能改善等，并且融合图像具有良好的鲁棒性，所以通过图像融合技术将会获得更精确的结果，也将会使系统更实用。

图像融合的方法目前能够参照的有很多，如HIS变换法，PCA法，聚类分析法，贝叶斯方法，小波变换方法等等，目前成为主流方法的研究是基于小波变换的图像融合方法。

在此简单介绍几种融合方法，了解各方法的优缺点。

（1）线性加权法线性加权法是一种最简单的图像融合方法，它直接对多幅原图像的对应像素点进行加权叠加。

如A k(i,j)为n幅图像A k在对应位置(i,j)的灰度值，那么融合后图像可通过下式得到1(,)(,)(,)nk k k k B i j W i j A i j ==∑其中，1(,)=1nk k W i j =∑。

线性加权法的优点在于概念简单，计算量非常小，适合实时处理；其缺点是融合后的图像包含很强的噪声，特别是当融合图像的灰度差异很大时，就会出现明显的拼接痕迹，视觉效果差。

（2） PCA 法采用主分量变换法对图像进行融合时，首先对图像进行主分量变换，通过相关矩阵求特征值和特征向量求得各主分量。

通过该融合，我们可以尽可能多地保留全色图像的细节信息，最后，对融合后的图像进行反变换，即可得到包含丰富细节信息的融合图像，这种变换在图像融合中通常叫做PCA 。

（3） 多分辨金字塔法多分辨金字塔法是目前金字塔法中较为常用的图像融合方法。

在这类算法中，原图像不断地被滤波，形成一个塔状结构，在塔的每一层都用一种算法对这一层的数据进行融合，从而得到一个合成的塔式结构，然后对合成的塔式结构进行重构，最后得到合成的图像，合成图像包含了原图像的所有重要信息。

（4） 小波变换法小波变换是对图像在不同频率通道上进行处理，首先将源图像进行多层小波分解，得到一系列子图像，再在变换域上进行特征选择，创建融合图像，最后通过逆变换重建融合图像。

小波变换与金字塔图像融合法相比，具有如下的优点：①图像经抽样小波变换后的大小与原图像相同，而图像经塔形算法分解后通常存在一定的数据冗余，但与冗余小波变换相比，金字塔分解的冗余量所包含的信息又相对较少，在实际应用时，可以选择合适的小波变换方法；②小波表达式提供了方向信息，而金字塔算法没有将空间方向选择性引入分解过程；③金字塔算法的重构过程可能具有不稳定性，特别是当两幅图像存在明显差异区域时，而基于小波变换的图像融合方法没有类似的问题；④由于可以选择正交小波核，因此不同分辨率包含的信息是唯一的，而金字塔分解在两个不同的尺度之间含有冗余，另外金字塔不同级的数据相关，很难判断两级之间的相似性是由于冗余还是图像本身的性质引起。

3．小波变换小波分析是20世纪80年代中期出现的一种信号分析工具，是在傅立叶分析的基础上发展起来的，它优于傅立叶分析的地方是它在空域和时域都是局部化的，同时具有良好的空间一频率局部化特性，可将信号分解成许多具有不同的分辨率、频率特性和方向特性的子带信号，被誉为“数学显微镜”之美称信号在时域的小波变换取决于两个参量：尺度（或频率）和时间。

小波变换可以分为连续小波变换（CWT ）和离散小波变换（DWT ）。

CWT 和 DWT 算法可以继续分为有冗余和无冗余的，按照这种划分，可以将小波变换分为二值的和非二值的。

3.1 小波变换的基础理论小波(wavelet)，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。

小波函数的确切定义为：设()t ψ为一平方可积函数，即2()()t L R ψ∈，若其傅里叶变换满足条件：2()C d ψωωω∧+∞-∞ψ=<∞⎰ （3.1）即：(0)()0t dt ψ+∞∧-∞ψ==⎰式中()ω∧ψ为()t ψ的傅立叶变换。

我们称()t ψ为一个基本小波或小波母函数，称式 (3.1)为小波函数的可容许条件3.1.1 连续小波变换假设信号2()()f t L R ∈，则它的连续小波变换定义为：,()()a b t b t a -ψ= ,;0a b R a ∈> （3.2） 这里，a 为伸缩因子，b 是平移因子。

根据小波的定义，函数（信号） ()f t 的小波变换在数学上可以表示为：,(,)()()a b RW a b t f t dt =ψ⎰ （3.3）从 (,)W a b 重建()f t 的逆变换在数学上表示为：,01()(,)()a b a b f t W a b t dadb C +∞+∞ψ==-∞=ψ⎰⎰ （3.4） 这里2()C d ψωωω∧+∞-∞ψ=<∞⎰，并且()ω∧ψ为母小波()t ψ的傅立叶变换。

如果a 和b 是两个连续的变量，且 ()f t 也是一个连续函数，(,)W a b 称为连续小波变换（continuous wavelet transform ，CWT ）3.1.2 离散小波变换为了减少小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数,()()a b t b t a -ψ=的a ,b 限定在一些离散点上进行取值。

（1）尺度的离散化。

目前通行的办法是对尺度进行幂级数化，即令 a 取0m a a = 00,a m Z >∈，此时对应的小波函数是200[()],0,1,2,j j a a t b j --ψ-=…。

（2）位移的离散化。

通常对 b 进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。

为了防止信息的丢失，我们要求采样间隔 b 满足 Nyquist 采样定理，采样率大于等于该尺度下频率通常的二倍。

,()a b t ψ 就改为：220000000[()][]jj j j j a a t ka b a a t kb ----ψ-=ψ- （3.5） 离散小波变换定义为：0000,(,)()(),0,1,2,,j j a kb W a kb t f t dt j k Z =ψ=∈⎰… （3.6） 小波变换有以下特点：(1) 小波变换是一个满足能量守恒方程的线性运算，它把一个信号分解成对空间和尺度（即时间和频率）的独立贡献，同时又不失原信号所包含的信息显微镜。

(2) 小波变换相当于一个具有放大、缩小和平移等功能的数学显微镜，通过检查不同放大倍数下信号的变化来研究其动态特性。

(3) 小波变换不一定要求是正交的，小波基不唯一，小波函数系的时宽-带宽积很小，并且在时间和频率轴上都很集中，即展开系数的能量很集中。

(4) 小波变换巧妙地利用了非均匀的分辨率，较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾：在低频段用的高的频率分辨率和低的时间分辨率（宽的分析窗口），而在高频段则用低的频率分辨率和高的时间分辨率（窄的分析窗口），这与时变信号的特征一致。

(5) 小波变换将信号分解为对数坐标中具有相同大小频带的集合，这种以非线性的对数方式处理频率的方法对时变信号具有明显的优越性。

(6) 小波变换是稳定的，是一个信号的冗余表示。

(7) 小波变换同傅立叶变换一样，具有统一性和相似性，其正反变换具有完美的对称性。

3.2 多分辨率分析多分辨率分析 (Multi-resolution Analysis ，MRA)是由 S.Mallat 和 Y .Meyer 于 1986 年提出来的，它是在2()L R 函数空间内，将函数()f t 描述为一系列近似函数的极限。

每一个近似都是函数()f t 的平滑逼近，而且具有越来越细的近似函数。

这些近似是在不同分辨率得到的，多分辨分析由此得名。

MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。

因此 MRA 在小波变换理论中具有非常重要的地位。

空间2()L R 中的多分辨率分析是指2()L R 中满足下述性质的一个空间序列{},j V j z ∈：（1）一致单调性：1,m m V V +⊂，对于所有的m ：这个性质表明，每个子空间都包含在下一个分辨率子空间中。

（2）渐近完全性：20,(),m m V V L R ==，这个性质表明，子空间的并集在平方可积函数空间2()L R 是收缩的；R 表示实数集（3）伸缩规则性：0()(2)m m f t V f t V -∈⇔∈，尺度函数以2m 因子从分辨率空间0V 生成较低分辨率空间m V 。

（4）平移不变性：00()()f t V f t n V ∈⇔-∈，结合尺度不变性，这个性质表明在分辨率空间平移不改变分辨率。

（5）正交基存在性：存在 V φ∈，使得{()}n z t n φ∈-是0V 的正交集。

即0,{()},()()m n RV span t n t n t m dt φδ=---=⎰ 。

多分辨率分析基本的原则是每当满足上述性质时，都存在标准正交小波基： /2,()2(2)m m m n t t n φ--ψ=-，这样：1,,()()()()m m m n m n P f P f c f t -=+ψ∑ （3.7）这里m P 是m W 到j V 的正交投影。