尺规作图正五边形
看完这些正多边形的尺规作图方法，你还不认为数学也是一种艺术吗？
看完这些正多边形的尺规作图⽅法，你还不认为数学也是⼀种艺术吗？荟思正多边形的尺规作图，虽然是⼀个很纯粹的数学问题，但同时也极具艺术欣赏价值！尺规作图问题是⾮常古⽼的数学问题，早在两千多年前的古希腊时期就开始研究了。
⼈们好奇什么样的图形可以⽤尺规作图的⽅法得到，什么样的图形不可以。
对于可以尺规作图的图形，很好办，想尽办法得到作图⽅法就解决问题了。
对于那些还没想到作图⽅法的图形就⽐较为难，因为不知道是因为不存在这样的作图⽅法，还是因为作法太复杂，所以还没⼈能发现这样的⽅法。
例如三等分⾓问题，就是很长时间⾥都找不到作图⽅法，最终证明是不可能办到的。
再次特别强调⼀下，在尺规作图问题中，直尺是不带刻度的，我们只能⽤它来画直线。
在各种图形中，正多边形是⼤家⽐较感兴趣的⼀类。
由于圆规可以画圆，⽽所有正多边形都可以内接于圆，因此它的所有顶点都在圆周上。
这样看来，正多边形应该很有希望⽤尺规作图。
⽽且，前⼏个正多边形的作图⽅法很快就构造出来了，步骤也不算复杂。
然⽽还是有很多正多边形没有找到尺规作图的⽅法，因此⾃然要问，是否存在不可能尺规作图的正多边形。
相对于同时期的其他⽂明，古希腊数学更富思辨精神。
尽管当时的数学问题都是源于⽣活，但古希腊⼈并不⽴⾜于解决⽣活问题，⽽是考虑⼀般的理想情形。
边数较多的多边形在实际问题中⼏乎不会出现，但他们仍然对这些多边形的尺规作图很感兴趣，并且还执着地规定直尺不能带刻度。
这个问题在经过漫长的两千年后，才最终被天才的⾼斯在24岁时完全解决。
根据⾼斯的结论，⼀个正多边形可以尺规作图，当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积，或者是这些数的2的乘幂倍（即2倍，4倍，8倍，16倍，等等）。
请注意，⾼斯的结论给出的是⼀个充分必要条件。
换句话说，费马素数的数量决定了能尺规作图的奇数边正多边形的个数。
根据⾼斯的结论，边数不超过20的18个正多边形中，可以尺规作图的⼀共有11个，边数分别是3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20。
尺规作图正五边形原理
尺规作图正五边形原理
正五边形作图原理，也叫做“正五边形布线法”，是在机械设计中常用的一种作图原理，它的主要原理是利用直尺和角尺分别在水平和垂直方向上反复作画，最终得到一个正五边形的外形图。
正五边形作图原理的基本步骤如下：
1. 在一张空白纸上，用直尺和角尺绘制出正五边形的中心点。
2. 用直尺将正五边形的中心点分割成五个分段，分别表示正五边形的五条边。
3. 用角尺在水平和垂直方向上反复画出正五边形的五条边，最终得到正五边形的外形图。
正五边形作图原理的优点：
1. 正五边形作图原理简单易懂，能够帮助设计者快速搭建出正五边形的外形图。
2. 正五边形作图原理可以有效地提高设计效率，节省了设计时间和精力。
3. 正五边形作图原理可以在设计过程中，更加精确地掌握正五边形的各项尺寸，从而更加完美地实现设计效果。
正五边形作图原理的应用：正五边形作图原理可以应用于机械设计、模具设计、机械零件设计等领域，帮助设计者快速搭建出正五边形的外形图。
此外，正五边形作图原理还可以用于绘制其他正多边形的外形图，如正六边形、正七边形等。
总的来说，正五边形作图原理是一种简单实用的作图方法，可以提高设计效率，更加精确地掌握正五边形的各项尺寸，从而更加完美地实现设计效果。
请用尺规作图法画出一个正五边形。
请用尺规作图法画出一个正五边形。
请用尺规作图法画出一个正五边形
正五边形是一个有五条相等边和五个相等角的多边形。
尺规作图法是根据几何构造的原理，使用尺子（直尺）和圆规来绘制几何图形。
以下是使用尺规作图法绘制正五边形的步骤：
1. 先画一个任意圆。
假设圆心为O，半径为r。
2. 在圆上选择一个点A，并将尺子的一边放在A上，另一边延长到圆上的另一点B，使得AB的长度等于圆的半径r。
3. 以点A为圆心，以AB的长度为半径，作一条弧线，与圆交于点C。
4. 将尺子的一边放在点A上，另一边延长到点C，再将尺子放在点C上，另一边延长到圆上的另一点D。
5. 以点C为圆心，以CD的长度为半径，作一条弧线，与圆交于点E。
6. 连接OA、OC、OE，得到一个正五边形。
注意事项：
- 在绘制过程中，尽量保持尺子的边与圆的周边平行，这样可以保证绘制出的正五边形更精确。
- 在选择点B和点D时，确保它们与圆弧的切点即可。
尺规作图法是根据严格的几何构造规则进行的，在实际操作中可能需要一些技巧和练习才能画出完美的正五边形。
希望以上步骤对您有所帮助。
祝您绘制成功！。
正五边形尺规作图方法赏析
正五边形尺规作图方法赏析作者：谢俊峰来源：《数学大世界·上旬刊》2018年第11期尺规作图是起源于古希腊的数学课题。
历史上最先明确提出尺规限制的是希腊天文学家、数学家伊诺皮迪斯。
由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决。
最著名的是古希腊最有影响力的四大数学学派之——巧辨学派提出的三大著名尺规作图问题：倍立方问题、化圆为方问题、三等分角，当然，这三个问题都已被证明不可能用尺规作图来解决。
尺规作图中有许多有趣的问题，其中作正多边形就是其中一种。
大家认为这是一个简单的问题，但在操作中我们知道，正四邊形、正五边形、正六边形都比较简单，但到正七边形、正九边形却遇到了很大的困难，最终解决这个问题的是伟大的数学家高斯，他给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积。
本文提供正五边形的几种作图方法，供大家赏析。
一、已知圆的半径为r，求作圆的内接正五边形作法1：如图1，作圆O的任意半径OA1，A1B⊥OA1，并使得A1B=1/2OA1，连接BO，以B为圆心，删，为半径作弧截BO于点C，以O为圆心、0C为半径作弧截0A1于点M，以点A1起顺次截取等于0M的弦A1B2，A2B3，…，A10A1，将A2、A4、A6、A8、A10顺次连接，即为圆的内接正五边形。
作法2：如图2，作互相垂直的直径AM，BN，作0N的垂直平分线交ON于点E，以E为圆心、EA为半径作弧交OB于点F，从点A起顺次在圆上截取等于AF的弦，AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A，顺次连接A、A1、A2、A3、A4、A，即得到正五边形。
作法3：如图3，任作圆O的半径OA，，过O点作OA1的垂线OB交圆O于点B，取OB的中点C，作∠OCA1的角平分线CD交于点D，过D点作DA2⊥OA1交圆O于点A2，从点A2起顺次在圆上截取等于A1A2的弦A2A3、A3A4、A4A5，顺次连接A1、A2. A3、A4.A5、A，即得到正五边形。
正五边形尺规作图的画法及其他
正五边形尺规作图的画法及其他正五边形的画法圆内接正五边形的画法如下:1、作一个圆，设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。
以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。
正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k（2的k次幂）或2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下角标）其中，p1，p2，…，ps是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而 3=F0．。
正五边形的几种尺规构图法
数海拾贝正五边形是一种非常重要、也非常美观的图形.它有很多特别的性质，如正五边形每个角均为108°，每条边长度相等；正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形；正五边形的内角和为540°.尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图，尺规作图起源于古希腊的数学课题：只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.对于尺规构图来说，正五边形算是比较复杂的了.《几何原本》中是这样作正五边形的：先作一个等腰三角形，使其腰和底边之比为黄金比例，可以证明这个等腰三角形的顶角是36度，继而在此基础上作出正五边形（如图1）.而在《圆之吻——有趣的尺规作图》（莫海亮著）一书中，作者给出了正五边形的二十四个尺规作图方法，后面还有若干个单规、单尺作图法.虽然正五边形的作图方法多种多样，但操作起来是很复杂的，并且精确的正五边形难画.下面给出5种用尺规作出正五边形的方法.图1方法一:根据cos 72°=确定P 2点，如图2.1.作OB 的中点D (取其长度为a )；2.作圆DA (虚线所表示的圆)交直线OP 1于E 点(取其长度为(5-1)a )；3.过E 作OP 1的垂线EF ；4.以点O 为圆心，AC 为半径(4a )作圆OF 交直线EF 于点F ；5.求作OF 与圆OP 1的交点，该点即为P 2；6.依次在圆OP 1上截取P 3,P 4,P 5；7.连接P 1,P2,P 3,P 4,P 5，即可得到如图2所示的正五边形.图2方法二:根据sin 36°=长为(10-25)a 点,如图3.1.作OC 的中点D (取其长度为a )；2.作圆DP 1(虚线所表示的圆)交直线AC 于E 点(取其长度为(5-1)a )；3.选取线段EP 1的长度为(10-25)a ，即五边形的边长；4.依次在圆OP 1上截取P 2,P 3,P 4,P 5；5.连接P 1,P 2,P 3,P 4,P 5，即可得到如图3所示的正五边形.王奇62数海拾贝图3方法三:根据cos72°=确定圆心角，如图4.1.任作一条长度为4a的线段AE，并将其等分为4等份(A,B,C,D,E)；2.过点A作直线AE的垂线，并用长度AO=a确定圆心O；3.以C为圆心，CB=a为半径在CO上截取点F(取其长度为a)；4.取OF长度为(5-1)a；5.过F作OC的垂线FG；6.以点O为圆心，AE=4a为半径作圆交直线FG于点G；7.以点O为圆心，任意长度为半径作圆OP1分别交直线OC和OG于点P1和P2；8.依次在圆OP1上截取P3,P4,P5；9.连接P1,P2,P3,P4,P5，即可得到如图4所示的正五边形.图4方法四:根据cos36°确定P2点，如图5.1.作OB的中点D(取其长度为a)；2.作圆DA(虚线所表示的圆)交直线OP1于点E(取其长度为(5+1)a)；3.过E作OP1的垂线EF；4.以点B为圆心，AC为半径(4a)作圆BF交直线EF于点F；5.求作BF与圆OC的交点，该点即为P2；6.依次在圆OP1上截取P3,P4,P5；7.连接P1,P2,P3,P4,P5，即可得到如图5所示的正五边形.图563。
由“正五边形的尺规作图”引发的探究
由“正五边形的尺规作图”引发的探究
刘永明
【期刊名称】《中学数学教学参考》
【年(卷),期】2022()26
【摘要】九年级教材中的“读一读”介绍了“利用尺规作正五边形”的方法,但作图的原理却只字未提。
教师可针对这一问题通过创设问题情境,引导学有余力的学生展开积极探究,从而培养其创造性思维和举一反三、触类旁通的能力。
【总页数】3页(P24-26)
【作者】刘永明
【作者单位】山东省枣庄市滕州市北辛中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.从被动到自主，让“尺规作图”走向“低耗高效”--由一道试题引发的思考
2.正五边形的又一尺规作图法
3.正五边形的又一尺规作图法
4.重视探究过程,升华基本作图——一道尺规作图题的思考
5.解读尺规作图,类题探究感悟——以2021年江苏省中考卷尺规作图题为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
用两种方法推导出正五边形的画
用两种方法推导出正五边形的画ib a + ()b a , ()θθsin cos i r ib a +=+ 22b a r += θ n ()ϕϕsin cos i + ()n i ϕϕsin cos + ()0,1 ϕϕn n sin cos +1z z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 2 z 3 z 4 z 5 52cos π52sin πi nπϕ2= 用两种方法推导出正五边形的尺规作图法用复数ib a +表示坐标为()b a ,的点，ib a +可以写成()θθsin cos i r ib a +=+ 其中22b a r +=是原点到()b a ,的距离，θ是点()b a ,的向径与x 之夹角。
单位圆上的点可以用θθsin cos i + 来表示。
棣美芙给出复数n 次幂公式：()n i ϕϕsin cos +=ϕϕn n sin cos + 正五形的一个顶点在()0,1， 令θ=52π其它的全体顶点分别是：()θθsin ,cos ，()θθ2sin ,2cos ，（θθ3s i n ,3c o s ），()θθ4s i n ,4c o s 。
对应的复数分别是：z 1=52cosπ+ 52sin πi = z 令θ=52π z 2=θθ2sin 2cos i +z 3=θθ3sin 3cos i + z 4=θθ4sin 4cos i +于是正五边形的顶点是方程z 5=1的根，我们只需求出除1之外的4个根，则可以画出正五边形，这4个根满足01112345=++++=--z z z z z z为得到正五边形，应该解方程z z z z +++234+1=0不难看出：z 1=zz 2=2z z 3=3z z 4=4z z 5=5z 令1x =z 1+ z 4， 2x =z 2+z 3则21x x +=z 1 +z 2 + z 3+ z 4=-1 21x x =（z 1+ z 4）(z 2+z 3)=()()1432324-=+++=++z z z z z z z z 所以1x 与2x 是方程012=-+x x 的根。
尺规正五边形原理证明
尺规正五边形原理证明
五边形正五边形是多边形中一种最重要的形状，它有着广泛的历史记录和传统。
几乎所有数学家都熟知五边形正五边形的原理，即证明只要符合相应的条件，就可以形成正五边形。
首先，任何多边形的所有内角之和都应该小于360°。
因此，只有5个角的多边形的内角总和才是360°。
正五边形有五个等边，每个角的度数都是36°，所以它的内角总和也是36°X5 = 180°。
其次，任何多边形的每两条边的夹角的和应该是180°。
正五边形的每两条边之间的夹角都是72°，因此它的每对角度之和也是
72°X5 =360°。
最后，当多边形的内角总和等于180°，而每对角度之和等于360°时，这个多边形就是五边形正五边形。
由于经过前面两个条件的验证，我们可以得出结论，如果多边形满足内角总和的条件与每对角度之和的要求，就形成了五边形正五边形。
由于正五边形符合上述条件，我们可以得出结论，五边形正五边形就是这样形成的。
它是一种相当有趣的多边形形状，也是广泛应用于几何学和数学方面的最重要的多边形之一。
它也被用于建筑、绘画等人们日常生活和活动中。
综上所述，五边形正五边形的原理可以从多个条件出发来证明：只要符合内角总和和每对角度之和的要求，就可以形成五边形正五边形。
这也说明了它的历史和传统的重要性以及它在几何学和数学方面的重要性。
尺规作图 精品课件
1.3 尺规基本几何作图
正六边形的作图 (1)
已知对角线长度 D
作法一
作法二
正六边形的作图 (2)
已知对边距离 S
作法一
作法二
正五边形的作图
已知外接圆直径 D
A
A
B KO
K OC
(a)
(b)
(c )
1. பைடு நூலகம்度
斜度和锥度
定义：斜度是指直线或平 面对另一直线或平面倾斜 的程度，一般以直角三角 形的两直角边的比值来表 示.
a)
3等分
25
25
b)
c)
圆弧连接
1. 圆弧连接的基本关系
R2=R1-R
作半径为R的圆弧 与已知直线相切
R2=R1+R
画半径为R的圆 弧与 已知圆弧 R1外切
画半径为R的圆弧 与已知圆弧R1内切
2. 圆弧连接作图举例
圆弧连接作图举例
圆弧连接作图举例
椭圆
椭圆的作图：已知长、短轴半径—四心法
E
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加深的具体步骤如下:
(1) 加深图中的全部细线，一次性绘出标题栏、剖面线、尺 寸界线、尺寸线及箭头等.
(2) 加粗圆弧。圆弧与圆弧相接时应顺次进行. (3) 用丁字尺从上至下加粗水平直线，到图纸最下方后应刷
去图中的碳粉，并擦净丁字尺. (4) 用三角板与丁字尺配合，从左至右加粗垂直方向的直线，
(1) 绘图纸边界线， 图框线和标题栏 框线.
(23456) 布画图已中连检绘知间接查重线. 要 段的基准线、轴线、中心线等
以钓钩为例
15
20
40
6
R=15+32
第三阶段：加深、完成全图
尺规作图正五边形原理
尺规作图正五边形原理尺规作图是古代数学中的一个重要概念，它是指只使用直尺和圆规进行作图的方法。
在古希腊时期，人们就已经开始研究尺规作图的原理和方法。
而正五边形作为一个特殊的多边形，其尺规作图原理更是具有一定的难度和挑战性。
本文将介绍尺规作图正五边形的原理，帮助读者更好地理解尺规作图的基本原理和方法。
首先，我们需要了解正五边形的基本性质。
正五边形是指五条边长度相等，五个内角也相等的多边形。
在正五边形中，每个内角的大小为108度。
这些性质对于尺规作图来说是非常重要的，因为我们需要利用这些性质来进行作图。
其次，我们需要明确尺规作图的基本工具，即直尺和圆规。
直尺用来画直线，而圆规用来画圆。
在尺规作图中，我们只能使用这两种工具，不能使用其他工具，比如角尺或者量角器。
因此，我们需要充分利用直尺和圆规的性质，来完成正五边形的作图。
接下来，我们将介绍尺规作图正五边形的具体步骤。
首先，我们可以利用圆规画出一个半径为r的圆。
然后，我们利用直尺在圆上画出一个直径AB。
接着，我们以A和B为圆心，AB为半径画两个圆弧，它们的交点记为C。
然后，我们以C为圆心，AC为半径画一个圆弧，它与圆的交点记为D。
最后，我们以A和D为圆心，AD为半径画两个圆弧，它们的交点分别记为E和F。
连接AE、EF、FD，就得到了一个正五边形。
通过上述步骤，我们可以利用尺规作图的方法来构造一个正五边形。
这个过程虽然看似简单，但实际上需要我们对尺规作图的原理和方法有深刻的理解，同时也需要一定的技巧和耐心。
总之，尺规作图正五边形的原理是一个复杂而又有趣的数学问题。
通过本文的介绍，相信读者对尺规作图的基本原理和方法有了更清晰的认识，也对正五边形的特性有了更深入的了解。
希望本文能够帮助读者更好地掌握尺规作图的技巧，同时也能够激发读者对数学的兴趣，进一步深入研究这一领域的知识。
尺规作图正五边形原理
尺规作图正五边形原理尺规作图是古希腊数学中的一个重要问题，它要求使用尺和规作出一些特定的图形。
而正五边形是一个特殊的多边形，它具有独特的性质和构造方法。
在本文中，我们将探讨尺规作图正五边形的原理和方法。
首先，我们需要了解正五边形的性质。
正五边形是一个具有五条相等边和五个内角均为108度的多边形。
它具有许多特殊的几何性质，其中最重要的是它可以用尺规作图。
尺规作图是指使用尺和规这两种简单的几何工具，通过有限次的作图操作，构造出一些特定的图形。
正五边形的尺规作图方法可以追溯到古希腊时期，被认为是一个非常困难的问题，直到19世纪才被完全解决。
其次，我们来探讨尺规作图正五边形的原理。
正五边形的尺规作图原理基于代数和几何的结合。
在代数上，正五边形的尺规作图可以通过解方程来实现，而在几何上，它涉及到一些特殊的构造方法和性质。
其中最著名的是尼古拉斯·波利亚和卡尔·弗里德里希·高斯提出的正五边形的尺规作图方法。
他们分别使用了尼古拉斯·波利亚定理和高斯可构造多边形定理，证明了正五边形可以用尺规作图。
接下来，我们将介绍尺规作图正五边形的具体步骤。
首先，我们需要准备一张空白的纸和一支尺和一支规。
然后，根据波利亚或高斯的方法，依次进行作图操作，直到构造出一个完整的正五边形。
在这个过程中，需要注意每一步的准确性和精确度，因为正五边形的尺规作图是一个非常复杂的过程，任何一个细微的错误都可能导致最终的图形不符合要求。
最后，我们可以总结尺规作图正五边形的原理和方法。
尺规作图正五边形是一个具有挑战性的数学问题，它融合了代数和几何的知识，需要我们对数学有深入的理解和掌握。
通过学习尺规作图正五边形的原理和方法，我们不仅可以提高自己的数学水平，还可以锻炼自己的逻辑思维能力和问题解决能力。
因此，尺规作图正五边形是一个具有重要意义的数学问题，它值得我们深入研究和探讨。
综上所述，尺规作图正五边形的原理和方法是一个非常有趣和具有挑战性的数学问题。
关于圆规直尺可作正五边形的一个证明
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根 据 图 3 和 复 数加 法 的 几 何定义
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我们有
度就是 ( 斌 了一 l ) 4 /
( 而 知 C 与 C 共扼 )
.
(
2
)
现在我们来 证 明定 理
证明
3的
.
(
.
2
) 式 两 边取 平方
得 ( 3 )
3.
·
用 圆 规 直尺 可作 正 五边形
关 千 圆 规 直 尺 可 作 正 五 边 形 的 一 个 证明
(浙江 绍兴 市 )
黄河清
本文将 给 出关 于 圆规 直尺 可作 正 五 边形 的 一 个
证明
。
圆 心 的距 离 为
a
(图 3 )
。
为论证所需
:
.
我们 先来 证 明 下 列 引理
. .
。
根 据 几何 级 数和 的 公 式
,
得
引理
给 出一 条 长度 为 1 的 线 段 设 过B = 1 于是
:
:
。
则 用圆 规 直
尺就可 作长度 为 (斌了 一 1 ) / 4的 线段 证明
:
可 作 图 如下 ( 图 1 )
第一 步 第 二步
, ,
在点 B 上 作 垂
。
直 于 A B 的 直线 L
:
在直 线 L 上 作
= C刀
l + C + C Z+ C 3 + C 4 =
点 C 刀 使 之刀 C
二AB
。
c o s
了
、 不 含
(完整word)尺规作图--作出正多边形
2尺规作出正方形
3：尺规作出正六边形
4:尺规作出正十边形
5：尺规作出正十六边形
6:尺规作出正十七边形
7：尺规作出正十五边形
8：尺规作出正五边形
9:单尺作出正八边形
10:单尺作出正方形
11：单尺作出正六边形
12：单尺作出正五边形
13：单规找出两点间的三等分点
14:单规找出两点间的中点
15：单规作出等边三角形
16:单规作出正八边形
17:单规作出正方形
18：单规作出正六边形
19：ห้องสมุดไป่ตู้规作出正十边形
20:单规作出正十二边形
21：单规作出正十六边形
22：单规作出正十五边形
23单规作出正五边形
24：只有两个刻度的直尺作出正三角形
25:只有两个刻度的直尺作出正方形
正五边形的画法
、[正五边形的画法]圆内接正五边形的画法如下:1、任作一圆O2、任作圆O中互相垂直的两直径AB、CD3、作OD的垂直平分线交OD于E4、以E为圆心，EA长为半径作弧，交CD于F5、在圆O上顺序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF则得正五边形AGHMN已知边长作正五边形的近似画法如下:①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做;正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些.正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的.人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年.17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi (i为右下角标)=22i(底数2指数2的i次幂)+1 的数.费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解.现在他又猜测Fi都是素数，对于i=0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数.F5=225+1是否素数呢?仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了!F5是两素数之积：F5=641×6 700 417.当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解决问题?更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道.至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i+1的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事.更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k(2的k次幂)或2k×p1×p2×…×ps，(1，2…s为右下角标)其中，p1，p2，…，ps是费马素数.正7边形可否尺规作图呢?否!因为7是素数，但不是费马素数.倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形.根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形.就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连.正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看.高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案.高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5=F1);对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数;对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的;此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢?因为4=22，因为6= 2· 3而3=F0.费马数费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式：其中 n 为非负整数。
正五边形的画法原理(一)
正五边形的画法原理(一)正五边形的画法简介正五边形是一种具有特殊几何性质的多边形，它有五个等边、五个等角的边，是对称美的代表之一。
在绘画和设计领域中，正五边形经常被用作构图元素，下面将介绍几种绘制正五边形的方法，从简单到复杂逐步解释相关原理。
方法一：传统方法1.准备一张纸、一只铅笔和一个直尺。
2.在纸上选择一个合适的位置作为正五边形的中心点，用直尺画出一条水平线作为基准线。
3.以中心点为原点，使用直尺量取一个固定的长度，将直尺与基准线重合，向上作一条线段，再向左下方轻轻绕过直尺底部画出另一个线段，使两条线段相交。
4.再次以中心点为原点，将直尺与前一条线段的终点对齐，延长直线方向向左上方绘制一条直线，使其与前一条线段相交。
5.重复步骤4，直到绘制出五条相交的线段，它们的交点就是正五边形的五个顶点。
6.最后，用铅笔将五个顶点连接起来，画出完整的正五边形。
方法二：利用正三角形1.准备一张纸、一只铅笔和一个直尺。
2.在纸上选择一个合适的位置作为正五边形的中心点，用直尺画出一条水平线作为基准线。
3.以中心点为原点，利用直尺和铅笔画出一个正三角形，其中三条边的长度相等。
4.在正三角形的底边上等分出五个点，分别记为A、B、C、D、E。
5.从A点开始，用直尺连接A、C，再连接C、E，最后连接E、A，得到一个正五边形。
方法三：利用黄金分割1.准备一张纸、一只铅笔和一个直尺。
2.在纸上选择一个合适的位置作为正五边形的中心点，用直尺画出一条水平线作为基准线。
3.以中心点为原点，利用直尺和铅笔将一条直线段分成两段，比例为黄金分割比例（约为1：1.618）。
4.将较长的线段的终点作为起点，再以该终点为原点，按照黄金分割比例将线段继续分割，得到一个更短的线段。
5.重复步骤4，不断分割线段，直到得到适当的长度。
6.最后，用铅笔将分割得到的点连接起来，画出正五边形。
方法四：利用数学公式1.准备一张纸、一只铅笔和一个直尺。
2.在纸上选择一个合适的位置作为正五边形的中心点，用直尺画出一条水平线作为基准线。
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用尺规作图法怎样把一个圆周分这五等份？
1.作互相垂直的直径AB、CD.
2.作OA的垂直平分线，垂足为E，(E为OA的中点)
3.以E为圆心，DE为半径作弧交OB于F ，则DF为正五边形的边长。
4.从D开始，用DF的长，依次在圆周上截取四次即可。
这个问题用到了黄金分割。
以一个已知线段为边的五边形作法如下：
假设已知线段为正五边形ABCDE的CD边，那么下面只要作出顶点A的位置即可，如果作出了AC线段的长，那么顶点A很快就可以作出。
从而作出整个正五边形。
下面分析AC的长度，分析可知，△ACD中，∠CAD=36゜，进一步的分析可知AC∶CD 的比值等于线段黄金分割中长线段与短线段的比，其比值为（1+√5）/2，作一个线段的（1+√5）/2倍好作吧？
首先作√5倍的线段，过CD线段的D点作DM⊥CD，使DM=2CD，连接CM，则CM=√5CD。
再作（1+√5）倍的线段，再作（1+√5）/2倍的线段就不用我说了吧。
这样就得到了AC的长度。
得到了AC的长度后再作出A、B、E点的位置，最后就作出了一个以已知长度为边的正五边形。
多边形内角和公式（n-2）X180°
正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形
五个3角形各自角度之和180
正五边形的内角和180*（n-2）=180*3=540；每个角时540/5=108
三角形的是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角=180-108=72
三角形内角和为180，那么三角形顶角，即五角星尖角=180-72*2=36
一个五角星的5个角的度数总和是36*5＝180度。