河南省实验中学2020-2021学年九年级上期开学测试数学试卷及答案

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2024年河南省郑州市河南省实验中学数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】

2024年河南省郑州市河南省实验中学数学九年级第一学期开学联考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知菱形ABCD 的面积是120，对角线AC ＝24，则菱形ABCD 的周长是（）A ．52B ．40C ．39D ．262、（4分）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）A ．3B ．4C ．5D ．63、（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是()A ．B C D ．4、（4分）如图，点E 是矩形ABCD 的边DC 上的点，将△AED 沿着AE 翻折，点D 刚好落在对角线AC 的中点D’处，则∠AED 的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5、（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO 的顶点O 为坐标原点，边CO 在x 轴正半轴上，∠AOC ＝60°，反比例函数y ＝23x (x ＞0)的图象经过点A ，交菱形对角线BO于点D ，DE ⊥x 轴于点E ，则CE 长为()学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………A ．1B ．2C ．22﹣6D ．2﹣16、（4分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，10AB =，点D 是AB 的中点，则(CD =)A ．4B ．5C ．6D ．87、（4分）如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一动点P ，则PD+PE 的和最小值为()A ．12B ．4C ．3D ．68、（4分）下列说法正确的是（）A ．为了解昆明市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式B ．数据2，1，0，3，4的平均数是3C ．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数是3D ．在连续5次数学周考测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）某垃圾处理厂日处理垃圾3600吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高20%，这样日处理同样多的垃圾就少用3h ．若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x 吨，则可列方程____________．10、（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 、F 分别是三边的中点，CF ＝8cm ，则线段DE ＝________cm ．11、（4分）的整数部分为a ，小数部分为b ，则2b a b +的值等于________.12、（4分）在直角坐标系中，直线l 为x ，过点A 1（1，0）作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2，再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3…按照这样的作法进行下去，则点A 20的坐标是______．13、（4分）函数y=的自变量x 的取值范围是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在“母亲节”前夕，店主用不多于900元的资金购进康乃馨和玫瑰两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？15、（8分）如图，E 、F 是ABCD 的对角线AC 上的两点，且BE AC ⊥，DF AC ⊥，连接BE 、ED 、DF 、FB .（1）求证：四边形BEDF 为平行四边形；（2）若4BE =，2EF =，求BD 的长.16、（8分）如图，平面直角坐标系中的每个小正方形边长为1，△ABC 的顶点在网格的格点上．（1）画线段AD ∥BC ，且使AD ＝BC ，连接BD ；此时D 点的坐标是．（2）直接写出线段AC 的长为，AD 的长为，BD 的长为．（3）直接写出△ABD 为三角形，四边形ADBC 面积是．17、（10分）计算（1）()21511325131x x x x -+⎧-≤⎪⎨⎪-<+⎩（2）分解因式()222416a a +-（3）解方程：123222x x x -=+--.18、（10分）如图，已知□ABCD 边BC 在x 轴上，顶点A 在y 轴上，对角线AC 所在的直线为y =34x -+6，且AC =AB ，若点P 从点A 出发以1cm /s 的速度向终点O 运动，同时点Q 从点C 出发以2cm /s 的速度沿射线CB 运动，当点P 到达终点O 时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）直接写出顶点D 的坐标（______，______），对角线的交点E 的坐标（______，______）；（2）求对角线BD 的长；（3）是否存在t ，使S △POQ=112S ▱ABCD ，若存在，请求出的t 值；不存在说明理由．（4）在整个运动过程中，PQ 的中点到原点O 的最短距离是______cm ，（直接写出答案）B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若1-，，则代数式（x-1）（y+1）的值等于_____．20、（4分）一次函数y=kx－2的函数值y 随自变量x 的增大而减小，则k 的取值范围是__．21、（4分）把抛物线y =x 2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_____.22、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，若∠CAE ＝15°，则∠BOE 的度数为____________．23、（4分）已知边长为5cm 的菱形，一条对角线长为6cm ，则另一条对角线的长为________cm ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，AD 是△ABC 边BC 上的中线，AE ∥BC ，BE 交AD 于点E ，F 是BE 的中点，连结CE ．求证：四边形ADCE 是平行四边形．25、（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，垂足分别为E 、F ；（1）连结AE 、CF ，得四边形AFCE ，试判断四边形AFCE 是下列图形中的哪一种？①平行四边形；②菱形；③矩形；（2）请证明你的结论；26、（12分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，E 为AB 边上一点，过E 作EG ⊥BC 于点G ，交对角线BD 于点F ．（1）如图（1），若∠ACE ＝15°，BC ＝6，求EF 的长；（2）如图（2），H 为CE 的中点，连接AF ，FH ，求证：AF ＝2FH ．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】先利用菱形的面积公式计算出BD=10，然后根据菱形的性质和勾股定理可计算出菱形的边长=13，从而得到菱形的周长．【详解】∵菱形ABCD的面积是120，即12×AC×BD=120，∴BD=120224⨯=10，∴菱形的边长=13，∴菱形ABCD的周长=4×13=1．故选A．本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积计算可利用平行四边形的面积公式计算，也可利用菱形面积=12ab（a、b是两条对角线的长度）进行计算．2、D【解析】解：由一个多边形的每一个外角都等于10°，且多边形的外角和等于310°，即求得这个多边形的边数为310÷10=1．故答案选D.考点：多边形外角与边数的关系．3、D【解析】分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．详解：A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；B.被开方数含分母，故不符合题意；C.被开方数含分母，故不符合题意；D.被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；故选D.点睛：此题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式.4、B 【解析】由折叠的性质可得AD ＝AD'＝AC ，∠D ＝∠AD'E ＝90°，∠DAE ＝∠CAE ，可求∠ACD ＝30°，由直角三角形的性质可求∠AED 的度数．【详解】解：∵将△AED 沿着AE 翻折，点D 刚好落在对角线AC 的中点D′处，∴AD ＝AD'＝AC ，∠D ＝∠AD'E ＝90°，∠DAE ＝∠CAE ∴∠ACD ＝30°，∴∠DAC ＝60°，且∠DAE ＝∠CAE ∴∠DAE ＝∠CAE ＝30°，且∠D ＝90°∴∠AED ＝60°故选：B ．本题考查了翻折变换，矩形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．5、C 【解析】由菱形ABCO ，∠AOC=60°，由解直角三角形可以设A（m m ）,又点A 在反比例函数的图像上，带入可以求出A 的坐标，进而可以求出OA 的长度，即OC 可求．再根据菱形ABCO ，∠AOC=60°，可知∠BOC=30°，可设E（n ，0）,则D（n ，3n ）,带入反比例函数的解析式可以求出E 点坐标，于是CE=OC-OE，可求.【详解】解：∵四边形ABCO 为菱形，∠AOC=60°，∴可设A （m m ）,又∵A 点在反比例函数y=23x 上，m 2，得m=(由题意舍m=-),∴A ），∴，又∵四边形ABCO 为菱形，∠AOC=60°，OB 为四边形ABCO 的对角线，∴∠BOC=30°，可设D （n ，3n ）,则E （n ，0），∵D 在反比例函数y=x 上，∴33n 2=解得n (由题意舍n =-),∴E ，0），∴,则有CE=OC-OE=2.故答案选C.掌握菱形的性质，理解“30°角所对应的直角边等于斜边的一半”，再依据勾股定理分别设出点A 和点D 的坐标，代入反比例函数的解析式.灵活运用菱形和反比例函数的性质和解直角三角形是解题的关键.6、B【解析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】ACB 90∠=，点D 为AB 的中点，1CD AB 52∴==．故选：B ．本题考查直角三角形的性质，掌握在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7、B 【解析】由于点B 与D 关于AC 对称，所以连接BE ，与AC 的交点即为P 点．此时PD+PE=BE 最小，而BE 是等边△ABE 的边，BE=AB ，由正方形ABCD 的面积为16，可求出AB 的长，从而得出结果．【详解】解：设BE 与AC 交于点P'，连接BD ．∵点B 与D 关于AC 对称，∴P'D=P'B ，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为16，∴AB=1，又∵△ABE 是等边三角形，∴BE=AB=1．故选：B ．本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．8、C【解析】根据抽样调查、平均数、众数的定义及方差的意义解答可得．【详解】解：A 、为了解昆明市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，此选项错误；B 、数据2，1，0，3，4的平均数是2，此选项错误；C 、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数是3，此选项正确；D 、在连续5次数学周考测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，此选项错误；故选C ．此题考查了抽样调查、平均数、众数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、()360036003120%x x -=+【解析】设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x 吨，则后来每小时清除垃圾()120%x +吨，根据“原工作时间−3=后来的工作时间”列分式方程求解可得．【详解】解：设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x 吨，则后来每小时清除垃圾()120%x +，根据题意得()360036003120%x x -=+．故答案为()360036003120%x x -=+.本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解．10、8【解析】分析：由已知条件易得CF 是Rt △ABC 斜边上的中线，DE 是Rt △ABC 的中位线，由此可得AB=2CF=2DE ，从而可得DE=CF=8cm.详解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 、F 分别是三边的中点，∴AB=2CF ，AB=2DE ，∴DE=CF=8（cm ）.故答案为：8.点睛：熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键.11、【解析】根据题意先求出a 和b ，然后代入化简求值即可.【详解】解：∵23，∴a ＝2，b ﹣2，∴2222b a b ⨯-===-+故答案为2．二次根式的化简求值是本题的考点，用到了实数的大小比较，根据题意求出a 和b 的值是解题的关键.12、（219，0）【解析】根据题意，由1A (1，0)和直线l 关系式x ，可以求出点B 1的坐标，在Rt△OA 1B 1中，根据勾股定理，可以求出OB 1的长；再根据OB 1=OA 2确定A 2点坐标，同理可求出A 3、A 4、A 5……，然后再找规律，得出A n 的坐标，从而求得点A 20的坐标．【详解】x=时，y=x=A1B1，当1在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1=2，∵OB1=OA2，∴A2(2，0)同理可求：A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……由点：A1(1，0)、A2(2，0)、A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……即：A1(20，0)、A2(21，0)、A3(22，0)、A4(23，0)、A5(24，0)……可得A n(2n-1，0)∴点A20的坐标是(219，0)，故答案为：(219，0)．考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性．在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意．13、x＜2【解析】令2-x>0，解这个不等式即可求出自变量x的取值范围.【详解】由题意得，2-x>0，∴x＜2.故答案为：x＜2.本题考查了常量与变量，根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、至少购进玫瑰200枝．【解析】由康乃馨和玫瑰共500枝，可设玫瑰x枝，康乃馨（500-x）枝，可求出每种花的总进价，再利用两种花总进价和“不多于900元”列出不等式并解答．【详解】解：设购进玫瑰x枝，则购进康乃馨（500-x）枝，列不等式得：1.5x +2（500-x ）≤900解得：x ≥200答：至少购进玫瑰200枝．本题考查了一元一次不等式的应用，关键是找准不等关系列不等式，是常考题型．15、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据平行四边形的性质，证明(AAS)ABE CDF ∆≅∆，即可解答.（2）由（1）得到122OE EF ==，2BD OB =，再利用勾股定理即可解答.【详解】（1）证明：∵BE AC ⊥，DF AC ⊥，∴90AEB BEF DFE DFC ∠=∠=∠=∠=︒.∴BE DF ∥.在ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，∴BAE DCF ∠=∠.∴(AAS)ABE CDF ∆≅∆.∴BE DF =.∴四边形BEDF 是平行四边形.（2）∵四边形BEDF 是平行四边形，∴122OE EF ==，2BD OB =.在Rt OEB ∆中，OB ==∴BD =.此题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于判定三角形全等.16、（1）如图所示：D 点的坐标是（0，﹣4）；（2）线段AC ，AD 的长为，BD 的长为；（3）△ABD 为直角三角形，四边形ADBC 面积是1．【解析】（1）根据题意画出图形，进一步得到D 点的坐标；（2）根据勾股定理可求线段AC 的长，AD 的长，BD 的长；（3）根据勾股定理的逆定理可得△ABD 为直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解．【详解】（1）如图所示：D 点的坐标是（0，﹣4）；（2）线段AC =AD =BD 的长为=（3）∵AB AD BD ====((222,+=∴△ABD 为直角三角形，四边形ADBC 面积是20=．考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，矩形的面积，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．17、①12x -≤<;②()()2222a a +-;③无解【解析】（1）分别求出各不等式的解集，再根据小大大小中间找求出其公共解集即可；（1）首先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）()21511325131x x x x -+⎧-≤⎪⎨⎪-<+⎩①②由①得x≥-1，由②得x ＜1，原不等式的解为-1≤x ＜1．（1）原式=（a 1+4）1-（4a ）1，=（a 1+4+4a ）（a 1+4-4a ），=（a+1）1（a-1）1．（3）去分母得：1-1x=1x-4-3，移项合并得：4x=8，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．（1）本题考查的是解一元一此不等式组，解答此题的关键是熟知解一元一此不等式组应遵循的法则，同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（1）此题主要考查了公式法分解因式，关键是熟练掌握平方差公式：a 1-b 1=（a+b ）（a-b ），完全平方公式：a 1±1ab+b 1=（a±b ）1．（3）此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18、（1）16；6；4；3；（2）；（3）存在，t 值为2；（4）此时PQ 的中点到原点O .【解析】（1）令x=0，y=0代入解析式得出A ，C 坐标，进而利用平行四边形的性质解答即可；（2）根据平行四边形的性质得出点B ，D 坐标，利用两点间距离解答即可；（3）利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式列出方程解答即可；（4）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可知，当PQ 长度最短时，PQ 的中点到原点O 的距离最短解答即可．【详解】（1）把x=0代入y=34x -+6，可得y=6，即A 的坐标为（0，6），把y=0代入y=34x -+6，可得：x=8，即点C 的坐标为（8，0），根据平行四边形的性质可得：点B 坐标为（-8，0），所以AD=BC=16，所以点D 坐标为（16，6），点E 为对角线的交点，故点E 是AC 的中点，E 的坐标为（4，3），故答案为16；6；4；3；（2）因为B （-8，0）和D （16，6），∴=（3）设时间为t ，可得：OP=6-t ，OQ=8-2t ，∵S △POQ =S ▱ABCD ，当0＜t≤4时，11(82)(6)166212t t -⨯-=⨯⨯，解得：t 1=2，t 2=8（不合题意，舍去），当4＜t≤6时，11(28)(6)166212t t -⨯-=⨯⨯，△＜0，不存在,答：存在S △POQ =112S ▱ABCD ，此时t 值为2；（4）∵22222216(6)(82)5()55PQ t t t =-+-=-+，当t=225时，PQ=5，当PQ 长度最短时，PQ 的中点到原点O 的距离最短，此时PQ 的中点到原点O 的最短距离为12PQ=12⨯5=5此题是一次函数综合题，主要考查了平行四边形的性质，待定系数法，利用平行四边形的性质解答是解本题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、-2【解析】解：()()111x y xy x y -+=+--∵x y -1-,=xy 原式112=+--=-故答案为:2-20、k＜1【解析】根据一次函数图象的增减性来确定k 的符号即可.【详解】解：∵一次函数y =kx -2的函数值y 随自变量x 的增大而减小，∴k ＜1，故答案为k ＜1．本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y =kx +b （k ≠1）中，当k ＞1时，y 随x 的增大而增大；当k ＜1时，y 随x 的增大而减小．21、y=（x+1）1-1【解析】先由平移方式确定新抛物线的顶点坐标．然后可得出顶点式的解析式。

2024-2025学年河南省实验中学九年级(上)开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年河南省实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.若a>b，则下列不等式不一定成立的是( )A. 2a>2bB. a2>b2C. −a2<−b2D. a+1>b+13.一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 74.如图所示，是一块三角形的草坪(△ABC)，现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A. △ABC三条边的垂直平分线的交点B. △ABC三个内角的角平分线的交点C. △ABC三角形三条边上的高的交点D. △ABC三角形三条中线的交点5.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )A. a2−b2+1=(a+b)(a−b)+1B. (m+3)(m−3)=m2−9C. y2−4y+4=(y−2)2D. 2a+3b=5ab6.关于x的一元二次方程x2+x−m2=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )A. 当∠ABC=90°，□ABCD是矩形B. 当AC=BD，□ABCD是矩形C. 当AB=BC，□ABCD是菱形D. 当AC⊥BD，□ABCD是正方形8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为( )A. 19B. 16C. 15D. 139.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是( )A. 当P=440W时，I=2AB. Q随I的增大而增大C. I每增加1A，Q的增加量相同D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多10.如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )A. 6B. 3C. 43D. 23二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

河南省郑州市实验中学2024年数学九上开学教学质量检测模拟试题【含答案】

河南省郑州市实验中学2024年数学九上开学教学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图所示，已知点C (1，0)，直线7y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是线段AB ，OA 上的动点，则△CDE 的周长的最小值是()A ．B ．10C ．4+D ．122、（4分）若直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k 的图象大致是()A ．B ．C ．D ．3、（4分）下列函数中是一次函数的是()A ．200t v =B ．()50s t t =-C ．22y x x =+D ．62y x=-4、（4分）某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过500元的商品，超过500元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y(单位：元)与商品原价x(单位：元)的函数关系的图像如图所示，则超过500元的部分可以享受的优惠是()A ．打六折B ．打七折C ．打八折D ．打九折5、（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比为()A ．12B ．13C ．14D ．166、（4分）在ABCD 中，38A ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．142︒B ．148︒C ．132︒D ．38︒7、（4分）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，假设每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图．则每分钟的进水量与出水量分别是（）A ．5、2.5B ．20、10C ．5、3.75D ．5、1.258、（4分）若一个直角三角形的两边长为4和5，则第三边长为（）A ．3B C ．8D ．3二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点G ，BF ⊥AE ，垂足为F ，若AD ＝AE ＝1，∠DAE ＝30°，则EF ＝_____．10、（4分）已知长方形的面积为6m 2+60m+150（m ＞0），长与宽的比为3：2，则这个长方形的周长为_____．11、（4分）如图，已知矩形ABCD ，8AB cm =，6BC cm =，点Q 为BC 中点，在DC 上取一点P ，使APQ ∆的面积等于218cm ，则DP 的长度为_______.12、（4分）端午期间，王老师一家自驾游去了离家170km 的某地，如图是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象，当他们离目的地还有20km 时，汽车一共行驶的时间是_____．13、（4分）=_________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）计算（1）分解因式：a 2-b 2+ac-bc（2）解不等式组()2x 1x 1x 2x 323⎧-≤+⎪⎨++≥⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和．15、（8分）如图，直线y ＝2x +6交x 轴于A ，交y 轴于B ．（1）直接写出A （，），B （，）；（2）如图1，点E 为直线y ＝x +2上一点，点F 为直线y ＝12x 上一点，若以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点E ，F 的坐标（3）如图2，点C （m ，n ）为线段AB 上一动点，D （﹣7m ，0）在x 轴上，连接CD ，点M 为CD 的中点，求点M 的纵坐标y 和横坐标x 之间的函数关系式，并直接写出在点C 移动过程中点M 的运动路径长．16、（8分）已知关于x 的一元二次方程2(3)30mx m x -++=总有两个不相等的实数根.(1)求m 的取值范围；(2)若此方程的两根均为正整数，求正整数m 的值.17、（10分）我市开展“美丽自贡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．18、（10分）如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B、C 不重合），AE⊥DG 于E，CF∥AE 交DG 于F．请你经过观察、猜测线段FC、AE、EF 之间是否存在一定的数量关系？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE AC =，则E ∠=________度．20、（4分）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OM AC ⊥，平行四边形ABCD 的周长为8，则CDM ∆的周长为______.21、（4分）菱形ABCD 中，60B ∠=，5AB =，以AC 为边长作正方形ACFE ，则点D 到EF 的距离为_________．22、（4分）在正方形ABCD 中，对角线AC ＝2cm ，那么正方形ABCD 的面积为_____．23、（4分）若一组数据2，x ，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是_______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC ，交AC 的延长线于点N ，求证：BM=CN ．25、（10分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE .（1）求证:四边形ABCD 是菱形；（2）若AE ＝5，OE ＝3，求线段CE 的长.26、（12分）如图，点、分别在矩形的边、上，把这个矩形沿折叠后，点恰好落在边上的点处，且.（1）求证：；（2）连接、，试证明：.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】点C 关于OA 的对称点C ′（-1，0），点C 关于直线AB 的对称点C ″（7，6），连接C ′C ″与AO 交于点E ，与AB 交于点D ，此时△DEC 周长最小，可以证明这个最小值就是线段C ′C ″．【详解】解：如图，点C (1，0)关于y 轴的对称点C ′（-1，0），点C 关于直线AB 的对称点C ″，∵直线AB 的解析式为y =-x +7，∴直线CC ″的解析式为y =x -1，由71y x y x -+⎧⎨-⎩＝＝解得43x y ＝＝⎧⎨⎩，∴直线AB 与直线CC ″的交点坐标为K （4，3），∵K 是CC ″中点，C (1，0)，设C ″坐标为（m ，n ），∴142032m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：76m n =⎧⎨=⎩∴C ″（7，6）．连接C ′C ″与AO 交于点E ，与AB 交于点D ，此时△DEC 周长最小，△DEC 的周长=DE +EC +CD =EC ′+ED +DC ″=C ′C 10=故答案为1．本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D 、点E 位置，将三角形的周长转化为线段的长．2、A 【解析】首先根据线y=kx+b 经过第一、二、四象限，可得k ＜0，b ＞0，再根据k ＜0，b ＞0判断出直线y=bx+k 的图象所过象限即可．【详解】根据题意可知，k ＜0，b ＞0，∴y=bx+k 的图象经过一，三，四象限.故选A.此题主要考查了一次函数y=kx+b 图象所过象限与系数的关系：①k ＞0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；②k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；③k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；④k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．3、D 【解析】根据形如(0,y kx b k =+≠k 、b 是常数)的函数是一次函数即可解答．【详解】选项A 是反比例函数；选项B 是二次函数；选项C 是二次函数；选项D 是一次函数.故选D ．本题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式y=kx+b 的结构特征：k ≠0；自变量的次数为1；常数项b 可以为任意实数．4、C【解析】设超过200元的部分可以享受的优惠是打n 折，根据：实际付款金额=500+（商品原价-500）×10折扣，列出y 关于x 的函数关系式，由图象将x=1000、y=900代入求解可得．【详解】设超过500元的部分可以享受的优惠是打n 折，根据题意，得：y=500+（x-500）•10n ，由图象可知，当x=1000时，y=900，即：900=500+（1000-500）×10n ，解得：n=8，∴超过500元的部分可以享受的优惠是打8折，故选C.本题主要考查一次函数的实际应用，理解题意根据相等关系列出实际付款金额y 与商品原价x 间的函数关系式是解题的关键．5、C 【解析】由点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，可得出DE 为△ABC 的中位线，则DE ∥BC ，进而得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与△ABC 的面积之比．【详解】如图所示，∵点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选C ．本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键．6、D【解析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，易得∠C=∠A=38°．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=38°．故选：D．此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等．7、C【解析】试题分析：∵t=4时，y=20，∴每分钟的进水量=204=5（升）；∴4到12分钟，8分钟的进水量=8×5=40（升），而容器内的水量只多了30升-20升=10升，∴8分钟的出水量=40升-10升=30升，∴每分钟的进水量=308=3.75（升）．故选C．考点：一次函数的应用．8、D【解析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角边或5是斜边两种情况进行讨论．【详解】当5是直角边时，则第三边=当5是斜边时，则第三边3=．1．故选D ．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）﹣1【解析】首先证明△ADE ≌△GCE ，推出EG=AE=AD=CG=1，再求出FG 即可解决问题.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BG ，AD=BC ，∴∠DAE=∠G=30°，∵DE=EC ，∠AED=∠GEC ，∴△ADE ≌△GCE ，∴AE=EG=AD=CG=1，在Rt △BFG 中，∵∴EF=FG-EG=-1，．本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．10、10m +1【解析】对面积表达式进行变形，根据面积=长×宽，再根据长与宽的比是3：2，判断出长宽的表达式，继而得出周长．【详解】解：∵6m 2+60m+11=6（m 2+10m+25）=6（m+5）2=[3（m+5）][2（m+5）]，且长：宽=3：2，∴长为3（m+5），宽为2（m+5），∴周长为：2[3（m+5）+2（m+5）]=10m+1．故答案为：10m+1本题考查了用提取公因式和完全平方公式进行因式分解的实际应用，熟练掌握并准确分析是解题的关键.11、4cm 【解析】设DP=x ，根据APQ ADP ABQ PCQ ABCD S S S S S =---矩形,列出方程即可解决问题．【详解】解：设DP=x ∵APQ ADP ABQ PCQ ABCD S S S S S =---矩形,AD=BC=6，AB=CD=8，又∵点Q 为BC 中点∴BQ=CQ=3，∴18=48−12⋅x ⋅6−12(8−x)⋅3−12⋅8⋅3，∴x=4，∴DP=4故答案为4cm 本题考查了利用矩形的性质来列方程求线段长度，正确列出方程是解题的关键.12、2.25h 【解析】根据待定系数法,可得一次函数解析式,根据函数值,可得相应自变量的值【详解】设AB 段的函数解析式是y=kx+b,y=kx+b 的图象过A(1.5,90),B(2.5,170)1.5902.5170k b k b +=+=⎧⎨⎩解得8030k b ==-⎧⎨⎩∴AB 段函数的解析式是y=80x-30离目的地还有20千米时,即y=170-20=150km,当y=150时,80x-30=150解得:x=2.25h,故答案为:2.25h 此题考查函数的图象，看懂图中数据是解题关键13、【解析】根据根式的性质即可化简.【详解】=本题考查了根式的化简,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）（a-b ）（a+b+c ）；（2）0≤x≤3，1【解析】（1）利用分组分解法先分组，再提公因式和利用平方差公式分解，最后提公因式a-b 可解答；（2）解不等式组，并找出整数解，相加可解答．【详解】（1）a 2-b 2+ac-bc ，=（a 2-b 2）+（ac-bc ），=（a+b ）（a-b ）+c （a-b ），=（a-b ）（a+b+c ）；（2）()2x 1x 1x 2x 323⎧-≤+⎪⎨++≥⎪⎩①②，解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x≥0，∴不等式组的解集为：0≤x≤3，∴不等式组的整数解为：0、1、2、3，和为0+1+2+3=1．本题考查了提取公因式法和分组分解法因式分解、解不等式组，（1）中难点是采用两两分组还是三一分组，a 2-b 2正好符合平方差公式，应考虑为一组，ac-bc 可提公因式为一组，（2）的关键是准确求出两个不等式的解集．15、（1）﹣3，0，0，6；（2）E （5，7），F （2，1）或E （11，13），F （﹣14，﹣7）；（3）.【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，推出AB ＝EF ，AB ∥EF ，设E （m ，m +2），则F （m +3，m +8）或（m ﹣3，m ﹣4），再利用待定系数法求出m 即可；（3）求出点M 的坐标（用m 表示），即可解决问题，利用特殊位置求出点M 的坐标，可以解决点C 移动过程中点M 的运动路径长；【详解】解：（1）对于直线y ＝2x +6，令x ＝0，得到y ＝6，令y ＝0，得到x ＝﹣3，∴A （﹣3，0），B （0，6），故答案为﹣3，0，0，6；（2）∵A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，∴AB ＝EF ，AB ∥EF ，设E （m ，m +2），则F （m +3，m +8）或（m ﹣3，m ﹣4），把F （m +3，m +8）代入y ＝12x ，得到m +8＝12（m +3），解得m ＝﹣13，∴E （﹣13，﹣11），F （﹣10，﹣5），把F （m ﹣3，m ﹣4）代入y ＝12x 中，m ﹣4＝12（m ﹣3），解得m ＝5，∴E （5，7），F （2，1），当AB 为对角线时，设E （m ，m +2），则F （m ﹣3，6﹣m ），把F （﹣m ﹣3，4﹣m ）代入y ＝12x 中，4﹣m ＝12（﹣m ﹣3），解得m ＝11，∴E （11，13），F （﹣14，﹣7）．（3）∵C （m ，n ）在直线y ＝2x +6上，∴n ＝2m +6，∴C （m ，2m +6），∵D （﹣7m ，0），CM ＝MD ，∴M （﹣3m ，m +3），令x ＝﹣3m ，y ＝m +3，∴y ＝﹣13x +3，当点C 与A 重合时，m ＝﹣3，可得M （9，0），当点C 与B 重合时，m ＝0，可得M （0，3），∴点C 移动过程中点M 的运动路径长为：=本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．16、（1）当m ≠0和3时，原方程有两个不相等的实数根；（2）可取的正整数m 的值分别为1.【解析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=[-（m+3）]2-4×m×3=（m-3）2＞0，从而可得到m 的范围；（2）利用求根公式解方程得到x 1=1，x 2=3m ，利用此方程的两根均为正整数得到m=1或m=3，然后利用（1）的范围可确定m 的值．【详解】解:(1)由题意得：m≠0且[]2224(3)43(3)b ac m m m ∆=-=-+-⨯⨯=->0，∴当m ≠0和3时，原方程有两个不相等的实数根.(2)∵此方程的两根均为正整数,即3(3)2m m m +±-，解方程得11x =，23x m =.∴可取的正整数m 的值分别为1.本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．17、（1）详见解析；（2）144°；（3）众数为1.5小时、中位数为1.5小时．【解析】试题分析：（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，（2）进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360即可得到结果；（3）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可．解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100﹣（12+30+18）=40（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：40%×360°=144°，则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°；（3）根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时．18、AE=FC+EF ，证明见解析.【解析】分析：用AAS 证明△AED ≌△DFC ，根据全等三角形有对应边相等得，AE ＝DF ，DE ＝CF .详解：AE ＝FC ＋EF ，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠ADC ＝90度．又∵AE ⊥DG ，CF ∥AE ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴∠EAD ＋∠ADE ＝∠FDC ＋∠ADE ＝90°，∴∠EAD ＝∠FDC ．∴△AED ≌△DFC (AAS )．∴AE ＝DF ，ED ＝FC ．∵DF ＝DE ＋EF ，∴AE ＝FC ＋EF ．点睛：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，所以正方形中的线段之间的关系常用全等三角形来解决.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、22.5【解析】连接BD ，根据等边对等角及正方形的性质即可求得∠E 的度数．【详解】连接BD，如图所示：则BD=AC ∵BE=AC ∴BE=BD ∴∠E=12（180°-90°-45）°=22.5°.故答案是：22.5.考查到正方形对角线相等的性质．20、4【解析】由平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，OM AC ⊥，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM ，又由平行四边形ABCD 的周长为8，可得AD+CD 的长，继而可得△CDE 的周长等于AD+CD.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB =OD ，AB =CD ，AD =BC∵平行四边形ABCD 的周长为8∴AD+CD=4∵OM AC⊥∴AM=CM∴△CDE 的周长为：CD+CM+DM=CD+AM+DM=AD+CD=4.故答案为：4本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质。

2020-2021河南省实验中学初三数学上期中模拟试卷(附答案)

通过．
（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择 A 通道通过的概率是
；
（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择 B 通道通过的概率．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】【分析】
利用配方法把方程 x2 6x 8 0 变形即可.
【详解】用配方法解方程 x2﹣6x﹣8＝0 时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选 A．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
2020-2021 河南省实验中学初三数学上期中模拟试卷(附答案)
一、选择题
1．用配方法解方程 x2 6x 8 0 时，配方结果正确的是（）
A． (x 3)2 17
B． (x 3)2 14
C． (x 6)2 44
D． (x 3)2 1
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
【详解】
∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论 a 取何值，x≤﹣3．故选 D．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．
8．B
解析：B 【解析】【分析】
依题意可设 AB 2x ， BC 3x ，根据勾股定理列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的
10．A
解析：A 【解析】【分析】
先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得 A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠ BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠ A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得 B′A=B′C=1，然后利用 AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】 ∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×1=2， ∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△A′B′C′， ∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°， ∴△CAA′为等腰三角形， ∴∠CAA′=∠A′=30°， ∵A、B′、A′在同一条直线上， ∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA， ∴∠B′CA=60°-30°=30°， ∴B′A=B′C=1， ∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系．

2020-2021学年河南省九年级(上)期中数学试卷(A卷)-解析版

2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列函数中，是反比例函数的为()A. y=2x+1B. y=2x2C. y=15xD. 2y=x2.如图所示的几何体，下列说法正确的是()A. 主视图和左视图相同B. 主视图和俯视图相同C. 左视图和俯视图相同D. 三视图各不相同3.有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 164.反比例函数y=−3x图象上有三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，其中x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y1<y3<y2D. y3<y2<y15.如图，l1//l2//l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D.若AOBO =32，CD=6，则CO的长是()A. 2.4B. 3C. 3.6D. 46.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 127.若关于x的方程(k−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为()A. 3B. 7C. −1D. 18.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压()A. 100cmB. 60cmC. 50cmD. 10cm9.如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为BC的长为半径作弧，弧线两两交于P、Q圆心，以大于12两点，作直线PQ，与边AB、BC分别交于D、E两点，连接CD、AE，AE、CD交于点F.在下列说法中：①∠ADC=BC；③AF⋅EF=DF⋅CF；④若AB=2∠DCB；②AE=128，BC=10，则△ADC的周长为14.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为(1,0)，那么点B2021的坐标为()A. (1,1)B. (0,√2)C. (0,−√2)D. (−1,1)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，12.等腰三角形的两边恰为方程x2−7x+10=0的根，则此等腰三角形的周长为______．13.如图，在反比例函数y1=6x 和y2=kx，B的图象上取A、B两点，已知AB//x轴，△AOB的面积为7，则k=______．14.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB=______ 米．15.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E为AD边上不与端点重合的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A对应点F刚好落在矩形的对称轴上时，AE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.解下列方程：(1)2x2−5x+1=0；(2)(x+1)(x−2)=4．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）17.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−2=0．(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且(x 1−x 2) 2+m 2=21，求m的值．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,3)．(1)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；(2)以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．19.如图，A、C为x轴上两点，以AC为对角线构造矩形ABCD，反比例函数y=kx(x>0)经过点D，已知点B坐标为(0,−4)，点P坐标为(3,0).[提示：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)，点M(x,y)为线段AB的中点，则有x=x x+x22，y=y1+y22](1)求反比例函数解析式；(2)求直线AB的解析式．20.如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC⊥AB，点E为BC边上一动点，过点E作EF//AB，EF，AC交于点P，连接AE，CF．(1)若AE取最小值时，求四边形AECF的面积；(2)当点E运动到BC的中点时，判断四边形AECF的形状，请说明你的理由．21.小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC= 51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF= 32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？22.如图，以△ABC顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以M，N为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于P点，连接AP以大于12交BC于D．(1)猜想AB，AC，BD，CD四条线段之间的关系，并给出证明；(2)若∠ACB=90°，CD=√3，BD=2√3；①求∠B的度数；②AD=m，AC=n，且一元二次方程x2−mx−n=0两根为x1，x2，求x12+x22的值．23.矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点C的坐标为(10,6)，点M为AC边上一点，且MC=4MA．(1)求直线AB的解析式；(2)在x轴上是否存在点E，使得直线ME平分矩形AOBC的面积，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点P为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以A、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是一次函数，错误；B、不是反比例函数，错误；C、符合反比例函数的定义，正确；D、是正比例函数，错误．故选C．(k≠0)这一形式的为反比例函数．根据反比例函数的定义，解析式符合y=kx(k≠0)中，特别注意不要本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式y=kx忽略k≠0这个条件．2.【答案】D【解析】解：从正面看，底层是一个较大的正方形，上层右边是一个小正方形；从左边看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形；从上边看，是一个较大的正方形，正方形内部的右上角是一个小正方形所以三视图各不相同．故选：D．根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．此题主要考查了三视图的知识，解题的关键是能正确区分几何体的三视图，本题是一个基础题，比较简单．3.【答案】D【解析】解：画树状图如下：∴恰为“天”、“空”的概率为212=16，故选：D．画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=−3x中，k=−3<0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1<0<x2<x3，∴y1>0、y2<y3<0，∴y2<y3<y1．故选：B．先根据反比例函数y=−3x的系数−3<0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1<0<x2<x3，判断出y1、y2、y3的大小．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及反比例函数的增减性是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵l1//l2//l3，∴AOBO =CODO=32，∴COCD =32+3，即CO6=35，∴CO=3.6，故选：C．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答．考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．6.【答案】B【解析】解：∵四边形ADCB 为菱形，∴OC =OA ，AB//CD ，∠FCO =∠OAE ，∵∠FOC =∠AOE ，△CFO≌△AEO(ASA)，∴S △CFO =S △AOE ，∴S △CFO +S △BOF =S △BOC ，∴S △BOC =14S ABCD =14×12AC ⋅BD =14×12×6×8=6，故选：B ．根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO ，可将阴影部分面积转化为△BOC 的面积，根据菱形的面积公式计算即可．此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为△BOC 的面积为解题关键． 7.【答案】C【解析】解：∵关于x 的方程(k −1)x 2−2x +1=0有两个不相等的实数根， ∴{k −1≠0△=(−2)2−4×1×(k −1)>0， ∴k <2且k ≠1．故选：C ．根据二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△>0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：假设向下下压x 厘米，则x 10=AC BC =5，解得x =50故选C ．利用相似比解题，在实际操作过程中，用力方向是平行的，构成两个相似三角形．此题考查相似形的应用． 9.【答案】D【解析】解：由作法得DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠B=∠DCB，∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠DCB，所以①正确；∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，而∠BAC=90°，∴AE为斜边BC边上的中线，∴AE=1BC，所以②正确；2∵AE=BE，∴∠B=∠EAB，∵∠B=∠DCB，∴∠EAB=∠DCB，∵∠FAD=∠FCE，∠AFD=∠CFE，∴△ADF∽△CEF，∴AF：CF=DF：EF，∴AF⋅EF=DF⋅CF，所以③正确；在Rt△ABC中，AC=√BC2−AB2=√102−82=6，∵DB=DC，∴△ADC的周长=AD+CD+AC=AD+DB+AC=AB+AC=8+6=14，所以④正确．故选：D．利用基本作图得到DE垂直平分BC，则DB=DC，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可对①进行判断；证明△ADF∽△CEF，则利用相似比可对③进行判断；先利用勾股定理计算出AC，则利用等线段代换得到△ADC的周长=AB+AC，从而可对④进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了线段垂直平分线的性质和基本作图．【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1)，连接OB，由勾股定理得：OB=√2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=⋯=√2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=⋯= 45°，∴B1(0,√2)，B2(−1,1)，B3(−√2,0)，B4(−1,−1)，B5(0,−√2)，…，发现是8次一循环，所以2021÷8=252…5，∴点B2021的坐标为(0,−√2).故选：C．根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．11.【答案】16【解析】解：根据题意可得：3+x=0.95，4+x解得：x=16，经检验x=16是原方程的解，所有x的值为16；故答案为：16．根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，由白球的频率，即可求出x的值．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．同时本题还考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】6或12或15【解析】解：∵x2−7x+10=0，∴(x−2)(x−5)=0，∴(x−2)=0或(x−5)=0，∴x1=2，x2=5，∵等腰三角形的两边恰为方程x2−7x+10=0的根，且2+2<5，∴该三角形的三边分别为2，2，2，或2，5，5，或5，5，5．∴此等腰三角形的周长为：2+2+2=6，或2+5+5=12，或5+5+5=15．故答案为：6或12或15．先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三边关系及等腰三角形的性质求得答案即可．本题考查了利用因式分解法解一元二次方程在几何图形问题中的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和三角形的三边关系是解题的关键．13.【答案】20【解析】解：延长BA交y轴于E，如图，∵S△AOE=12×6=3，S△BOE=12|k|，而△AOB的面积为7，∴S△BOE−S△AOE=7，即12|k|−3=7，而k>0，∴k=20．故答案为20．延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOE=12×6=3，S△BOE=12|k|，则12|k|−3=7，解得即可．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14.【答案】6【解析】解：∵王华的身高王华的影长=路灯的高度路灯的影长，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD =CGAB，当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF =EHAB=CGAB，∴CDBD =EFBF，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴CDBD =EFBF=GCAB=HEAB，即1y+1=2y+5，即2(y+1)=y+5，解得：y=3，则1.5x =14，解得，x=6米．即路灯A的高度AB=6米．根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．15.【答案】52或5√33【解析】解：分两种情况：①如图1，过F 作MN//CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴AM =BN =12AD =4，∵△ABE 沿BE 折叠得到△FBE ， ∴FE =AE ，FB =AB =5，∴FN =√FB 2−BN 2=3，∴FM =2，∴FE 2=EM 2+FM 2，∴FE 2=(4−FE)2+22，解得：FE =52，∴AE =52； ②如图2，过F 作PQ//AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP =PB ，AD//PQ//BC ，∴FB =2PB ，∴∠PFB =30°，∴∠FBC =30°，∴∠EBF =30°，∴AE =FE =FB ×tan30°=5×√33=5√33；综上所述：AE 的长为52或5√33；故答案为：52或5√33．分两种情况：①过F 作MN//CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，得出AM =BN =12AD =4，由勾股定理得到FN =3，求得FM =2，再由勾股定理解得FE 即可；②过F 作PQ//AD 交AB 于P ，交CD 于Q ；求出∠EBF =30°，由三角函数求出AE =FE =FB ×tan30°．本题考查了翻折变换−折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，正确画出图形是解题的关键． 16.【答案】解：(1)∵a =2，b =−5，c =1，∴b 2−4ac =(−5)2−4×2×1=17，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=5±√174， ∴x 1=5+√174，x 2=5−√174；(2)方程变形得：x 2−x −6=0，分解因式得：(x −3)(x +2)=0，解得：x 1=3，x 2=−2．【解析】(1)先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可；(2)整理后分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，因式分解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 17.【答案】解：(1)根据题意得△=(2m +1)2−4(m 2−2)≥0，解得m ≥−94，所以m 的最小整数值为−2；(2)根据题意得x 1+x 2=−(2m +1)，x 1x 2=m 2−2，∵(x 1−x 2)2+m 2=21，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2+m 2=21，∴(2m +1)2−4(m 2−2)+m 2=21，整理得m 2+4m −12=0，解得m 1=2，m 2=−6，∵m ≥−94，∴m的值为2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2m+1)2−4(m2−2)≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=−(2m+1)，x1x2=m2−2，再利用(x1−x2)2+ m2=21得到(2m+1)2−4(m2−2)+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用(1)中m的范围确定m的值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了根的判别式．18.【答案】解：(1)如图，△A1BC1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标(−4,2)．【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；(2)延长OA到A2使OA2=2OA，延长OB到B2使OB2=2OB，延长OC到C2使OC2=2OC，从而得到△A2B2C2，再点A2的坐标．本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．19.【答案】解：(1)∵矩形ABCD中，点B坐标为(0,−4)，点P坐标为(3,0)，∴D(6,4)，∵反比例函数y=kx(x>0)经过点D，∴k=6×4=24，∴反比例函数解析式为y=24x，(2)∵点B坐标为(0,−4)，点P坐标为(3,0)，∴OB=4，OP=3，∴PB=√OB2+OP2=5，∵P是矩形对角线的交点，∴BD=2PB=10，∴AC=BD=10，∴AP=5，∴A(−2,0)，设直线AB的解析式为y=kx−4，把A(−2,0)代入得，0=−2k−4，解得k=−2．∴直线AB的解析式为y=−2x−4．【解析】(1)根据矩形的性质即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；(2)利用勾股定理求得PB=5，进而根据矩形的性质求得AP=BP=5，即可求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，根据矩形的性质求得A、D的坐标是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵AE取最小值，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF//BE，又∵EF//AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AF=BE；∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，Rt△ABC中，AB=3，BC=5，∴AC=4；∵AF=BE，∴AF+EC=BE+EC=BC=5，∴S四边形AECF=12(AF+EC)⋅AE=12BC⋅AE=S△ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6；∴AE取最小值时，四边形AECF的面积为6；(2)当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．理由如下：∵E为BC的中点，∠BAC=90°，∴AE=12BC=EC=BE，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AF=BE，∴AF=AE=EC．∵在平行四边形ABCD中，AD//BC，∴AF//EC，又∵AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AF=AE，∴四边形AECF为菱形．【解析】(1)由垂线段最短可知AE取最小值时AE⊥BC；由两组边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形ABEF是平行四边形；由勾股定理得出AC的值；将梯形AECF 的面积转化为Rt△ABC的面积，计算即可；(2)当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．由直角三角形的斜边中线性质及平行四边形的性质得出条件证明四边形AECF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．21.【答案】解：∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=12(180°−∠BOD)，同理可证：∠OBD=∠ODB=12(180°−∠BOD)，∴∠OAC=∠OBD，∴AC//BD，在Rt△OEM中，OM=√OE2−EM2=30(cm)，过点A作AH⊥BD于点H，同理可证：EF//BD，∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴OEAB =OMAH，AH=30×13634=120(cm)，所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．【解析】先根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=12(180°−∠BOD)和∠OBD=∠ODB=12(180°−∠BOD)，进而利用平行线的判定得出即可，再证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)ABAC =BDCD，理由如下：如图，过点B作BE//AC交射线AD与E，由题意可得：AP平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵BE//AC，∴∠CAD=∠E，∴∠E=∠BAD，∴AB=BE，∵BE//AC，∴△ACD∽△EBD，∴BEAC =BDCD，∴ABAC =BDCD；(2)①∵∠ACB=90°，∴sin∠ABC=ACAB =CDBD=√32√3=12，∴∠ABC=30°；②∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°，∵AP平分BAC，∴∠CAD=30°，∴AD=2CD=2√3，AC=√3CD=3，∴m=2√3，n=3，∵一元二次方程x2−mx−n=0两根为x1，x2，∴x1+x2=m，x1⋅x2=−n，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=m2+2n=12+6=18．【解析】(1)过点B作BE//AC交射线AD与E，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠E=∠BAD，可得AB=BE，通过证明△ACD∽△EBD，可得结论；(2)①由sin∠ABC=12，可求解；②先求出m ，n 的值，由根与系数关系，可求解．本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数，一元二次方程的根与系数关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 23.【答案】解：(1)由点C 的坐标知，AC =OB =10，AO =BC =6，则点A(0,6)、点B(10,0)，设直线AB 的表达式为y =kx +m ，则{m =60=10k +m，解得{k =−35m =6，故直线AB 的表达式为y =−35x +6；(2)存在，理由：矩形AOBC 的面积=AO ×BO =10×6=60，∵MC =4MA ，则AM =2，MC =8，设点E(x,0)，则S 四边形AMEO =12(AM +OE)×AO =12×(2+x)×6=12×60，解得x =8，故点E 的坐标为(8,0)；(3)∵点P 为矩形的中心，由中点公式得，点P(5,3)，而点A(0,6)、点O(0,0)，设点Q(a,b)，①当AO 是边时，由O 向右平移0个单位向上平移6个单位得到点A ，同样点P(Q)向右平移0个单位向上平移6个单位得到点Q(P)，则{5±0=a 3±6=b ，解得{a =5b =9或{a =5b =−3； ②当AO 是对角线时，由中点公式得：{12(0+0)=12(5+a)12(6+0)=12(3+b)，解得{a =−5b =3，故点Q的坐标为(5,9)或(5,−3)或(−5,3)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由S四边形AMEO =12(AM+OE)×AO=12×(2+x)×6=12×60，即可求解；(3)分AO是边、AO是对角线利用平移的性质和中点公式，分别求解即可．本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。

2020-2021学年河南省实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷 (解析版)

2020-2021学年河南省实验学校九年级（上）学期第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④2．（3分）方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．54．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形5．（3分）已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（）A．6B．7C．D．6．（3分）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x＝（）A．15B．18C．21D．357．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列所列方程中正确的是（）A．1+x+x2＝100B．x（x+1）＝100C．（x+1）2＝100D．1+（x+1）2＝1008．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC ＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）10．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（）A．（﹣21010，21010）B．（22020，﹣22020）C．（﹣22020，﹣22020）D．（﹣21010，﹣21010）二、填空题（共6小题）.11．（4分）已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为．12．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．13．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE 交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为：°．15．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2+3m+n＝．16．（4分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．三、解答题（共9题；共66分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0．（2）x2+5＝3（x+2）．18．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．19．（7分）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．21．（7分）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．23．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）填空：①当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？答：；②若D是AB的中点，则当∠A的度数为时，四边形BECD是正方形．24．（7分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．25．（9分）已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C 不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB＝PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④解：解方程x2﹣x﹣2＝0，去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，开方得：x﹣1＝±，解得：x＝1±，则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．2．（3分）方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．4．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．5．（3分）已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（）A．6B．7C．D．解：设矩形的长和宽分别为m、n，根据题意知m+n＝7，mn＝8，则矩形对角线的长为＝＝＝，故选：D．6．（3分）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x＝（）A．15B．18C．21D．35解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是：÷（24÷8）＝70（天）：，解得：x＝21，即有21人护士．故选：C．7．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列所列方程中正确的是（）A．1+x+x2＝100B．x（x+1）＝100C．（x+1）2＝100D．1+（x+1）2＝100解：每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意得1+x+x（1+x）＝100即（x+1）2＝100，故选：C．8．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC ＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（）A．（﹣21010，21010）B．（22020，﹣22020）C．（﹣22020，﹣22020）D．（﹣21010，﹣21010）解：∵正方形OABC边长为1，∴OB＝，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1＝2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2＝2，∴B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2020÷8＝252…4，∴B2020的横纵坐标符号与点B4相同，横纵坐标互为相反数，且都在第三象限，∴B2020的坐标为（﹣21010，﹣21010）．故选：D．二、填空题（共6题；共24分）11．（4分）已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为﹣4．解：设方程的另一根为t，根据题意得﹣1+t＝﹣5，解得t＝﹣4，即方程的另一根为﹣4．故答案为﹣4．12．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣且m≠1．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，∴△＞0且m﹣1≠0，∴9﹣4（m﹣1）（﹣2）＞0且m﹣1≠0，∴m＞﹣且m≠1，故答案为：m＞﹣且m≠1．13．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为2．解：设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝OD＝x，∵OE+BE＝BO，∴1+x＝x，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA＝＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝＝2．故答案为2．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE 交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为：65°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝∠DEB＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故答案是65°．15．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2+3m+n＝﹣1．解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．16．（4分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．三、解答题（共9题；共66分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0．（2）x2+5＝3（x+2）．解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．18．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．19．（7分）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．解：设水平彩条宽度为xcm，则竖直彩条的宽度为2xcm，由题意得：8x+6×2x﹣2x×x＝×8×6，整理得：x2﹣10x+9＝0，解得：x＝1，或x＝9（不合题意舍去），∴x＝1，2x＝2，答：水平彩条宽度为1cm，则竖直彩条的宽度为2cm．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．21．（7分）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？解：（1）设二、三月份服装销售量的平均月增长率为x，依题意，得：320（1+x）2＝500，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：二、三月份服装销售量的平均月增长率为25%．（2）设每件降价y元，则四月份可售出（500+10×）件，依题意，得：（150﹣80﹣y）（500+10×）＝12000，整理，得：y2+180y﹣11500＝0，解得：y1＝50，y2＝﹣230（不合题意，舍去）．答：每件降价50元时，四月份可获利12000元．22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．【解答】（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∵四边形ABOC是正方形，∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝Rt∠．∵点D，E是OB，OC的中点，∴CE＝BD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴▱AEFD是菱形．（2）解：如图，连结DE．∵S△ABD＝AB•BD＝×8×4＝16，S△ODE＝OD•OE＝×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2 S△ABD﹣S△ODE＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．23．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）填空：①当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？答：菱形；②若D是AB的中点，则当∠A的度数为45°时，四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：①四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；故答案为：菱形；②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形；故答案为：45．24．（7分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC＝（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t+100＝0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t﹣100＝0解得t＝5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．25．（9分）已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C 不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB＝PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，．∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．②连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°．∵PE⊥PB即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE．在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝1，∴OB＝，∴PF＝．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB＝PE，PF＝．（3）①若点E在线段DC上，如图1．∵∠BPE＝∠BCE＝90°，∴∠PBC+∠PEC＝180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP＝EC．∴∠EPC＝∠ECP＝45°，∴∠PEC＝90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE＝135°，∴CP＝CE，∴∠CPE＝∠CEP＝22.5°．∴∠APB＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°．∵∠PRC＝90°+∠PBR＝90°+∠CER，∴∠PBR＝∠CER＝22.5°，∴∠ABP＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB．∴AP＝AB＝1．∴AP的长为1．。

2020-2021年第一学期九年级开学考试(数学) -答案(1)

九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，共30分. 每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBADDBDBAC二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．11. 31025.1⨯（或1250） 12.0922=--x x 13. - 1 14. 131322+-=+=x y x y ，15. 3 16. 10.1 17.2318. 2021 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本题满分8分）解：（1）原式=＝6×+3+1+5﹣3+42017×（﹣）2017＝＝8；┈┈┈┈┈┈4分（2）x 2+4x ＝1（x +2）2＝5 x +2＝±52,5221--=+-=x x ┈┈┈┈┈┈8分20．（本题满分9分）解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（﹣3，2）；┈┈┈┈┈┈3分（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，C 2（6，4）；┈┈┈┈┈┈6分（3）∵原点O 为位似中心，位似比为1：2，∴点D （a ，b ）的对应点D 2的坐标为（2a ，2b ）．┈┈┈┈┈┈9分21．（本题满分8分）解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x ）]个，依题意，得：（x ﹣100）[300+5（200﹣x ）]＝32000， ┈┈┈┈┈┈3分整理，得：x 2﹣360x +32400＝0，解得：x 1＝x 2＝180．┈┈┈┈┈┈6分 180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．┈┈┈┈┈┈8分 22．（本题满分11分）解：（1）∵B （2，﹣4）在反比例函数y ＝的图象上，∴m ＝2×（﹣40＝﹣8．∴反比例函数的解析式为y ＝﹣．┈┈┈┈┈┈2分 ∵A （﹣4，n ）在y ＝﹣上， ∴n ＝2．∴A （﹣4，2）．┈┈┈┈┈┈3分∵y ＝kx +b 经过A （﹣4，2），B （2，﹣4）， ∴．解之得．∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2．┈┈┈┈┈┈5分（2）设C 是直线AB 与y 轴的交点， ∴当x ＝0时，y ＝﹣2． ∴点C （0，﹣2）． ∴OC ＝2．∴S △AOB ＝S △ACO +S △BCO ＝×2×4+×2×2＝6．┈┈┈┈┈┈9分（3）由图象可知当x ＞2或﹣4＜x ＜0时，kx +b ＜， ∴kx +b ﹣＜0的解集为：x ＞2或﹣4＜x ＜0．┈┈┈┈┈┈11分 23．（本题满分8分）解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ， …………………………1分则∠BCD =450，∠ACD =600。

2020-2021学年河南省九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷1.在平面直角坐标系中，将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得图形与原图形的关系：将原图形()A. 向上平移3个单位长度B. 向下平移3个单位长度C. 向左平移3个单位长度D. 向右平移3个单位长度2.下列说法正确的是()A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C. 两个矩形一定相似D. 两个直角三角形一定相似3.计算√32的结果是()A. 3B. −3C. ±3D. √34.方程x2−2x+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12.若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为()A. 5B. 5.5C. 6D. 6.56.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，则△ABC与△DEF的相似比是()A. √22B. 1C. 2D. √27.如图所示的是一所学校的平面示意图，若用(3,2)表示教学楼，(4,0)表示旗杆，则实验楼的位置可表示成()A. (1,−2)B. (−2,1)C. (−3,2)D. (2,−3)8. 如图，A 、B 分别是反比例函数y =4x(x >0)图象上的两点，连接OA ，OB ，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、E ，且AC 交OB 于点D ，若S △OAD =43，则CDBE的值为( )A. 13B. √33C. 12D. √229. 若x 为实数，在“(√3+1)□x ”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是( )A. √3+1B. √3−1C. 2√3D. 1−√310. 如图，已知▱ABCD ，AB =2，AD =5，将▱ABCD 绕点A顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为( )A. 215 B. 245 C. √21 D. 311. 计算√20×√15的结果是______ ．12. 如图，直线a//b//c ，分别交直线m ，n 于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若AB =2，AC =6，DE =3，则EF 的长为______ ．13. 已知△FBC∽△EAD ，它们的周长分别为30和15，若边FB 上的中线长为10，则边EA 上的中线长为______． 14. 如果x−y y=35，那么yx的值为______．15.如图1，在线段AB上有一点E，若AEAB =BEAE，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，延长OP至点G，使得OG=ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ=4，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I，则S△NOI的值为______．16.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AD=BD，若AB2=BD⋅BC.求证：△ABC是等腰三角形．17.(1)计算：(√3+√2)(√3−√2)−(12)−1−|√2−1|．(2)解方程：x2−3x−10=0．18.小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打几折出售？19.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,−2)，B(−5,−4)，C(−1,−5)．(1)请在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．(3)①点B1的坐标为______；②求△A2B2C2的面积．20.阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．任务：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．21.如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺．测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离(即DE的长度)，小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E.且测得BC=6米，CD=22米，∠CDE=135°.已知小华的身高AB=1.6米，请根据以上数据，求DE 的长度．(结果保留根号)22.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5.点E，F分别在边AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称．(1)连接AF，CE，判断四边形AFCE是何种特殊的四边形，并说明理由．(2)若P是边DC上的一动点，当△PEF的周长最小时，求DPCP的值．23.如图，O是△ABC的边BC上一点，过点O的直线分别交射线AB，线段AC于点M，N，且ABAM =m，ACAN=n．(1)BMAM =______(用含m的代数式表示)；CNAN=______(用含n的代数式表示)．(2)若O是线段BC的中点．求证：m+n=2．=k(k≠0)，求m，n之间的关系(用含k的代数式表示)．(3)若COOB答案和解析1.【答案】C【解析】解：将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，所得图形与原图形相比向左平移了3个单位．故选：C．根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案．此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握点的变化规律．2.【答案】B【解析】解：A、两个顶角或底角相等等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意；B、两个等边三角形一定相似，故本选项符合题意；C、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；D、两个直角三角形的两个锐角不一定对应相等，不一定相似，故本选项不符合题意；故选：B．利用相似图形的判定分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形，解题的关键是了解相似图形的判定方法，难度不大．3.【答案】A【解析】解：√32=|3|=3．故选：A．直接根据√a2=|a|化简即可．本题考查了二次根式的性质与化简：√a2=|a|．4.【答案】B【解析】解：∵△=(−2)2−4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．先计算出△=(−2)2−4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．5.【答案】D【解析】解：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB=√AC2+BC2=√52+122=13，∵AD=DC，CE=EB，∴DE=12AB=6.5，故选：D．利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位线定理求出DE即可．本题考查三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：∵AB=2，BC=2√2，AC=2√5，DE=√2，EF=2，DF=√10，∴ABDE =BCEF=ACDF=√2，∴△ABC∽△DEF，且相似比是√2，故选：D．利用相似三角形的判定方法即可证明△ABC∽△DEF，而对应边的比即是相似比．本题考查相似三角形的相似比，解题的关键是要注意，相似比是用前一个三角形的边比后一个三角形的边．7.【答案】D【解析】解：如图所示：实验楼的位置可表示成(2,−3)．故选：D．直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．8.【答案】B【解析】解：∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，∴S△AOC=S△BOE=12×4=2，∴S△OCD=2−43=23，∵CD//BE，∴△OCD∽△OEB，∴S△OCDS△OEB =(CDEB)2=232=13，∴CDEB =√33．故选：B．先利用反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOE=2，则S△OCD=23，再证明△OCD∽△OEB，然后根据相似三角形的性质求解．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．9.【答案】C【解析】解：A.(√3+1)−(√3+1)=0，故本选项不合题意；B.(√3+1)(√3−1)=2，故本选项不合题意；C.(√3+1)与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D.(√3+1)(1−√3)=−2，故本选项不合题意．故选：C．根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．(a+b)(a−b)=a2−b2．10.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=5，CD=AB=2，∠D=∠ABC，∵▱ABCD绕点A顺时针旋转得到▱AEFG，∴AE=AB=2，EF=BC=5，∠ABC=∠E，∠DAG=∠BAE，∴∠D=∠E，∴△AEH∽△ADC，∴EHDC =AEAD，即EH2=25，解得EH=45，∴FH=EF−EH=5−45=215．故选：A．先根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，CD=AB=2，∠D=∠ABC，再根据旋转的性质得到AE=AB=2，EF=BC=5，∠ABC=∠E，∠DAG=∠BAE，接着证明△AEH∽△ADC，利用相似比求出EH，然后计算EF−EH即可．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了平行四边形的性质和旋转的性质．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．11.【答案】2【解析】解：原式=√20×15=√4=2．故答案为：2．利用二次根式的乘法公式，直接计算即可．本题考查了二次根式的乘法，题目比较简单，掌握√a×√b=√ab是解决本题的关键．12.【答案】6【解析】解：∵a//b//c，∴ABAC =DEDF，即26=3DF，解得，DF=9，则EF=DF−DE=6，故答案为：6．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13.【答案】5【解析】解：∵△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，∴△FBC和△EAD的相似比为2：1，∵边FB上的中线长为10，∴边EA上的中线长为5，故答案为：5．根据相似三角形的性质求出△FBC和△EAD的相似比，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．14.【答案】58【解析】解：∵x−y y=35，∴x−y+yy =3+55，即xy=85，∴yx =58．故答案为58．先利用合比性质得到xy =85，然后交换前后项可得到答案．本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质和等比性质．15.【答案】5【解析】解：①当PH>NH时，由题意PH=√5−12⋅PN=2√5−2，设ON=OG=x，则OP=x−(2√5−2)，∵∠OPN=90°，∴[x−(2√5−2)]2+42=x2，∴x=2√5，∴OP=2，OQ=2，∵∠OPN=∠Q=∠NQI=90°，∴∠NOP+∠QOI=90°，∠NOP+∠PNO=90°，∴∠QOI=∠PNO，∴△OQI∽△NPO，∴OQPN =OINO，∴24=OI2√5，∴OI=√5，∴S△NOI=12⋅NO⋅OI=12×2√5×√5=5．②当NH>PH中，则NH=2√5−2，PH=PG=6−2√5，设ON=OG=y，则OP=y−(6−2√5)，∵∠OPN=90°，∴[y−(6−2√5)]2+42=y2，∴y=8，∴OP=2+2√5>4(不符合题意，舍弃)．综上所述，△NOI的面积为5．故答案为：5．分两种情形：①当PH>NH时，由题意PH=√5−12⋅PN=2√5−2，②当NH>PH中，则NH=2√5−2，PH=PG=6−2√5，分别利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．本题考查相似三角形的判定和性质，黄金分割，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】证明：∵AB2=BD⋅BC，∴ABBD =BCAB，而∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△BCA，∴∠BAD=∠CBA，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B，∴∠CBA=∠B，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【解析】由AB2=BD⋅BC，可证△ABD∽△BCA，即得∠BAD=∠CBA，而AD=BD，有∠BAD=∠B，故∠CBA=∠B，AB=AC，即得△ABC是等腰三角形．本题考查相似三角形的性质与判定和当腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明△ABD∽△BCA，从而得到∠BAD=∠CBA．17.【答案】解：(1)原式=3−2−2−√2+1=−√2；(2)∵x2−3x−10=0，∴(x−5)(x+2)=0，∴x1=5，x2=−2．【解析】(1)根据平方差公式和负整数指数幂进行计算即可；(2)利用因式分解法解方程即可．本题考查了因式分解法解一元二次方程、负整数指数幂、二次根式的混合运算，解决本题的关键是准确计算．18.【答案】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的利润为(200−x−155)元，每天的销售量为(20+2x)件，依题意，得：(200−x−155)(20+2x)=1500，整理，得：x2−35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，又∵为了尽快减少库存，∴x=20，∴折扣率为200−20200×10=9(折)．答：每件商品应降价20元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打9折出售．【解析】设每件商品应降价x元，则每件商品的利润为(200−x−155)元，每天的销售量为(20+2x)件，根据每天的利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其较大值，再利用折扣率=(原价−降低的价格)÷原价×10，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19.【答案】(−5,4)【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作，C2 (−1,−2)；(3)①点B1的坐标为(−5,4)；②△A2B2C2的面积=4(4×3−12×4×1−12×3×1−12×3×2)=22．故答案为(−5,4)．(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)把A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2得到A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点即可；(3)①由(2)得B 2的坐标；②先用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积计算出△ABC 的面积，然后把△ABC 的面积乘以4得到△A 2B 2C 2的面积．本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．20.【答案】解(1)正确比例式是：DE BC =AD AB ， ∴DE =AD⋅BC AB =(AB−BD)⋅BCAB =2×56=53； (2)另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D 作∠ADE =∠ACB ，则△ADE∽△ACB ，∴DEBC =ADAC ，∴DE =AD⋅BCAC =2×54=52，综合以上可得：DE 为53或52．【解析】(1)根据相似三角形的性质可得出结论；(2)另一个错误是没有进行分类讨论，过点D 作∠ADE =∠ACB ，则△ADE∽△ACB ，可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．21.【答案】解：过E 作EF ⊥BC 于F ，∵∠CDE =135°，∴∠EDF =45°，设EF 为x 米，DF =x 米，DE =√2x 米，∵∠B =∠EFC =90°，∵∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EFC，∴ABEF =BCFC，即1.6x =622+x，解得：x=8，∴DE=8√2，答：DE的长度为8√2米．【解析】过E作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质解答即可．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．22.【答案】解：(1)四边形AFCE是菱形．证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∵点A与点C关于EF所在的直线对称，∴AO=CO，AC⊥EF，∵∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE=CF，且AE//CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；(2)如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，∵四边形AFCE是菱形，∴AF=CF=CE=AE，∵AF2=BF2+AB2，∴AF2=(5−AF)2+32，∴AF=CF=CH=175，DE=85，∵AD//BC，∴△DEP∽△CHP，∴DPCP =DECH=817．【解析】(1)连接AF，CE，AC交EF于点O，由“AAS”证明△AEO≌△CFO，可得四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，可证得结论；(2)作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，由AD//BC，可得△DEP∽△CHP，由相似三角形的性质可得比例式进而求得答案．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作点F 关于CD的对称点H，连接EH是解题的关键．23.【答案】1−m n−1【解析】解：(1)∵AB=AM−BM，AC=AN+CN，ABAM =m，ACAN=n，∴ABAM =AM−BMAM=1−BMAM=m，CNAN=AN+CNAN=1+CNAN=n，∴BMAM =1−m，CNAN=n−1，故答案为：1−m，n−1；(2)设AM=a，AN=b．∵ABAM =m，ACAN=n，∴AB=am，AC=bn，∴MB=MA−AB=a−am=(1−m)a，CN=AC−AN=bn−b=(n−1)b，若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH//AC交MN于H，∴∠OBH=∠OCN．在△OBH与△OCN中，{∠OBH=∠OCN OB=OC∠BOH=∠CON，∴△OBH≌△OCN(ASA)，∴BH=CN=(n−1)b．∵BH//AN，∴△BMH∽△AMN，∴BMAM =MHMN，即(1−m)aa=(n−1)bb，∴1−m=n−1，∴m+n=2；(3)若COOB=k(k≠0)，如图2，过点B作BG//AC交MN于G，∴∠OBG=∠OCN，∵∠BOG=∠CON，∴△OBG∽△OCN，∴BGCN =OBOC，即BG(n−1)b=1k，∴BG=n−1kb.∵BG//AN，∴△MBG∽△MAN，∴BMAM =BGAN，即(1−m)aa=(n−1)kbb，∴1−m=n−1k，∴n=k−km+1．(1)根据线段的和差得到AB=AM−BM，AC=AN+CN，根据已知条件ABAM =m，ACAN=n，得到BMAM =1−m，CNAN=n−1；(2)设AM=a，AN=b.根据已知条件得到ABAM =m，ACAN=n，得到AB=am，AC=bn，如图1，过点B作BH//AC交MN于H，根据全等三角形的性质得到BH=CN=(n−1)b.根据相似三角形的性质得到结论；(3)如图2，过点B作BG//AC交MN于G，根据平行线的性质得到∠OBG=∠OCN，根据相似三角形的性质得到BG=n−1kb.根据BG//AN，推出△MBG∽△MAN，根据相似三角形的性质得到结论．本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作出AC的平行线构造全等或相似是解题的关键．。

河南省实验中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(有答案解析)

一、选择题1．下列方程中，没有实数根的是（）A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-= 2．下列方程属于一元二次方程的是（）A ．222-=x x xB ．215x x +=C ．220++=ax bx cD ．223x x +=3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝6050 4．一元二次方程2304y y +-=，配方后可化为（） A ．21()12y += B ．21()12y -= C ．211()22y += D ．213()24y -= 5．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（）A ．21(3)3x -=B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=xD ．2(31)1x -=6．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（）．A ．6B ．3532C ．532D ．5357．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）A ．212x x x -=B ．2(2)x x x -=C ．23(2)x x =+D ．20ax bx c ++= 8．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +--=有实数根，则m 的取值范围是（） A ．2m >-B ．2m ≥-C ．2m >-且1m ≠-D ．2m ≥-且1m ≠- 9．下列方程是一元二次方程的是（） A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 10．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（） A ．2，8B ．3，4C ．4，3D ．4，8 11．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（） A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x 1＝5，x 2＝﹣5 D ．x 1＝1，x 2＝5 12．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题13．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．14．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．15．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______16．一元二次方程x 2-10x+25＝2（x ﹣5）的解为____________．17．一元二次方程()10x x -=的根是________________________．18．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______． 19．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________20．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值．三、解答题21．解方程：2410y y --=．22．解方程．（1）2560x x -+=．（2）23(21)(21)x x -=-．（3）23139x x x -=--． 23．用适当的方法解方程：（l ）2(3)26x x +=+（2）2810x x -+=．24．如图,为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m ，现有长为21m 的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是多少？（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由．25．解方程（1）()221250x --= （2）()22132x x y x x y ⎧-=+⎪⎨--=⎪⎩26．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值．解：∵0x >，∴1112x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值；（2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值．（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B 、()()224541261290b ac =-=--⨯⨯-=>，则方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<，则方程没有实数根，所以D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．D解析：D【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．【详解】解：A 、移项得：20x -=，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项错误； B 、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；C 、ax 2+bx+c=0，当a=0时，它不是一元二次方程，故C 错误；D 223x x +=符合一元二次方程的定义，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．【详解】解：∵2304y y +-=， ∴y 2+y=34，则y 2+y+14=34+14，即（y+12）2=1，【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5．C解析：C【分析】先移项得到2362x x -=-，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到()2113x -=．【详解】移项得：2362x x -=-，二次系数化为1得：2223x x -=-，方程两边加上1得：222113x x -+=-+，所以()2113x -=．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．D解析：D【分析】仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为52，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．【详解】解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为255045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭， ∴5252⨯=．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．【详解】A 、方程212x x x -=中的1x不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； B 、方程2(2)x x x -=可整理为20x -=，是一元一次方程，此项不符题意；C 、方程23(2)x x =+满足一元二次方程的定义，此项符合题意；D 、当0a =时，方程20ax bx c ++=不是一元二次方程，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键．8．D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到10m +≠且240b ac =-≥，然后求写出两不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得10m +≠且()()224(2)4110b ac m =-=--+⨯-≥，解得1m ≠-且2m ≥-．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．D解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．10．D解析：D【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到t+2＝6，2t＝c，然后先求出t，再计算c 的值．【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得t+2＝6，2t＝c，解得t＝4，c＝8．故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．11．D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1，故选：D．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键. 12．A解析：A【分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB ＝105-或AB ＝105+（舍去），则BC ＝205+，然后计算m 的值．【详解】 ∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2−4x ＋m ＝0的两个实根，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ，即AB ＋12BC ＝4，m ＝AB×12BC ， ∵△BCD 沿BD 翻折得到△BC′D ，BC′与边AD 交于点E ，∴∠CBD ＝∠EBD ，∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠EDB ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ＝3，在Rt △ABE 中，AE ＝AD−DE ＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB ，∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB 或AB （舍去），∴BC ＝8−2AB ，∴m ＝12×205+＝165．故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a．也考查了矩形的性质和折叠的性质．二、填空题13．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．14．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x 根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x ）解析：20%【分析】设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x ，依题意，得：3000（1+x ）2=4320，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．16．x1＝5x2＝7【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可；【详解】解：∵（x ﹣5）2﹣2（x ﹣5）＝0∴（x ﹣5）（x ﹣7）＝0则x ﹣5＝0或x ﹣7＝0解得x1＝5x2＝7故答解析：x 1＝5，x 2＝7【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；【详解】解：∵（x ﹣5）2﹣2（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（x ﹣7）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣7＝0，解得x 1＝5，x 2＝7，故答案为：x 1＝5，x 2＝7．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 17．【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0然后解两个一次方程即可；【详解】∵∴x=0或x-1=0解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法先把方程的右边化为0再把左边通过因式分解解析：120,1x x ==【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可；【详解】∵()10x x -= ，∴ x=0或x-1=0，解得1x =0，21x = ，故答案为：1x =0，21x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可；18．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意：能使一元二次方程左右两解析：4-【分析】根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=，继而可得m n +的值．【详解】∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根，∴240n mn n ++=，即()40n n m ++=，∵0n ≠，∴4n m ++，即4m n +=-，故答案为：4-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．2020【分析】根据m 是方程的根得代入求值【详解】解：∵m 是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析：2020【分析】根据m 是方程210x x +-=的根，得21m m +=，代入求值．【详解】解：∵m 是方程210x x +-=的根，∴210m m +-=，即21m m +=，原式()222018220182020m m =++=+=．故答案是：2020．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义． 20．【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解：∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值解析：12- 【分析】先根据完全平方公式将原式配方，进而利用非负数的性质求出即可．【详解】解：∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2，-(2x+1)2≤0，∴当x=-12时，4x 2-4x+1有最大值是2．故答案为：-12．【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，正确配方得出是解题关键．三、解答题21．12y =，22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 22．（1）12x =，23x =；（2）112x =，22x =；（3）2x =- 【分析】（1）利用因式分解法解方程，即可得到答案；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案；（3）先把分式方程化为整式方程，然后解方程即可得到答案．【详解】解：（1）2560x x -+=， (2)(3)0x x --=，∴12x =，23x =，∴原方程的解为：12x =，23x =．（2）23(21)(21)x x -=-，∴2(21)3(21)0x x ---=，∴(21)(213)0x x ---=，∴(21)(24)0x x --=， ∴112x =，22x =． ∴原方程的解为：112x =，22x =．（3）23139x x x -=--， ∴2(3)39x x x +-=-，∴22339x x x +-=-，∴36x =-，∴2x =-，经检验：2x =-为原方程的解，∴原方程的解为2x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法，注意解分式方程时组要检验．23．（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】（1）用因式分解法求解可得；（2）用配方法求解即可．【详解】解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得：x=-3或x=-1；（2）2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =，24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．（1）AB 的长应是4米；（2）花的面积不能达到39平方米．【分析】（1）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，解方程，把不合题意的解舍去即可求解；（2）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，方程无实数根，即可求解．【详解】解：（1）设AB=x 米，由题意得 x （21-3x ）=36，整理得 27120x x -+=，解得123,4x x ==，当x=3时，21-3x=12＞11.5，不合题意，舍去；当x=4时，21-4x=9＜11.5，符合题意．答：若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是4米．（2）设AB=x 米，由题意得 x （21-3x ）=39，整理得 27130x x -+=，()2247411330b ac ∆=-=--⨯⨯=-＜∴方程无实数根，∴无法围成总面积为39平方米的花圃．答：无法围成总面积为39平方米的花圃．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键，解题时注意根据题意检验根的合理性． 25．（1）123,2x x ==-；（2）51x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）方程移项后，运用直接开平方法求解即可；（2）方程组运用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）()221250x --= ()22125x -=215x -=或215x -=-∴123,2x x ==-；（2）()22132x x y x x y ⎧-=+⎪⎨--=⎪⎩①② 由①得：4x y =+③，把③代入②可得：1342x y y -+-=， 5x =，∴1y =，∴方程组的解为51x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．同时还考查了二元一次方程组的解法．26．（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）∵0x >，∴9x x +≥又∵6=， ∴96x x+≥ ∴9x x+的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4．（3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△∴49AODxS=△，即36AODSx=△，∴四边形ABCD面积364913xx=+++≥，∵13=25，当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。

河南实验中学2020-2021学年九上数学第一次月考试卷(解析版)

同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.
10.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（）
解得：x=21，即有21名护士．
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出x人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．
7.如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则下列所列方程中正确的是（）
（2）整理为一般式，再利用公式法求解可得．
【详解】解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，
∴（x﹣3）2＝4，
则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1；
（2）将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
开方得：，
解得：，
则四个步骤中出现错误的是④．
故选：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2.方程x2＝3x的解为（）
A.x＝3B.x＝0C.x1＝0，x2＝﹣3D.x1＝0，x2＝3
【答案】D
【解析】
【分析】

2020-2021学年河南省实验中学九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程属于一元二次方程的是()A. x3−2=x2B. 2x2+x+1=0C. 3xy+2=0D. x(x+1)=x2−42.鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是()A.B.C.D.3.有一首《对子歌》中写到“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 164.如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F.若AB：BC=5：3，DE=15，则EF的长为()A. 6B. 9C. 10D. 255.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是()A. ∠ADE=∠CB. ∠AED=∠BC. AEAB =DEBCD. ADAC =AEAB6.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是()A. 32x+4x2=40B. 32x+8x2=40C. 64x−4x2=40D. 64x−8x2=407.反比例函数y=m+2x的图象上，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是()A. m>−2B. m<0C. m<−2D. m>08.在平面直角坐标系xOy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0,0)，A(1,2)，B(3,0)，以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，则A点的对应点A′坐标为()A. (−2,−4)B. (4,2)C. (2,4)或(−2,−4)D. (4,2)或(−4,−2)9.如图，两个边长为1的正方形，均有一边在坐标轴上，且各有一个顶点在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其余顶点A，B之间的距离为√2，则k值为()A. 2√2B. 3√2C. 3D. 610.菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB=()A. √72B. √3 C. √5+12D. 53二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.已知ba =15，则aa+b=______．12.已知a、b、c为△ABC的三边长，且方程(a+b)x2−2cx+a=b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是______．13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOES△COA =125，则S△BDES△CDE的值为______．14.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=4x的图象交于A、B两点，其中A(2,2).则不等式x>4x的解集为______．15.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG.点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，则GH的最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.解下列方程：(1)4x2−8x−3=0；(2)(x+4)2=5(x+4)．17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE//AC，CE//BD，BE与CE交于点E．(1)求证：四边形OBEC是矩形；(2)当∠ABD=60°，AD=2√3时，求BE的长．18.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字−3、−1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．(1)从中任取一球，将球上的数字记为a，则关于x的一元二次方程ax2−2ax+a+3=0有实数根的概率______；(2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点(x,y)所有可能出现的结果，并求点(x,y)落在第二象限内的概率．19.已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+m2m+34=0的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？20.“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在同一条直线上).若测得FM=1.5米，DN=1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．21.为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价2元，销售量可增加10袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？(若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元)22.参照学习函数的过程与方法，探究函数y=x−2x(x≠0)的图象与性质，因为y=x−2 x =1−2x，即y=−x2+1，所以我们对比函数y=−2x来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y=x−2x相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；(1)请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x<0时，y随x的增大而______；(“增大”或“减小”)②y =x−22的图象是由y =−x2的图象向______平移______个单位而得到的；③图象关于点______中心对称．(填点的坐标) (3)函数y =x−2x与直线y =−2x +1交于点A ，B ，求△AOB 的面积．23. (1)向题发现如图1，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =45°，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．填空：①BEAD 的值为______； ②∠DBE 的度数为______． (2)类比探究如图2，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =60°，点D 是线段AB 上一动点，连接BE.请求出BEAD 的值及∠DBE 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸如图3，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE ，点D是线段AB上一动点，连接BE，P为DE中点若BC=4，AC=3，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出P点经过的路径长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、x3−2=x2，次数是3，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B、2x2+x+1=0是一元二次方程，故此选项符合题意；C、3xy+2=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、x(x+1)=x2−4化简后是x+4=0，是一元一次方程，故此选项不合题意；故选：B．利用一元二次方程定义进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2.【答案】D【解析】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3.【答案】B【解析】【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，在根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【解答】画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的书签正好配成“对子”的有4种结果，所以抽到的书签正好配成“对子”的概率为13，故选B．4.【答案】B【解析】解：∵l1//l2//l3，DE=15，∴DEEF =ABBC=53，即15EF=53，解得，EF=9，故选：B．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB；当ADAC =AEAB时，△ADE∽△ACB．故选：C．由于∠DAE=∠CAB，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6.【答案】B【解析】解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，依题意，得：x(20+4x+12+4x)=40，即32x+8x2=40．故选：B．设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】(k≠0)：当k>0此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=kx时，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质可得m+2<0，再解不等式即可．【解答】解：∵当x<0时，y随x的增大而增大，∴m+2<0，解得m<−2，故选：C．8.【答案】C【解析】解：∵O(0,0)，A(1,2)，B(3,0)，以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，∴A点的对应点A′坐标为：(2,4)或(−2,−4)．故选：C．根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k进行解答．此题主要考查了位似变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．9.【答案】C【解析】解：由题意可知C(1,k)，D(k,1)，∴A(1,k−1)，B(k−1,1)，∵A，B之间的距离为√2，∴(1−k+1)2+(k−1−1)2=2，解得k=3或k=1(舍去)，故选：C．根据题意表示出A(1,k−1)，B(k−1,1)，利用勾股定理得出(1−k+1)2+(k−1−1)2=2，求得k=3．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示长A、B的坐标是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：如图，连接BF、BD，∵菱形ABCD的边长为2，∴AB=BC=CD=2，∵∠A=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=2，∠DBC=60°，∴∠DBA=60°，∵点G为AB的中点，∴菱形BEFG的边长为1，即BE=EF=BG=1，∵点E在CB的延长线上，∠GBE=60°，∴∠FBG=30°，连接EG，∴EG⊥FB于点O，∴OB=√3，2∴FB=√3，∵∠DBF=∠DBA+∠FBG=90°，根据勾股定理，得DF=√DB2+BF2=√7，∵点P为FD的中点，∴PB=12DF=√72．故选：A．连接BF、BD，根据菱形ABCD的边长为2，可得AB=BC=CD=2，由∠A=60°，可得△BCD是等边三角形，进而可求∠DBF=90°，再根据勾股定理分别求出BF、PF的长，进而可得PB的长．本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．11.【答案】16【解析】解：∵ba =15，∴a=5b，∴aa+b =aa+5a=16；故答案为：16．根据已知条件得出a=5b，再代入aa+b进行计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．12.【答案】直角三角形【解析】解：∵方程(a+b)x2−2cx+a=b有两个相等的实数根，∴△=0，即(−2c)2−4(a+b)(a−b)=0，c2−(a2−b2)=0，c2−a2+b2=0，c2+b2=a2，∴△ABC的形状为直角三角形，故答案为：直角三角形．根据一元二次方程根的判别式可得△=0，即(−2c)2−4(a +b)(a −b)=0，整理可得到c 2+b 2=a 2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC 是直角三角形．此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理的逆定理，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．13.【答案】14【解析】解：∵DE//AC ，∴△DEO∽△CAO ，∴S △DEOS △CAO =(DE AC )2=125，∴DE ：AC =BE ：BC =1：5，∴BE ：EC =1：4，∴S △BED ：S △DEC =14，故答案为：14．由DE//AC ，推出△DEO∽△CAO ，可得S △DEOS △CAO =(DE AC )2=125，推出DE ：AC =BE +BC =1：5，推出BE ：EC =1：4，即可求解．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．14.【答案】−2<x <0或x >2【解析】解：∵正比例函数y =x 与反比例函数y =4x 的图象交于A 、B 两点，其中A(2,2)．∴B(−2,−2)，观察函数图象，发现：当−2<x <0或x >2时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，∴不等式x >4x 的解集为是−2<x <0或x >2，故答案为−2<x<0或x>2．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．15.【答案】√22【解析】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，∴DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45°=1×√22=√22．故答案为：√22．连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．16.【答案】解：(1)4x2−8x−3=0，移项，得x2−2x=34，配方，得x2−2x+1=34+1，则(x−1)2=±√72，∴x=±√72+1，∴x1=−√72+1，x2=√72+1；(2)(x+4)2=5(x+4)，移项，得(x+4)2−5(x+4)=0，(x+4)(x+4−5)=0，(x+4)(x−1)=0，∴x1=−4，x2=1．【解析】(1)利用配方法解出方程；(2)利用提公因式法解出方程．本题考查的是解一元二次方程，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵BE//AC，CE//BD，∴BE//OC，CE//OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四边形OBEC是矩形；(2)解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，OB=OD，OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AD=AB=2√3，∴OD=OB=√3，在Rt△AOD中，AO=√AD2−OD2=√(2√3)2−(√3)2=3∴OC=OA=3，∵四边形OBEC是矩形∴BE=OC=3．【解析】(1)先由平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再由菱形的性质得到∠COB=90°，故四边形OBEC是矩形；(2)证出△ABD为等边三角形，得BD=AD=AB=2√3，则OD=OB=√3，由勾股定理求出OA，进而得出答案．本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．18.【答案】(1)12；(2)列表如下：所有等可能的情况有12种，其中点(x,y)落在第二象限内的情况有(−1,2)，(−3,2)2种，则点(x,y)落在第二象限内的概率=212=16．【解析】解：(1)∵方程ax2−2ax+a+3=0有实数根，∴△=4a2−4a(a+3)=−12a≥0，且a≠0，解得a<0，∵从中任取一球，得a<0的概率是24=12，∴方程ax2−2ax+a+3=0有实数根的概率为12，故答案为：12；(2)见答案．【分析】(1)先求出方程ax2−2ax +a +3=0有实数根时 a <0，再求出从中任取一球，得a <0的概率即可得出答案；(2)先列表，再求出所有等可能的情况，和点(x,y)落在第二象限内的情况，再根据概率公式列式计算即可．主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意列表，求出概率．19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ．又∵AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2−mx +m 2m +34=0的两个实数根， ∴△=(−m)2−4×(m 2m +34)=(m −1)2−4=0，∴m =−1或m =3，当m =−1时，AB +AD =−1<0，AB ⋅AD =14>0，故m =−1舍去，∴当m 为3时，四边形ABCD 是菱形．当m =3时，原方程为x 2−3x +94=0，解得：x 1=x 2=32，∴菱形ABCD 的边长是32．(2)把x =2代入原方程，得：4−2m +m 2+34=0，解得：m =196．将m =196代入原方程，得：x 2−196x +73=0， ∴方程的另一根AD =73÷2=76，∴▱ABCD 的周长是2×(2+76)=193．故答案为193．【解析】(1)由题意△=0，求出m 的值，再解方程即可解决问题；(2)先求出m 的值，再求出方程的另一个根即可．本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．由题意，得∠CND=∠ANB，∠CDN=∠ABN=90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB =DNBN．同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB =FMBM．∵EF=CD，∴DNBN =FMBM，即1.1x= 1.5x+2.4．解得x=6.6，∵CDAB =DNBN，∴1.6AB =1.16.6．解得AB=9.6．答：大树AB的高度为9.6米．【解析】设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB =DNBN求得大树的高．本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．21.【答案】解：(1)设三、四这两个月的月平均增长率为x．由题意得：192(1+x)2=300，解得：x1=14，x2=−94(不合题意，舍去)，答：三、四这两个月的月平均增长率为25%．(2)设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．根据题意可得：(40−25−m)(300+5m)=3250，解得：m1=5，m2=−50(不合题意，舍去)．答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．【解析】(1)直接利用二月销量×(1+x)2=四月的销量进而求出答案．(2)首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量=总利润列出方程，再解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．22.【答案】(1)函数图象如图所示：(2)①增大；②上，1 ；③(0,1) ．(3)根据题意得：x−2x =−2x +1，解得：x =±1，当x =1时，y =−2x +1=−1，当x =−1时，y =−2x +1=3，∴交点为(1,−1)，(−1,3)，当y =0时，−2x +1=0，x =12，∴△AOB 的面积=12×(3+1)×12=1．【解析】解：(1)见答案；(2)①当x <0时，y 随x 的增大而增大；故答案为：增大；②y =x−2x 的图象是由y =−x 2的图象向上平移1个单位而得到；故答案为：上，1；③图象关于点(0,1)中心对称．故答案为：(0,1)；(3)见答案．(1)用光滑曲线顺次连接即可；(2)利用图象法即可解决问题；(3)联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题；本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】1 90°【解析】解：(1)①∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，∴∠ABC=∠CAB=45°=∠CDE=∠CED，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD，∠CAB=∠CBE=45°，∴BEAD=1，故答案为：1；②由①得：∠ABC=45°，∠CAB=∠CBE=45°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，故答案为：90°；(2)BEAD=√3，∠DBE=90°，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∠CED=∠ABC=30°，∴BC=√3AC，∴BCAC=√3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，∴△ACB∽△DCE，∴ACBC =CDCE，第21页，共23页同①得：∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴BEAD =BCAC=√3，∠CBE=∠CAD=60°∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°；(3)同(2)得：△ACD∽△BCE，∴∠A=∠CBE，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠DBE=90°，当点D与A重合时，点E与B重合，AB的中点，记为P′；当点D与B重合时，点E是AC的延长线与BE 的延长线的交点，记为E′′，如图3所示：则点P的运动轨迹为P′P′′，P′P′′是△ABE′′的中位线，∴P′P′′=12AE′′，∵∠ACB=∠BCE′′=90°，∠A=∠CBE′′，∴△ABC∽△BE′′C，，即，∴CE′′=163，∴AE′′=AC+CE′′=253，∴P′P′′=12AE′′=256，即P点经过的路径长为256．(1)证△ACD≌△BCE(SAS)，得BE=AD，∠CAB=∠CBE=45°，即可得出BEAD=1；②由①得∠ABC=45°，∠CAB=∠CBE=45°，则∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°；(2)先由含30°角的直角三角形的性质得BC=√3AC，则BCAC=√3，再证△ACB∽△DCE，得ACBC =CDCE，同①得∠ACD=∠BCE，然后证△ACD∽△BCE，得BEAD=BCAC=√3，∠CBE=第22页，共23页第23页，共23页 ∠CAD =60°则∠DBE =∠ABC +∠CBE =90°；(3)同②得△ACD∽△BCE ，得∠A =∠CBE ，证出∠DBE =90°，由题意得点P 的运动轨迹为P′P′′，P′P′′是△ABE′′的中位线，则P′P′′=12AE′′，再证△ABC∽△BE′′C ，求出CE′′=163，则AE′′=AC +CE′′=253，即可得出答案．本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．。

2024-2025学年河南省实验中学数学九年级第一学期开学复习检测试题【含答案】

试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）某家庭今年上半年1至6月份的月平均用水量5t，其中1至5月份月用水量（单位：t）统计表如图所示，根据信息该户今年上半年1至6月份用水量的中位数和众数分别是（）月份123456用水量/t36456a A．4，5B．4.5，6C．5，6D．5.5，62、（4分）关于x的一元二次方程2x2+4x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则实数c可能的取值为（）A．﹣5B．﹣2C．0D．﹣83、（4分）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．2x+2x+1=0B．2x+x-2=0C．2x+1=0D．2x﹣2x﹣1=04、（4分）在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm变成2cm，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍5、（4分）要使分式有意义，则x的取值范围是()A ．B ．C ．D ．6、（4分）成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）分式b ax ，－3c b ，25a x 的最简公分母是（）A ．5abx B ．5abx 3C ．15abx D ．15abx 28、（4分）某种长途电话的收费方式为，接通电话的第一分钟收费a 元(8)a <，之后每一分钟收费b 元，若某人打此种长途电话收费8元钱，则他的通话时间为A ．8a b -分钟B ．8a b +分钟C ．8a b b -+分钟D ．8a b b --分钟二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，F 为DE 的中点，∠B ＝66°，∠EDC ＝44°，则∠EAF 的度数为_____．10、（4分）已知：一次函数y kx b =+的图像在直角坐标系中如图所示，则kb ______0（填“>”，“<”或“=”）11、（4分）已知＝0，则（a ﹣b ）2的平方根是_____．12、（4分）因式分解:2231827m mn n -+=______.13、（4分）若分式x 3x 3--的值为零，则x=______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）作平行四边形ABCD 的高CE ，B 是AE 的中点，如图．（1）小琴说：如果连接DB ，则DB ⊥AE ，对吗？说明理由．（2）如果BE ：CE ＝1：，BC ＝3cm ，求AB ．15、（8分）一个边数为2n 的多边形中所有对角线的条数是边数为n 的多边形中所有对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数.16、（8分）为调查某校初二学生一天零花钱的情况，随机调查了初二级部分学生的零钱金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为_____,图①中m 的值是_____；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；（3）根据样本数据，估计该年级300名学生每天零花钱不多于10元的学生人数．17、（10分）已知在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线DE 与BC 边所在的直线交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP<PD ）（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与D 重合），将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD 、PF 分别交射线DA 于点H 、G ．①求证：PG=PF ；②探究：DF 、DG 、DP 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），过点P 作PG ⊥PF ，交射线DA 于点G ，你认为（1）中DE 、DG 、DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．18、（10分）计算：（1（2）（3（40)x B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若样本数据1，2，3，2的平均数是a ，中位数是b ，众数是c ，则数据a ，b ，c 的方差是___．20、（4分）如果一个多边形的每个外角都等于40，那么这个多边形的内角和是______度．21、（4分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形ABCD 中，若AB ＝10，AC ＝12，则BD 的长为_____．22、（4分）在直角三角形中，若勾为1，股为1．则弦为________．23、（4分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE +PB 的最小值为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某旅游纪念品店购进一批旅游纪念品，进价为6元.第一周以每个10元的价格售出200个、第二周决定降价销售，根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这两周一共获利1400元.(1)设第二周每个纪念品降价x 元销售，则第二周售出个纪念品(用含x 代数式表示);(2)求第二周每个纪念品的售价是多少元?25、（10分）如图，一架5米长的梯子AB 斜靠在一面墙上，梯子底端B 到墙底的垂直距离BC 为3米．（1）求这个梯子的顶端A 到地面的距离AC 的值；（2）如果梯子的顶端A 沿墙AC 竖直下滑1米到点D 处，求梯子的底端B 在水平方向滑动了多少米？26、（12分）请用无刻度尺的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）图1中，点F G 、是ABC ∆的所在边上的中点，作出ABC ∆的AB 边上中线.（2）如图，ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，BD 是它的对角线，在图2中找出AB的中点E ；（3）图3是在图2的基础上已找出AB 的中点E ，请作出ABD 的AD 边上的中线.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】先根据平均数的定义求出6月份的用水量，再根据中位数和众数的定义求解可得．【详解】解：根据题意知6月份的用水量为5×6-（3+6+4+5+6）=6（t），∴1至6月份用水量从小到大排列为：3、4、5、6、6、6，则该户今年1至6月份用水量的中位数为562=5.5、众数为6，故选：D．本题主要考查众数和中位数，解题的关键是根据平均数定义求出6月份用水量及众数和中位数的定义．2、C【解析】利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况，有两个不相等的实根，即△＞1．【详解】解：依题意，关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝42+8c＞1，得c＞﹣2根据选项，只有C选项符合，故选：C．本题考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的实数根；②当△=1时，方程有两个相等的实数根；③当△＜1时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．3、C【解析】分别计算每个方程中根的判别式△（b2-4ac）的值，找出△<0的方程即可解答.【详解】选项A ，△=b 2-4ac=22-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根；选项B ，△=b 2-4ac=12-4×1×（-2）=9>0，方程有两个不相等的实数根；选项C ，△=b 2-4ac=0-4×1×1=-4<0，方程没有实数根；选项D ，△=b 2-4ac=（-2）2-4×3×（-1）=16>0，方程有两个不相等的实数根．故选C ．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4、D 【解析】复印前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，本题按照相似多边形的性质求解．【详解】由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=1:2，所以面积之比=(1:2)=1:4.故选D.此题考查相似多边形的性质，解题关键在于掌握其性质.5、A 【解析】根据分式分母不为0的条件进行求解即可.【详解】由题意得x-1≠0，解得：x ≠1，故选A.6、B【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围．【详解】由题意可知：3010 xx-≥⎧⎨+>⎩,解得：3x ,故选：B．考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.7、D【解析】求出ax，3b，5x2的最小公因式即可。

河南省实验中学2020-2021学年九年级上期中测试数学试题

河南省实验中学2020-2021学年九年级上期中测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程x 2－x ＝0的根是（）A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝－1 2．下列说法正确的是（）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．频率就是概率D ．相似三角形对应高的比等于周长的比3．如图①是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分，得到一个工件如图②。

这个工件的俯视图是（）A ．aB ．bC ．cD ．d4．用配方法解方程x 2+2x ﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A ．（x +2）2＝2B ．（x +1）2＝2C ．（x +2）2＝3D ．（x +1）2＝3 5．若反比例函数2y x =-的图像上有两个点A(-1,m ),B(23n ，)那么m n 、大小关系是（）A ．m n ＞B ．m n ＜C ．m n =D ．无法确定 6．一个不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球个数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为( )A ．60个B ．50个C ．40个D ．30个 7．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米8．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y=kx的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（）A．4 B．2 C．1 D．1 29．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A．1）B．（2，1）C．（2D．（110．如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（）A．95B．185C．165D．125二、填空题11．已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2，则m=______．12．把一个长、宽、高分别是3 dm，2 dm，1 dm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(单位：dm2)与高h(单位：dm)之间的函数关系式是____．13．若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点(MP＜NP),则MP的长为___________. 14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD 于点F ，若S △AEG =13S 四边形EBCG ，则= ．15．如图矩形ABCD 中，AD=10，AB=14，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D '落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为_______.三、解答题16．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(1,2）、B(3,1）、C(2,3)，以原点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍得A B C '''．(1)在图中第一象限内画出符合要求的A B C '''(不要求写画法)；(2)A B C '''的面积是:_____________.17．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m ，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n ．（1）请画出树状图并写出（m ，n ）所有可能的结果；（2）求所选出的m ，n 能使一次函数y=mx+n 的图象经过第二、三、四象限的概率． 18．已知关于x 的方程222(1)0x m x m -++=（1）当m 取何值时，方程有两个实数根；（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．19．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD 交AF于点G，连接DG．(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)连接DE，交AF与O点，试探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由。

_2020-2021学年河南省实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷解析版

2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+y+3＝0C．（x﹣1）（x+1）＝1D．（x+2）（x﹣1）＝x22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°3．利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9 4．下列说法正确的是（）A．矩形对角线相互垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线分别平分对角的四边形是平行四边形5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（）A．±1B．1C．﹣1D．1或06．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．7．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．朝上的点数是5的概率B．朝上的点数是奇数的概率C．朝上的点数是大于2的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（）A．AC＝CF B．AD＝CF C．∠B＝∠BCF D．DB＝CF9．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝470410．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（）A．6B．12C．9D．6二、填空题（每小题3分，共15分）11．方程x（x﹣3）＝0的解为．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1）．对角线BD交AC于点M．交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是．14．在一个不透明的袋子里装有两个红球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后不再放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝，其中正确的结论是．三、解答题（本题共75分）16．（12分）请选择合适的方法解下列方程：（1）3x2+5x﹣1＝0；（2）x2﹣4x＝95；（3）（2x﹣5）2＝（x﹣2）2；（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）．17．（8分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德．在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1460人奔赴武汉．其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题．（1）小丽被派往急诊科的概率是；（2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派往发热门诊的概率．18．（8分）已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若且EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．20．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC ＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．22．（10分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程x2+2x＝35正根的方法：构造出4个长为x+2，宽为x的长方形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S1＝S2＝S3＝S4＝（x+2）×x，S5＝4，得到大正方形面积为4×x（x+2）+22＝4×35+4＝144，大正方边长为12，所以x＝5．（1）请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x﹣15＝0的正根，并写出分析过程；（2）你能否画出用几何法画出求方程m2﹣2m﹣5＝0正根，如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．23．（11分）如图，分别以△ABC的AB、AC为一边，向外作正方形ABEF和正方形AGHC．（1）如图1，连接BG、CF相交于点P，则BG、CF数量关系：，位置关系：；（2）如图2，点D是BC的中点，点O1、O2，分别是正方形ABEF和正方形AGHC对角线的交点，连接O1D、O2D、O1O2，判断△O1O2D的形状，并说明理由；（3）如图2，若AB＝6，AC＝，∠BAC＝60°，请直接写出O1O2的长．2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+y+3＝0C．（x﹣1）（x+1）＝1D．（x+2）（x﹣1）＝x2【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意；C、由已知方程得到：x2﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D、由原方程得到：x﹣2＝0，该方程中含有未知数的项的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°【分析】根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD，∵DC＝AC，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，故选：B．3．利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+4＝5+4，（x+2）2＝9，故选：A．4．下列说法正确的是（）A．矩形对角线相互垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线分别平分对角的四边形是平行四边形【分析】根据矩形的性质可得A错误；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形可得B正确；【解答】解：A．矩形的对角线相等，故A说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．两组邻边分别相等的四边形是菱形，故C说法错误；D．每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，也是平行四边形，故D说法错误；故选：B．5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（）A．±1B．1C．﹣1D．1或0【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把x＝0代入原方程即可求得m的值．【解答】解：把x＝0代入方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1，得m2＝1，解得m＝±1；∵mx2﹣3x＝x2﹣m2+1整理得（m﹣1）x2﹣3x+m2﹣1＝0，∴m﹣1≠0即m≠1，∴m＝﹣1．故选：C．6．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．【分析】连结BP，如图，根据菱形的性质得BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△P AB+S△PBC，得到×5×PE+×5×PF＝12，再整理即可得到PE+PF的值．【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．7．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．朝上的点数是5的概率B．朝上的点数是奇数的概率C．朝上的点数是大于2的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率实验统计的频率，随着实验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项．【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，A的概率为1÷6×100%≈16.67%，B的概率为3÷6×100%＝50%，C的概率为4÷6×100%≈66.67%，D的概率为2÷6×100%≈33.33%，即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，故选：D．8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（）A．AC＝CF B．AD＝CF C．∠B＝∠BCF D．DB＝CF【分析】由矩形的判定、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，A、当AC＝CF时，不能证明四边形ADFC是平行四边形，∴不能证明四边形ADFC是矩形，故选项A符合题意；B、AD＝CF时，作CG⊥DF于G，如图所示：则CG∥AD，∴四边形ADGC是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ADGC是矩形，∴AD＝CG，∴CG＝CF，∴G与F重合，即四边形ADFC是矩形，故选项B不符合题意；C、当∠B＝∠BCF时，AB∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ADFC为矩形；故选项C不符合题意；D、DB＝CF时，∵DB＝AD，∴AD＝CF，可证明四边形ADFC是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．9．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，故选：D．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（）A．6B．12C．9D．6【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9．【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，∴△ADH面积＝×DN＝AH2，在Rt△ABC中，∵BC＝6∴AB2+AC2＝BC2＝36，∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．方程x（x﹣3）＝0的解为x1＝0，x2＝3．【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：x（x﹣3）＝0，可得x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝312．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝1．【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，∵OE＝1，CE⊥BD，∴由勾股定理可知：CE＝1，故答案为：1．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1）．对角线BD交AC于点M．交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（﹣2，4）．【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，MP⊥轴于P，则MP∥BF，求出M（1，1），则OP＝MP＝1，△OPM是等腰直角三角形，证∠M△OMN是等腰直角三角形，得MN ＝MO，则NP＝OP＝1，由平行线分线段成比例定理得＝＝＝，则NF＝4NP ＝4，BF＝4MP＝4，进而得出答案．【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，MP⊥轴于P，如图所示：则MP∥BF，∵四边形ABCD是菱形，∴MA＝MC，MB＝MD，AC⊥BD，∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），∴M（1，1），∴OP＝MP＝1，△OPM是等腰直角三角形，∴∠MOP＝45°，∵AC⊥BD，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝MO，∴NP＝OP＝1，∵BN＝2ND，∴BM＝3MN，BN＝4MN，∵MP∥BF，∴＝＝＝，∴NF＝4NP＝4，BF＝4MP＝4，∴OF＝NF﹣ON＝2，∴点B（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4）．14．在一个不透明的袋子里装有两个红球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后不再放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是．【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．【解答】解：画出树状图：根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，∴两次都摸到红球的概率是＝；故答案为：．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝，其中正确的结论是①②．【分析】证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF ≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性质可得∠FHC＝∠B，①②正确；由∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，③△ADO≌△ACH不正确；求出△ABC的面积＝AB2＝，得菱形ABCD的面积＝，④不正确；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，∴∠EAC＝∠B＝60°，同理：△ADC是等边三角形∴∠OAD＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，∵∠FHC＝∠ACE+∠F AC＝∠BAF+∠F AC＝∠BAC＝60°，∴∠FHC＝∠B，故①正确，②正确；∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，故③△ADO≌△ACH不正确；∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1，∴△ABC的面积＝AB2＝，∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝，故④不正确；故答案为：①②．三、解答题（本题共75分）16．（12分）请选择合适的方法解下列方程：（1）3x2+5x﹣1＝0；（2）x2﹣4x＝95；（3）（2x﹣5）2＝（x﹣2）2；（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用配方法求解可得；（3）利用直接开平方法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝3，b＝5，c＝﹣1，∴△＝52﹣4×3×（﹣1）＝37＞0，则x＝＝；（2）∵x2﹣4x＝95，∴x2﹣4x+4＝95+4，即（x﹣2）2＝99，则x﹣2＝，∴x＝2；（3）∵（2x﹣5）2＝（x﹣2）2，∴2x﹣5＝x﹣2或2x﹣5＝2﹣x，解得x＝3或x＝；（4）∵2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6．17．（8分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德．在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1460人奔赴武汉．其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题．（1）小丽被派往急诊科的概率是；（2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派往发热门诊的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小丽和小王同时被派往发热门诊的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）小丽被派往发热门诊的概率；故答案为：；（2）小丽、小王和两个同事分别用A，B，C1，C2表示，根据题意画图如下：由上可知；一共出现了12种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有2种情况，则小丽和小王同时被派往发热门诊的概率是＝．18．（8分）已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．【分析】（1）根据根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得；（2）取m＝3，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2m）2﹣4×（m+1）（m﹣3）＞0且m+1≠0，解得m＞且m≠﹣1；（2）取m＝3，此时方程为4x2+6x＝0，整理为2x（2x+3）＝0，∴2x＝0或2x+3＝0，解得x1＝0，x2＝．19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若且EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△AEH≌△CGF，得EH＝GF，同理△BEF≌△DGH（SAS），得EF＝GH，即可得出四边形EFGH是平行四边形；（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，再证得该平行四边形的邻边相等即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理：△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EFGH是菱形．20．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC ＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．分两种情形讨论①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，分别求解即可；（2）设Q点运动的速度xcm/s时，由四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，推出P A＝BQ＝4或P A＝BQ＝16，推出t＝4或16，可得24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，∴20﹣t＝3t，解得t＝5．②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，∴3t﹣（20﹣t）＝8，解得t＝7．综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．（2）设Q点运动的速度xcm/s时，∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，∴P A＝BQ＝4或P A＝BQ＝16，∴t＝4或16，∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解得x＝5或，∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．．22．（10分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程x2+2x＝35正根的方法：构造出4个长为x+2，宽为x的长方形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S1＝S2＝S3＝S4＝（x+2）×x，S5＝4，得到大正方形面积为4×x（x+2）+22＝4×35+4＝144，大正方边长为12，所以x＝5．（1）请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x﹣15＝0的正根，并写出分析过程；（2）你能否画出用几何法画出求方程m2﹣2m﹣5＝0正根，如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．【分析】（1）仿照案例，构造面积是（x+x+4）2的大正方形，由它的面积为4×15+42，可求出x＝2，此题得解．【解答】解：（1）如图，图中大正方形的面积是（x+x+4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×15+42，据此易得x＝2．（2）能，画出图形如图，23．（11分）如图，分别以△ABC的AB、AC为一边，向外作正方形ABEF和正方形AGHC．（1）如图1，连接BG、CF相交于点P，则BG、CF数量关系：BG＝CF，位置关系：BG⊥CF；（2）如图2，点D是BC的中点，点O1、O2，分别是正方形ABEF和正方形AGHC对角线的交点，连接O1D、O2D、O1O2，判断△O1O2D的形状，并说明理由；（3）如图2，若AB＝6，AC＝，∠BAC＝60°，请直接写出O1O2的长．【分析】（1）由SAS证明△F AC≌△BAG，得出BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，证得∠FPG ＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，即可得出结论；（2）连接FC、BG、FB、GC，证得O1D是△BCF的中位线，O2D是△CBG的中位线，根据三角形中位线定理可得O1D＝O2D，O1D⊥O2D，即可得出结论；（3）作FM⊥CA交其延长线于点M，证得∠F AM＝180°﹣∠F AB﹣∠BAC＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可得到FC的长，再根据（2）中结论即可得出结果．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABEF和四边形AGHC是正方形，∴AF＝AB，AC＝AG，∠F AB＝∠CAG＝90°，∴∠F AB+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠F AC＝∠BAG，在△F AC和△BAG中，，∴△F AC≌△BAG（SAS），∴BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，∵∠AQF＝∠BQP，∴∠FPG＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，∴BG⊥CF，故答案为：BG＝CF，BG⊥CF；（2）△DO1O2是等腰直角三角形，理由如下：连接FC、BG、FB、GC，如图2所示，由（1）得：FC＝BG，FC⊥BG，∵O1是正方形ABEF的中心，∴O1是BF的中点，∵D是BC的中点，∴O1D是△BCF的中位线，∴O1D＝FC，O1D∥FC，同理可得：O2D是△CBG的中位线，∴O2D＝BG，O2D∥BG，∴O1D＝O2D，O1D⊥O2D，∴△DO1O2为等腰直角三角形；（3）作FM⊥CA交其延长线于点M，如图3所示，∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝AF＝6，∠F AB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠F AM＝180°﹣∠F AB﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴MF＝AF＝3，AM＝cos30°×AF＝＝，∴MC＝MA+AC＝，∴FC＝＝＝，∴O1D＝FC＝，∴O1O2＝O1D＝．。

2020-2021学年河南省焦作实验中学九年级(上)开学数学试卷 (解析版)

2020-2021学年河南省焦作实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3 得x＞3C．由＞0得y＞0 D．由﹣2x＜4得x＜﹣23．下列因式分解不正确的是（）A．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2B．x3﹣x＝x（x2﹣1）C．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）4．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣55．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°7．如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线交AD于E，交BC于F，若AB＝5，BC＝6，OE＝2，那么四边形EFCD周长是（）A．16 B．15 C．14 D．138．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC 的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5°；②点C到EF的距离是﹣1；③△ECF的周长为2；④BE+DF＞EF，其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共5小题）.11．若分式的值为0，则x＝．12．在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜场．13．如图，平面直角坐标系中，经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点A（﹣2，﹣1），则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为．14．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为．15．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE 折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为．三、解答题（共8个小题，满分75分）16．因式分解：（1）m2﹣6mn+9n2；（2）4x2﹣16y2；（3）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．17．解不等式组：．18．先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C （0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A 的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．20．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，过点P作AB、AC （或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，求证：BM＝CN．21．为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种运动鞋每双的进价多60元，用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求甲、乙两种运动鞋的进价（用列分式方程的方法解答）：（2）该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元设甲种运动鞋的进货量为m双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w元，求w与m的函数关系式，并求总利润的最大值．22．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE 相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．23．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知BC＝4，CD＝1，请直接写出GE的长．参考答案一、选择题（共10小题）.1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．2．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3 得x＞3C．由＞0得y＞0 D．由﹣2x＜4得x＜﹣2 解：由4x﹣1≥0得4x≥1，A错误；由5x＞3 得x＞，B错误；由＞0得y＞0，C正确；由﹣2x＜4得x＞﹣2，D错误．故选：C．3．下列因式分解不正确的是（）A．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2B．x3﹣x＝x（x2﹣1）C．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）解：A、原式＝（2x﹣1）2，不符合题意；B、原式＝x（x+1）（x﹣1），符合题意；C、原式＝xy（x﹣y），不符合题意；D、原式＝（x+y）（x﹣y），不符合题意．故选：B．4．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣5解：由题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5，故选：A．5．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：多边形的内角和是2×360+180＝900度，设这个多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）180°＝900°，解得n＝7，即这个多边形的边数是7．故选：C．6．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，∴∠1＝∠A+∠ABD＝72°，故选：C．7．如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线交AD于E，交BC于F，若AB＝5，BC＝6，OE＝2，那么四边形EFCD周长是（）A．16 B．15 C．14 D．13解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝5，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE＝CF，OE＝OF＝2，∴DE+CF＝DE+AE＝AD＝6，∴四边形EFCD的周长是EF+FC+CD+DE＝2+2+6+5＝15，故选：B．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC 的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．9．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°解：∵四边形ABCD是菱形，∵AC⊥BD，DO＝OB，∠DAO＝∠BAO＝25°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝65°，∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°，∴∠BDH＝90°﹣ABO＝25°，在Rt△DHB中，∵OD＝OB，∴OH＝OD＝OB，∴∠DHO＝∠HDB＝25°，故选：B．10．如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5°；②点C到EF的距离是﹣1；③△ECF的周长为2；④BE+DF＞EF，其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1＝∠2＝∠22.5°，所以①正确；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DF，而BC＝DC，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，∴EB＝EH，FD＝FH，∴BE+DF＝EH+HF＝EF，所以④错误；∴△ECF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+CF+DF＝CB+CD＝1+1＝2，所以③正确；设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1﹣x，∵△CEF为等腰直角三角形，∴EF＝CE，即2x＝（1﹣x），解得x＝﹣1，∴BE＝﹣1，Rt△ECF中，EH＝FH，∴CH＝EF＝EH＝BE＝﹣1，∵CH⊥EF，∴点C到EF的距离是﹣1，所以②正确；本题正确的有：①②③；故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若分式的值为0，则x＝ 1 ．解：分式的值为0，得x2﹣1＝0且x+1≠0．解得x＝1，故答案为：1．12．在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜8 场．解：设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，由题意得，3x+（28﹣x）≥43，2x≥15，解得：x≥7.5，∵场次x为正整数，∴x≥8．答：这个班至少要胜8场．故答案为：813．如图，平面直角坐标系中，经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点A（﹣2，﹣1），则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为﹣4＜x＜﹣2 ．解：不等式mx+2＜kx+b＜0的解集是﹣4＜x＜﹣2．故答案是：﹣4＜x＜﹣2．14．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为4．解：如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC＝12，∴AO＝＝6，∠BAC＝∠BAD＝30°，∴OB＝，由勾股定理得，AB2﹣OB2＝OA2，∴，∴AB＝4，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN∥AB，∴PM+PN的最小值为4，故答案为4，15．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE 折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5 ．解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE＝D′E，AD＝AD′＝10，当∠DD′C＝90°时，如图1，∵DE＝D′E，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠4，∴ED′＝EC，∴DE＝EC＝CD＝4；当∠DCD′＝90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE＝x，则ED′＝x，CE＝8﹣x，∵AD′＝AD＝10，∴在Rt△ABD′中，BD′＝＝6，∴CD′＝4，在Rt△CED′中，（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．因式分解：（1）m2﹣6mn+9n2；（2）4x2﹣16y2；（3）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．解：（1）原式＝（m﹣3n）2；（2）原式＝4（x2﹣4y2）＝4（x+2y）（x﹣2y）；（3）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）（x﹣y+x+y）＝2x（a﹣b）．17．解不等式组：．解：由①得x＞﹣2，由②得x≤，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤．18．先化简（﹣）÷，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．解：原式＝[﹣]÷＝（﹣）•＝•＝，当x＝2时，原式＝＝3．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C （0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A 的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）如图，旋转中心为（，﹣1）；20．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，过点P作AB、AC （或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，求证：BM＝CN．【解答】证明：连接BD，CD，如图，∴DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△BMD和Rt△CND中，，∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），∴BM＝CN21．为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种运动鞋每双的进价多60元，用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求甲、乙两种运动鞋的进价（用列分式方程的方法解答）：（2）该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元设甲种运动鞋的进货量为m双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w元，求w与m的函数关系式，并求总利润的最大值．解：（1）设甲种运动鞋的价格是每双x元，则乙种运动鞋每双价格是（x﹣60）元，，解得，x＝200，经检验，x＝200是原分式方程的解，∴x﹣60＝140，答：甲、乙两种运动鞋的进价分别为200元/双、140元/双；（2）由题意可得，w＝（350﹣200）m+（300﹣140）×（200﹣m）＝﹣10m+32000，∵甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的，∴m≥（200﹣m），解得，m≥50，∴当m＝50时，w取得最大值，此时w＝31500，答：w与m的函数关系式是w＝﹣10m+32000，总利润的最大值是31500元．22．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE 相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．【解答】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4．又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，∴OC＝AC＝2，∴OD＝＝2，∴矩形OCED的面积是2×2＝4．23．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF．②BC，CD，CF之间的数量关系为BC＝CF+CD；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知BC＝4，CD＝1，请直接写出GE的长．解：（1）①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；故答案为：BC⊥CF；②∵△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∴BC＝CF+CD；故答案为：BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴CF⊥BC．∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∴CD＝CF+BC．（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：∵∠BAC＝90°，BC＝4，∴AB＝AC＝2，∵AH⊥BC，AH＝BC＝BH＝CH＝2，∴DH＝CH+CD＝3，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM（AAS），∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，在Rt△EGN中，EG＝＝．。

2020-2021学年河南省实验中学九年级(上)开学数学试卷-解析版

2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 不等式组{2(x +1)>3x.x+12−1≤x 的解集在数轴上表示正确的是( ) A.B.C. D. 3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线DE ，分别交AB ，AC 于点D ，E.若AD =3，BC =5，则△BEC 的周长为( )A. 8B. 10C. llD. 134. 若方程组{2x +y =1−3k x +2y =2的解满足x +y >1，则k 的取值范围是( ) A. k >2 B. k <2 C. k >0 D. k <05. 如图，若函数y 1=−x −1与y 2=ax −3的图象相交于点P(m,−2)，则关于x 的不等式−x −1<ax −3的解集是( )A. x >1B. x <1C. x >2D. x <26. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是( )A. 3000(1+x)2=5000B. 3000x2=5000C. 3000(1+x%)2=5000D. 3000(1+x)+3000(1+x)2=50007.顺次连接一个四边形四边中点得到的图形是菱形，则这个四边形满足()A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 对角线相等8.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2−6x+8=0的解，则这个三角形的周长是()A. 11B. 13C. 11或13D. 不能确定9.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是()A. 6B. 7C. 8D. 910.如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.已知关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．12.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分MN的长为半径画弧，别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是________．13.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为______．14.若4x2−(k−1)x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为______．15.如图，已知正方形ABCD，边长为8，E是AB边上的一点，连接DE，将△DAE沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A1落在正方形的边CD或BC的垂直平分线上，则AE的长度是______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.解下列方程：(1)(x−3)2+2x(x−3)=0；(2)2x2−5x+2=0(配方法)；(3)2x2−9x+8=0；(4)(x−2)2=(2x+3)2．17.先化简x2−2x+1x2−1÷(x−1x+1−x+1)，然后从−√6<x<√6的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x的值代入求值．18.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元⋅19.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．①求证：四边形ADCE为矩形；AB；②求证：DF//AB，DF=12③当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．20.已知关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0(1)求证：方程总有实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．21.“青山一道同云雨，明月何曾是两乡”我国新冠疫情基本控制，境外疫情肆虐．为了帮助全球抗疫，某厂接到在规定时间内生产1500台呼吸机支援境外抗疫．在生产了300台呼吸机后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务．求原来每天生产多少台呼吸机？22.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．23.(1)【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF=45°，求证：EF=DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．(2)【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则(1)中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是______(不要求证明)(3)【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=3√5，求AF的长．答案和解析1.【答案】A【解析】A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C.是中心对称图形，不是轴对称图形，不合题意；D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不合题意；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．2.【答案】A【解析】解：{2(x+1)>3x①x+12−1≤x②解不等式①得：x<2，解不等式②得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x<2，在数轴上表示为：故选：A．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．3.【答案】C【解析】解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE=BE，∵AD=3，∴AE+EC=AC=AB=6，∵BC=5，∴△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=6+5=11；故选：C．由AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，易得△EBC的周长=AC+BC；此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】D【解析】解：将两个方程相加可得3x+3y=3−3k，则x+y=1−k，∵x+y>1，∴1−k>1，解得k<0，故选：D．将两个方程相加，再整理得出x+y=1−k，根据x+y>1得出关于k的不等式，解之可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵函数y1=−x−1与y2=ax−3的图象相交于点P(m,−2)，∴−2=−m−1，解得：m=1，故关于x的不等式−x−1<ax−3的解集是：x>1．故选：A．首先得出m的值，再观察函数图象得到，当x>1时，一次函数y=ax−3的图象都在一次函数y=−x−1的图象的上方，由此得到不等式−x−1<ax−3的解集．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元”，可以分别用x表示2007以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．【解答】解：依题意得2009年投入为3000(1+x)2，∴3000(1+x)2=5000．故选A．7.【答案】D【解析】解：当四边形对角线相等时，顺次连接这个四边形四边中点得到的图形是菱形，∵E，F，G，H分别为矩形各边的中点，∴EH=12BD，EH//BD，FG=12BD，FG//BD，EF=12AC，∴EH=FG，EH//FG，∴四边形EFGH是平行四边形，当AC=BD时，EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：D．根据三角形的中位线定理和菱形的判定定理解答．本题考查的是菱形的判定、矩形的性质，掌握三角形的中位线定理和矩形的性质定理是解题关键．8.【答案】B【解析】解：(x−2)(x−4)=0x−2=0或x−4=0∴x1=2，x2=4．因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，故周长=3+6+4=13．故选：B．先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．9.【答案】C【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°⋅(n−2)=3×360°解得n=8．故选：C．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．10.【答案】C【解析】解：如图，连接BF，由旋转可得，CE=FC，∠ECF=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE=∠BCF，∴△ACE≌△BCF(SAS)，∴∠CBF=∠CAE，∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，∴∠CAE=30°，BD=4，∴∠CBF=30°，即点F的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF时，DF最短，此时，DF=12BD=12×4=2，∴DF的最小值是2，故选：C．连接BF，判定△ACE≌△BCF，即可得到∠CBF=∠CAE=30°，进而得出点F的运动轨迹为直线BF，依据当DF⊥BF时，DF最短，即可得到DF的最小值是2．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】a≤2【解析】解：关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根，分情况讨论：当方程是一元二次方程时，a−1≠0，且△≥0，由a−1≠0，得a≠1；由△≥0，即4−4(a−1)≥0，得a≤2，∴a的取值范围为a≤2且a≠1．当a=1时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a的取值范围为a≤2．故答案为：a≤2．分情况讨论，关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根，当方程为一元二次方程时，△≥0，且a−1≠0；当a=1时为一元一次方程，可知方程有一根．本题考查了方程根的判别方法；注意考虑特殊情况：当二次项系数等于0时为一元一次方程．12.【答案】30【解析】【分析】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．做出角平分线，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC中∠CAB的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=12×AB×DE=30，故答案为：30．13.【答案】1【解析】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，∴DE=12BC，DF=12AB，∵AB=6，BC=8，∴DE=12×8=4，DF=12×6=3，∴EF=DE−DF=4−3=1．故答案为：1．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．14.【答案】13或−11【解析】解：∵4x2−(k−1)x+9是一个完全平方式，∴k−1=±12，解得：k=13或k=−11，故选：13或−11．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15.【答案】16−8√3或8√33【解析】解：分两种情况：①当点A的对应点A1落在正方形的边CD的垂直平分线MN上时，如图1所示：由折叠的性质得：∠DA1E=∠A=90°，A1D=AD=8，则MN⊥AB，MN⊥CD，DM=12CD=4，A1D=AD=8，∴∠DA1M=30°，A1M=√82−42=4√3，∴∠EA1N=180°−30°−90°=60°，A1N=8−4√3，∴∠A1EN=90°−60°=30°，∴AE=A1E=2A1N=16−8√3；②当点A的对应点A1落在正方形的边BC的垂直平分线GH上时，作A1P⊥AB于P，如图2所示：则DG=A1P=12AD=4，A1D=AD=8，∠DA1E=90°，AE=A1E，∴DG=12A1D，∴∠DA1G=30°，∴∠PA1E=30°，∴AE=A1E=4cos30∘=4√32=8√33；综上所述，AE的长为16−8√3或8√33；故答案为：16−8√3或8√33．分两种情况：①当点A的对应点A1落在正方形的边CD的垂直平分线MN上时，由折叠的性质得：∠DA1E=∠A=90°，A1D=AD=8，则MN⊥AB，MN⊥CD，DM=12CD=4，A1D=AD=8，得出∠DA1M=30°，由勾股定理求出A1M=4√3，求出∠EA1N=60°，A1N=8−4√3，得出∠A1EN=30°，再由直角三角形的性质即可得出结果；②当点A的对应点A1落在正方形的边BC的垂直平分线GH上时，作A1P⊥AB于P，解法同①．本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质和直角三角形的性质是关键．16.【答案】解：(1)(x−3)(x−3+2x)=0，x−3=0或x−3+2x=0，所以x1=3，x2=1；(2)x2−52x=−1，x2−52x+2516=−1+2516，(x −54)2=916， x −54=±34，所以x 1=12，x 2=2；(3)△=(−9)2−4×2×8=17，x =9±√172×2，所以x 1=9+√174，x 2=9−√174；(4)x −2=±(2x +3)，所以x 1=−5，x 2=−13．【解析】(1)利用因式分解法解方程；(2)利用配方法得到(x −54)2=916，然后利用直接开平方法解方程；(3)利用求根公式法解方程；(4)两边开方得到x −2=±(2x +3)，然后解两个一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法和配方法解一元二次方程． 17.【答案】解：原式=(x−1)2(x−1)(x+1)÷(x−1x+1−x 2−1x+1)=x −1x +1÷x −x 2x +1=x−1x+1⋅x+1−x(x−1)=−1x ，∵−√6<x <√6，且x 为整数，∴x 可取的整数为−2，−1，0，1，2，∵要使分式有意义∴x ≠±1，且x ≠0，∴x 只能取±2，∴当x =2时，原式=−12．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18.【答案】解：设将每千克小型西瓜的售价降低x元．)−24=200．根据题意，得[(3−2)−x](200+40x0.1方程可化为：50x2−25x+3=0，解这个方程，得x1=0.2(舍去)，x2=0.3．答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．【解析】设将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：(3−2−x)元，由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售)千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量−固定出数量为：(200+40x0.1成本=200．考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．19.【答案】证明：(1)∵AB=AC，AD⊥BC垂足是D，∴AD平分∠BAC，∠B=∠5，∴∠1=∠2，∵AE是△ABC的外角平分线，∴∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°，又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，又∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE是矩形．(2)∵四边形ADCE是矩形，AC，∴AF=CF=12∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD=1BC，2∴DF是△ABC的中位线，AB．即DF//AB，DF=12(3)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC∴∠5=∠2=∠3=45°，∴AD=CD，又∵四边形ADCE是矩形，∴矩形ADCE为正方形．【解析】(1)先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC 的外角平分线，可求出AN//BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE 为矩形；(2)根据四边形ADCE是矩形，可知F是AC的中点，由AB=AC，AD平分∠BAC可知DAB；是BC的中点，故DF是△ABC的中位线，即DF//AB，DF=12(3)根据矩形的性质可知当△ABC是等腰直角三角形时，则∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=CD.再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证．此题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用．20.【答案】(1)证明：∵在方程x2−(k+3)x+2k+2=0中，△=(k+3)2−4×1×(2k+2)=k2−2k+1=(k−1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)解：∵x2−(k+3)x+2k+2=(x−2)(x−k−1)=0，∴x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1<1，解得：k<0，∴k的取值范围为k<0．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得△=(k−1)2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=−2、x2=−k−1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．21.【答案】解：设原来每天生产x台呼吸机，则提高工作效率后每天生产1.5x台呼吸机，依题意，得：1500−300x −1500−3001.5x=4，解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．答：原来每天生产100台呼吸机．【解析】设原来每天生产x台呼吸机，则提高工作效率后每天生产1.5x台呼吸机，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=(16−3x)cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得12(16−3x+2x)×6=33，解之得x=5，(2)设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB−AP−BE=|16−5t|，由勾股定理，得(16−5t)2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：(1)P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；(2)从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．【解析】(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=(16−3x+2x)×6=33，(16−3x)cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：12解方程可得解；(2)作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．(上底+下底)×高；(2)作辅助线是关键，构成直(1)主要用到了梯形的面积公式：S=12角三角形后，用了勾股定理．23.【答案】(1)【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠DAG+∠FAD=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=FG=DF+DG，∴EF=DF+BE；(2)【类比引申】①不成立，结论：EF=DF−BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，∴∠FAM=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△EAF≌△MAF(SAS)，∴EF=FM=DF−DM=DF−BE；②BE=EF+DF；(3)【联想拓展】解：由(1)可知AE=AG=3√5，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC=BC=AD=6，∴DG=√AG2−AD2=√(3√5)2−62=3．∴BE=DG=3，∴CE=BC−BE=6−3=3，设DF=x，则EF=DG=x+3，CF=6−x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，∴(6−x)2+32=(x+3)2，解得：x=2．∴DF=2，∴AF=√AD2+DF2=√62+22=2√10．【解析】【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．(1)【发现证明】证明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，则结论得证；(2)【类比引申】①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF= FM，则结论得证；②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF=EN，则结论得证；(3)【联想拓展】求出DG=2，设DF=x，则EF=DG=x+3，CF=6−x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．【解答】解：(1)见答案；(2)①见答案；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN=AF，∠NAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠NAE=45°，∴∠NAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△AFE≌△ANE(SAS)，∴EF=EN，∴BE=BN+NE=DF+EF．即BE=EF+DF．故答案为：BE=EF+DF．(3)见答案．第21页，共21页。

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根据梯形的面积公式得 1 (16-3x+2x)×6=33， 2
解得 x=5， (2)设 P，Q 两点从出发经过 t 秒时，点 P，Q 间的距离是 10cm，作 QE⊥AB，垂足为 E，则 QE=AD=6，PQ=10， ∵PA=3t，CQ=BE=2t， ∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|，由勾股定理，得(16-5t)2+62=102，解得 t1=4.8，t2=1.6．答：(1)P、Q 两点从出发开始到 5 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm2； (2)从出发到 1.6 秒或 4.8 秒时，点 P 和点 Q 的距离是 10cm． 23. (1)【发现证明】证明：把△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ADG，如图 1， ∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠FAD=45°， ∴∠DAG+∠FAD=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵AF=AF， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=FG=DF+DG， ∴EF=DF+BE； (2)【类比引申】 ①不成立，结论：EF=DF-BE；证明：如图 2，将△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ADM ∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM， ∴∠FAM=45°=∠EAF， ∵AF=AF， ∴△EAF≌△MAF(SAS)， ∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；
根据题意，得(3-2-x)(200+ 40x )-24=200． 0.1
解这个方程，得 x1=0.2，x2=0.3．， ∴为了促销，应将每千克小型西瓜的售价降低 0.3 元． 19. 证明：(1)∵AB=AC，AD⊥BC 垂足是 D， ∴AD 平分∠BAC，∠B=∠5， ∴∠1=∠2， ∵AE 是△ABC 的外角平分线， ∴∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°，又∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°，又∵CE⊥AE， ∴∠AEC=90°， ∴四边形 ADCE 是矩形． (2)∵四边形 ADCE 是矩形，
(x-3)(3x-3)=0， ∴x-3=0 或 3x-3=0， x1=3，x2=1，
(2)x2- 5 x=-1， 2
15. 16 − 8 3 或 8 3 3
x2- 5 x+ 25 =-1+ 25 ， 2 16 16
(x- 5 )2= 9 4 16
x- 5 =± 3 ， 44
所以 x1=2，x2= 1 ； 2
(3) 2x2-9x+8=0
x2- 9 x=-4 2
x2- 9 x+ 81 =-4+ 81 2 16 16
(x- 9 )2= 17 4 16
x- 9 = 17 44
x1= 9 + 17 ，x2= 9 − 17
4
4
(4) (x-2)2= (2x+3)2
x-2=2x+3
x1=-5
或 x-2=-2x-3
将△DAE 沿 DE 所在直线折叠，使点 A 的对应点 A1 落在正方形的边 CD
或 BC 的垂直平分线上，则 AE 的长度是
.
A1
三、解答题：
A
E
B
16. (16 分)解下列方程：
(1) (x-3) 2+2x (x-3) =0
(2) 2x2- 5x+2=0 (配方法)
(3) 2x2-9x+8=0
(4) (x-2)2= (2x+3)2
满分： 120
时间： 100 分钟
一.选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1.A 2.A 3.C
4.D 5.A
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
6.A 7.D 8.B
11. a≤2 12. 30 13. 1 14. 13 或-11
三.解答题： 16. 解：(1)(x-3)2+2x(x-3)=0，
A. 6
B. 7
C.8
D.9
10.如图，边长为 8 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点， A
连接 EC 将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到 FC，连接 DF，则在
点 E 运动过程中，DF 的最小值是( )
E
A. 4
B.3
C.2
D.1
B
D
C
F
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二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
∴AF=CF= 1 AC， 2
∵AB=AC，AD 平分∠BAC，
∴BD=CD= 1 BC， 2
∴DF 是△ABC 的中位线，
即 DF∥AB，DF= 1 AB． 2
(3)当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形 ADCE 为正方形． ∵在 Rt△ABC 中，AD 平分∠BAC ∴∠5=∠2=∠3=45°， ∴AD=CD，又∵四边形 ADCE 是矩形， ∴矩形 ADCE 为正方形． 20.(1)证明：∵在方程 x2-(k+3)x+2k+2=0 中，
20. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2- (k+3) x+2k+2=0. (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围.
21. (8 分)“青山一道同云雨，明月何曾是两乡”我国新冠疫情基本控制，境外疫情肆虐.为了帮助全球抗疫，某厂接到在规定时间内生产 1500 台呼吸机支援境外抗疫.在生产了 300 台呼吸机后，厂家把工作效率提高到原来的 1.5 倍，于是提前 4 天完成任务.求原来每天生产多少台呼吸机?
A
N
A
AB=15，则△ABD 的面积是
.
C P
D B
13. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB=90°， D
若 AB=6，BC=8，则 EF 的长为
.
E F
B
C
14. 若 4x2-(k-1)x+9 能用完全平方公式因式分解，则 k 的值为
.
D
C
15.如图，己知正方形 ABCD，边长为 8，E 是 AB 边上的一点，连接 DE，
x2= − 1 3
17.原式=
x2
− 2x +1 x2 −1
(
x x
−1 +1
−
x
+ 1)
= (x −1)2 x +1 (x −1)(x +1) x(1− x)
9.C 10.C
5/8
=− 1 x
由题可知 x≠1，x≠-1，x≠0
选取 x=2 代入式子原式= − 1 2
18.解：设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元．
17.(7
分)先化简
x2
− 2x +1 x2 −1
(
x x
−1 +1
−
x
+ 1)
，然后从-
6 <x<
6 的范围内选取一个你喜
欢的合适的整数作为 x 的值代入求值，
18. (7 分)西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千克，为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克.另外，每天的房租等固定成本共 24 元.该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
依题意，得： 1500 − 300 − 1500 − 300 = 4
x
1.5x
解得：x=100，
经检验，x=100 是原分式方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产 100 台呼吸机．
22.解：(1)设 P、Q 两点从出发开始到 x 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm2，
则 PB=(16-3x)cm，QC=2xcm，
11.已知关于 x 的方程(a-1)x2-2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是
.
12.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°.以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧， M
分别交边 AC、 AB 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的
长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，
7.顺次连接一个四边形四边中点得到的图形是菱形，则这个四边形满足( )
A.菱形
B.矩形 C.正方形
D.对角线相等
8.三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程 x2-6x+8=0 的解，则这个三角形的周长是( )
A.11
B.13
C.11 或 13
D. 不能确定
9.如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是( )
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23. (11 分)
【发现证明】
如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC，CD 边上的动点，且∠EAF=45°，求证：
EF=DF+BE.小明发现，当把△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ADG.使 AB 与 AD 重合时就
能够证明.
【类比引申】
(1)如图 2，在正方形 ABCD 中，如果点 E，F 分别是 CB，DC 延长线上的动点，且∠EAF=45°，
△=(k+3)2-4×1×(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0， ∴方程总有两个实数根． (2)解：∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0， ∴x1=2，x2=k+1． ∵方程有一根小于 1，
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∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k 的取值范围为 k＜0． 21. 解：设原来每天生产 x 台呼吸机，则提高工作效率后每天生产 1.5x 台呼吸机，