初等数论习题与答案、及测试卷

1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。

∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111

又n q q q ,,,21 是任意n 个整数

m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴

即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数

2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n

1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n

从而可知

12)(1(/6++n n n

3 证： b a , 不全为0

∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而

有形如by ax +的最小整数00by ax +

Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+

则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r

ax by ax +

+∴/00 下证8P 第二题

by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+

4 证：作序列 ,2

3,

,2

,

0,2

,,2

3,b b b b b b -

--

则a 必在此序列的某两项之间

即存在一个整数q ，使

b q a b q 212

+<

≤成立

(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2

,2

-

=-==

，则有

2

22

2

0b t b q b q a b q a t bs a <

∴<

-=-==-≤

若0

,2

+=-=-

=，则同样有2

b t <

)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2

1,2

1+-

=-=+=

，则有

2

02

12

12

b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-

=+-=-=≤-

若 0

1,2

1++=-=+-

=

则同样有 2

b t ≤

综上 存在性得证 下证唯一性

当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11

而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤

1112

,2

矛盾 故11,t t s s ==

当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时

2b 为整数 2

,2),2(22

12311b t b t b b b b b ≤=-

+⋅=+

⋅=⋅

2

,2

,222211b t b t t bs t bs a ≤

-=+=+=

5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数

（1） 令S=n

14131211+

++++

，取M=p k 7532

1

⋅⋅⋅-这里k 是使n k

≤2最

大整数，p 是不大于n 的最大奇数。则在1，2，3，┄，n 中必存在一个k

n 20=，

所以 MS=n

M n M M M M +

++

+++

032

由M=p k 7532

1

⋅⋅⋅-知2

M ，

n

M M ,

,3

必为整数，

2

7530

p

n M ⋅⋅=

显

然不是整数，

∴MS 不是整数，从而S 不是整数

（2） 令M=)12(7531-⋅⋅-n k 则 SM=

1

21

25

3

++-+++n M n M M M ，

由M=)12(7531-⋅⋅-n k 知1

2,

,5

,

3

-n M

M M ，而

1

2)12(753

1

21

+-⋅⋅=

+-n n n M k 不为整数

∴SM 不为整数，从而1

215

13

1++++=

n S 也不是整数

1． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b

由带余

除

法

b

r r r r q r r r q r r r q r b r bq a n n n n n n n n n n <<<<≤==+=+=+=-++---1111112221110,,,,,

∴n r b a =),(。

∴d '|1bq a -1r =， d '|221r q r b =-，┄, d '|),(12b a r q r r n n n n =+=--,

即d '是),(b a 的因数。

反过来),(b a |a 且),(b a |b ，若),,(|b a d ''则b d a d |,|''''，所以),(b a 的因数都是b a ,的公因数，从而b a ,的公因数与),(b a 的因数相同。

2． 见本书P2，P3第3题证明。

3． 有§1习题4知：,,0,,Z t s b Z b a ∈∃≠∈∀使2

||,b t t bs a ≤

+=。，

1,t s ∃∴，使,,2

2

||||,2

111 b t t t t s b ≤≤

+=如此类推知：

;

,,12n n n n n n t s t t t s +=∃--

;

,,11111++-+++=∃n n n n n n t s t t t s 且

1

2

212

||2

||2

||2

||||+--≤

≤

≤≤

≤

n n

n n n b t t t t

而b 是一个有限数，,N n ∈∃∴使01=+n t

n n n n t t t t t t t t t b b a =======∴+)0,(),(),(),(),(),(1211 ，存在

其求法为 =---=-=))(,(),(),(1s bs a b bs a bs a b b a