高中数学竞赛基本知识讲解
数学竞赛知识点总结高中
数学竞赛知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。
1.2 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.3 函数的性质函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。
1.4 函数的图像函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。
二、不等式2.1 不等式的表示不等式通常表示为a>b、a≥b、a<b、a≤b等形式。
2.2 不等式的解法解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。
2.3 不等式的应用不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。
三、集合与映射3.1 集合的基本概念集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。
3.2 集合的运算包括交集、并集、差集等。
3.3 映射的概念映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。
三、多项式和方程4.1 多项式的定义多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。
4.2 多项式的运算多项式包括加减乘除等基本运算。
4.3 多项式的因式分解因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。
4.4 方程与不等式方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。
四、数列与数学归纳法5.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
5.2 数学归纳法的基本思想数学归纳法用于证明递推关系的性质。
五、排列与组合6.1 排列的基本概念排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。
6.2 组合的基本概念组合是从n个元素中取出m个元素进行组合的方式。
6.3 排列组合的性质排列组合问题通常包括排列数、组合数、二项式定理等内容。
六、数论7.1 整数的性质奇数、偶数、素数、合数等是数论中的基本概念。
7.2 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛知识点整理
高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。
2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。
b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。
3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。
b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。
4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。
b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。
二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边。
高中数学竞赛标准教材(共18讲)
定理 4 容斥原理；用 A 表示集合 A 的元素个数，则 A Υ B = A + B − A Ι B ,
A Υ B Υ C = A + B + C − A Ι B − A Ι C − B Ι C + A Ι B Ι C ，需要 xy 此结论可以
∑ 推广到 n 个集合的情况，即
定义 3 交集， A Ι B = {x x ∈ A且x ∈ B}.
定义 4 并集， A Υ B = {x x ∈ A或x ∈ B}.
定义 5 补集，若 A ⊆ I ,则C1 A = {x x ∈ I ,且x ∉ A}称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集， A \ B = {x x ∈ A,且x ∉ B} 。
（3） C1 A Υ C1 B = C1 ( A Ι B ); （4） C1 A Ι C1 B = C1 ( A Υ B).
【证明】这里仅证（1）、（ 3），其余由读者自己完成。
（1）若 x ∈ A Ι (B Υ C) ，则 x ∈ A ，且 x ∈ B 或 x ∈ C ，所以 x ∈(A Ι B) 或 x ∈ ( A Ι C) ，即 x ∈ ( A Ι B) Υ ( A Ι C) ；反之， x ∈ ( A Ι B) Υ ( A Ι C) ，则 x ∈ ( A Ι B ) 或 x ∈ ( A Ι C) ，即 x ∈ A 且 x ∈ B 或 x ∈ C ，即 x ∈ A 且 x ∈ ( B Υ C) ，即 x ∈ A Ι (B Υ C).
然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 ∅ 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。
为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。
本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。
一、函数与方程1. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容。
解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。
在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。
2. 指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。
学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。
二、平面几何1. 相似三角形相似三角形是平面几何中的重要概念。
学生们需要知道相似三角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用相似三角形的性质解决相关问题。
2. 圆的性质圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。
在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。
三、立体几何1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并能够应用这些知识解题。
2. 空间向量空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基本性质。
在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的结合。
四、概率与统计1. 排列与组合排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。
2. 概率的计算概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。
总结：高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。
本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点一、集合与函数1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等。
3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等。
4. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。
5. 函数的性质：单射、满射、一一对应、复合函数等。
二、数列与数列极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数。
2. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。
3. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。
4. 通项公式：数列中的第n项与n的关系式。
5. 数列极限：数列随着项数无限增加，趋向于一个确定的值。
6. 数列极限的性质：唯一性、保序性、四则运算性质等。
三、函数的性质与图像1. 函数的奇偶性：奇函数和偶函数的定义与性质。
2. 函数的周期性：周期函数的定义与性质。
3. 函数的单调性：增函数和减函数的定义与判定方法。
4. 函数的极值：局部极大值和局部极小值的概念与求解方法。
5. 函数的图像：函数的图像与坐标轴的交点、拐点、对称轴等。
四、数学归纳法1. 数学归纳法的原理：从已知条件推导出未知结论的一种方法。
2. 数学归纳法的基本步骤：证明基本情况、假设成立、推导出下一步结论。
3. 数学归纳法的应用：证明数列、不等式、恒等式等的成立性。
五、平面几何1. 平面几何的基本概念：点、线、面、角等的定义与性质。
2. 直线和平面的关系：相交、平行、垂直等的判定方法。
3. 三角形的性质：内角和、外角和、中位线、高线等的性质。
4. 相似三角形：相似三角形的判定条件、比例关系及其应用。
5. 圆的性质：圆心角、弧长、弦长、切线等的性质。
6. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质。
六、概率与统计1. 随机事件：随机事件的概念、必然事件、不可能事件及其运算。
2. 概率的计算：频率概率、几何概率、古典概型等的计算方法。
3. 条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高二数学竞赛考的知识点
高二数学竞赛考的知识点高二数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考核，并且考察的知识点涵盖了高一和高二的数学课程内容。
在这篇文章中，我们将详细介绍高二数学竞赛考试中涉及的各个知识点。
1.函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是竞赛中经常考察的内容。
其中包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。
考生需要理解各种函数的性质、图像特点，以及函数之间的关系。
此外，求解各种方程及不等式也是必备的技能。
2.数列与数列极限数列是一种特殊的函数，是将自然数映射到实数的一种方式。
高二数学竞赛中经常涉及到数列的性质、递推公式、通项公式等。
同时，数列极限也是重点考察的内容，包括数列的极限存在性、极限计算、极限的性质等。
3.概率与统计概率与统计是数学中的应用部分，也是高二数学竞赛中的重要内容。
其中包括事件的概率、条件概率、随机变量与概率分布以及统计图表的分析等。
考生需要掌握概率计算的方法和技巧，同时能够灵活运用统计学的基本理论进行问题求解。
4.立体几何立体几何是高中数学中的一大难点，也是高二数学竞赛中的考点之一。
重点包括立体图形的投影、表面积和体积的计算。
此外，还需要理解立体几何中的一些定理和推理思路，并能够应用到复杂的立体几何问题中。
5.平面向量平面向量是高二数学竞赛中的重要知识点，也是数学与物理结合的桥梁。
平面向量包括向量的性质、向量的加法与减法、数量积和向量积等。
考生需要掌握向量的运算方法和性质，并能够运用向量进行几何证明和问题求解。
6.三角函数与三角恒等式三角函数与三角恒等式是高二数学中的重要内容，也是竞赛考点之一。
考生需要熟练掌握三角函数的基本定义、性质和图像，以及能够灵活运用三角函数的恒等式解决各种三角函数的计算和证明题。
7.数学证明数学证明是高中数学中的重要部分，也是高二数学竞赛中的要求之一。
考生需要具备一定的证明思维能力，能够独立完成数学证明题。
在证明过程中，要注重逻辑严谨、推理准确，并能够灵活运用所学知识和定理。
高中数学竞赛数论
高中数学竞赛数论数论作为数学的一个重要分支，研究自然数的性质及其相关的运算规律，是高中数学竞赛中的一道重要题型。
本文将从数论的基本概念、常见题型以及解题技巧三个方面来介绍高中数学竞赛中的数论问题。
一、基本概念1.1 整数与自然数整数是由自然数和其相反数构成的数集，用Z表示。
自然数是人们日常生活中使用的正整数，用N表示。
1.2 质数与合数质数是只能被1和自身整除的自然数，合数是除了1和自身之外还有其他因数的自然数。
1.3 最大公约数与最小公倍数对于两个自然数a和b，最大的能够同时整除它们的自然数称为它们的最大公约数，用gcd(a, b)表示；最小的能够同时被它们整除的自然数称为它们的最小公倍数，用lcm(a, b)表示。
1.4 同余定理如果两个整数a和b，它们除以某个正整数n得到的余数相同，即a 和b对n取余相等，可以表示为a≡b(mod n)。
二、常见题型2.1 求因数、质因数分解求一个数的因数，可以通过试除法来找到它的所有因数。
质因数分解是将一个数分解为质数的乘积，通过不断地除以最小的质因数来完成。
2.2 同余关系通过同余关系的性质，可以解决一些数的性质问题。
例如，通过同余定理可以求解方程、证明数的整除关系等。
2.3 数列问题数论中的数列问题是指根据给定的数列规律，求解数列的性质或是推导数列的通项公式。
三、解题技巧3.1 取模运算大多数数论问题都可以通过取模运算来简化问题的复杂度。
当计算一个数的幂时，可以通过取模运算降低计算量。
3.2 数论恒等式熟练掌握一些常见的数论恒等式对于解题非常有帮助。
例如费马小定理、欧拉定理等，适时运用可以大大简化问题的解答过程。
3.3 奇偶性讨论对于一些数论问题，可以通过分别讨论奇数和偶数的情况来解决，从而得到问题的解。
3.4 数论规律数论中存在一些常见的规律，比如质数取值范围、奇偶性的性质等。
通过深入研究这些规律，可以更好地理解数论问题，并找到有效的解题方法。
结语高中数学竞赛数论作为数学竞赛中的一个重要部分，涉及的内容较为广泛。
高一数学竞赛知识点汇总
高一数学竞赛知识点汇总随着数学竞赛的兴起和普及，越来越多的高中生开始加入到数学竞赛中来。
对于高一学生来说，掌握一些常见的数学竞赛知识点是非常重要的。
本文将从数列、概率、三角函数和平面几何四个方面进行讲解和汇总。
数列部分在数学竞赛中，数列是一个非常常见的考点。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。
在计算等差数列的和时，可以利用求和公式进行计算。
等比数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之比都相等。
同样地，在计算等比数列的和时，可以利用求和公式进行计算。
斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的每个数等于前两个数之和。
斐波那契数列的数学特性被广泛应用于自然界和各个领域。
概率部分概率是数学竞赛中的一个重要知识点，也是数学中的一个重要分支。
概率可以用来描述随机事件发生的可能性。
在计算概率时，可以使用频率概率和几何概率两种方法。
频率概率是通过实验统计的结果来计算的，而几何概率则是通过几何上的分析来计算的。
在概率计算中，常见的技巧有加法原理和乘法原理。
加法原理用于计算多个事件中至少发生一个事件的概率，而乘法原理则用于计算多个事件同时发生的概率。
三角函数部分三角函数是数学竞赛中的一个重要知识点，也是解决三角形相关问题的基础。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数问题时，可利用三角函数的周期性、奇偶性和对称性进行简化。
此外，还可以利用三角函数的图像性质进行问题的解答。
平面几何部分平面几何是数学竞赛中的另一个重要知识点，涵盖了线段、角、三角形、四边形、圆等内容。
在解决平面几何问题时，可以利用几何图形的对称性、相似性和尺规作图等方法进行推导和解答。
此外，还有一些常见的几何定理和公式需要掌握，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。
总结数学竞赛知识点的汇总是为了帮助高一学生更好地准备数学竞赛。
数列、概率、三角函数和平面几何是数学竞赛中的常见考点，掌握了这些知识点，就能更好地应对数学竞赛的挑战。
高一数学竞赛知识点大全
高一数学竞赛知识点大全数学是一门重要的学科，对于学生来说，提前熟悉并掌握数学竞赛的知识点是非常重要的。
本文将为大家总结高一数学竞赛的知识点，帮助大家更好地备战竞赛。
一、代数与函数1. 初步的代数运算：四则运算、分配律、合并同类项等基础运算法则。
2. 整式与分式的乘除：整式与分式的乘法展开、整式与分式的除法。
3. 因式分解：公因式提取法、差平方、完全平方等因式分解方法。
4. 分式运算：分式的加减、化简、乘除等常用运算规则。
5. 线性方程与不等式：一元一次方程与不等式的解法、二元一次方程组的解法和应用。
6. 二次方程与不等式：求根公式、韦达定理、二次不等式的解法和应用。
7. 指数与对数：指数的运算法则、对数的运算法则、指数方程与对数方程的解法。
8. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的性质、函数的图像与性质。
9. 函数的运算：函数的加减、乘、除等运算法则。
10. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质。
11. 幂函数与指数函数：幂函数与指数函数的图像与性质、幂指对函数的运算法则。
二、几何与立体几何1. 二维图形的性质：重心、垂直、平行、三角不等式等性质。
2. 三角形的性质：角平分线定理、中线定理、垂心与垂足等性质。
3. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质。
4. 圆的性质：圆心角定理、弧长、扇形等性质。
5. 直线与圆的位置关系：点到直线、直线到圆的距离、切线等。
6. 空间几何图形的性质：球的表面积和体积、立体几何图形的面积与体积。
三、概率与统计1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、事件概率等。
2. 概率的计算：频率、古典概型、几何概型等概率计算方法。
3. 统计的基本概念：总体、样本、频数等统计学基本概念。
4. 统计图表的制作与分析：条形图、折线图、饼图等常见统计图的制作与分析方法。
四、数列与数表1. 数列的定义与性质：数列的概念、等差数列、等比数列等性质。
2. 数列的运算与运算规律：数列的加减、乘除等运算法则。
最新高中数学竞赛全套精品讲义
竞赛讲座01－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A 是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。
高中数学竞赛大纲的内容和知识点
高中数学竞赛大纲应该掌握的内容和知识点1.集合（set）1.1集合的阶，集合之间的关系。
1.2集合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理2.函数（function）2.1函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1单调性2.2.2奇偶性2.2.3周期性2.2.4凹凸性2.2.5连续性2.2.6可导性2.2.7有界性2.2.8收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3.三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4.向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5.数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法5.1.4数学归纳法，递归法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analytic geometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solid geometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望10.极限，导数（limits, derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complex numbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（plane geometry）12.1几个重要的平面几何定理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6几何变换12.6.1平移变换12.6.2旋转变换12.6.3位似变换12.6.4对称变换（反射变换）12.6.5反演变换12.6.6配极变换12.7几何不等式12.8平面几何常用方法12.8.1纯几何方法12.8.2三角法12.8.3解析法12.8.4复数法12.8.5向量法12.8.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematical induction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理7.初等数论（elementary number theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）（了解即可，不作要求）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数17.6其他1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
高中数学竞赛基本知识
高中数学竞赛基本知识一、三角函数 常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。
先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。
这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值：76cos74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。
数学高三竞赛知识点
数学高三竞赛知识点高三数学竞赛是学生们在高三阶段参与的一项重要活动，是考察学生数学能力和应对复杂问题的机会。
在准备竞赛的过程中，掌握一些重要的数学知识点是至关重要的。
本文将为您总结和归纳一些高三数学竞赛常见的知识点。
一、函数与方程1. 函数的性质与变化：了解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，掌握用图像和表达式表示函数的方法。
2. 一次、二次函数：熟悉一次函数和二次函数的性质、图像、方程及应用，能灵活运用一次、二次函数解决实际问题。
3. 指数与对数函数：理解指数和对数函数的定义及性质，能够解决指数、对数方程和不等式。
4. 三角函数：熟悉常见的三角函数及其图像、性质，能够灵活运用三角函数解决实际问题。
5. 复数与多项式：掌握复数的定义及运算法则，了解多项式的性质和相关定理，能够求解多项式方程及应用。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质：了解数列的定义、通项公式、前n项和及数列的递推关系，掌握数列的性质和常见数列的求和公式。
2. 等差数列与等比数列：熟悉等差数列和等比数列的性质、通项公式、前n项和以及等差数列与等比数列之间的相互转化，能够解决与数列相关的问题。
3. 递归数列与数学归纳法：了解递归数列的定义和特点，掌握数学归纳法的基本思想和应用，能够利用数学归纳法证明和解决问题。
三、几何1. 平面几何：熟悉平面几何的基本概念、性质和定理，包括平面图形的面积、周长计算，平面几何的变换等。
2. 空间几何：了解线、面、体的性质和关系，能够应用空间几何解决实际问题，如体积的计算、射影的性质等。
3. 三角形和圆的性质：掌握三角形的基本性质与判定条件，了解圆的性质和相关定理，能够灵活运用三角形和圆的性质解决相关问题。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：了解概率的定义、计算方法和性质，掌握事件的概率计算和复合事件的概率计算。
2. 统计与统计图表：熟悉统计的基本方法和常用统计图表的绘制，能够进行样本调查和数据分析，包括频率分布、样本均值、标准差等。
(完整版)高中数学竞赛知识点
数学均值不等式被称为均值不等式。
·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即。
特例⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负实数a,b，有，即⑶对非负实数a,b，有⑷对实数a,b，有⑸对非负实数a,b，有⑹对实数a,b，有⑺对实数a,b,c，有⑻对非负数a,b，有⑼对非负数a,b,c，有在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式基本形式：排序不等式的证明要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论正确棣莫弗定理设两个复数（用三角形式表示），则：复数乘方公式：.圆排列定义从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。
计算公式n个不同元素的m-圆排列个数N为：特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
费马小定理费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)韦达定理逆定理如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程的根。
高中数学竞赛标准讲义
高中数学竞赛标准讲义高中数学竞赛是对学生数学知识和解题能力的一次全面考验，也是培养学生逻辑思维和数学兴趣的重要途径。
在参加数学竞赛的过程中，学生需要掌握一定的数学知识和解题技巧，才能取得好成绩。
本讲义将从高中数学竞赛的题型、考点和解题技巧等方面进行详细介绍，希望能够帮助广大学生更好地备战数学竞赛。
一、高中数学竞赛题型。
高中数学竞赛的题型主要包括选择题、填空题、解答题和证明题。
选择题是考查学生对基本概念和定理的理解和掌握程度，填空题则更加注重学生对知识的灵活运用能力，解答题和证明题则需要学生具备较强的逻辑思维和解题技巧。
在备战数学竞赛的过程中，学生需要根据不同题型的特点有针对性地进行练习和训练，做到对各种题型都能够熟练应对。
二、高中数学竞赛考点。
高中数学竞赛的考点主要包括数列、函数、方程不等式、三角函数、数学归纳法、排列组合、数论等内容。
这些考点是数学竞赛中经常出现的题型，也是学生备战竞赛时需要重点关注和加强练习的内容。
在备战数学竞赛的过程中，学生需要对这些考点进行系统性的学习和掌握，做到能够熟练运用于解题中。
三、高中数学竞赛解题技巧。
在解高中数学竞赛的题目时，学生需要具备一定的解题技巧。
首先，要注意审题，理清题意，明确问题所求；其次，要善于归纳总结，发现问题的规律，找到解题的突破口；再次，要注重细节，避免粗心导致的错误；最后，要善于思考，灵活运用所学知识，多角度思考问题，找到解题的最佳方法。
通过不断的练习和总结，学生可以逐渐提高解题的能力和技巧，取得更好的成绩。
四、高中数学竞赛备考建议。
在备战高中数学竞赛时，学生需要有计划地进行复习和练习。
首先，要对各个考点进行系统性的复习，巩固基础知识；其次，要针对不同题型进行有针对性的练习，提高解题能力；再次，要多参加模拟考试，检验备考效果，发现问题并及时调整学习计划；最后，要保持良好的心态，相信自己的能力，不断提升自己的数学水平。
通过科学合理的备考方法，相信每位学生都能够在数学竞赛中取得优异的成绩。
高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛知识点高中数学竞赛是一项具有挑战性的活动，它涵盖了众多深入且复杂的知识点。
以下为您详细介绍一些常见且重要的高中数学竞赛知识点。
函数是数学中的重要概念，在竞赛中更是如此。
函数的单调性、奇偶性、周期性等性质需要深入理解。
比如，单调性的判断方法，不仅要会用定义法，还要熟练掌握导数法。
对于奇偶性，要能准确判断函数的奇偶类型，并利用奇偶性的性质来简化计算和解题。
周期性的函数，其周期的求解以及相关性质的运用，常常是竞赛中的难点。
不等式是另一个关键的知识点。
均值不等式、柯西不等式、排序不等式等都是竞赛中常用的工具。
均值不等式在求最值问题中应用广泛，但使用时要注意等号成立的条件。
柯西不等式的形式多样，需要灵活变形和巧妙运用。
排序不等式则需要对给定的数列进行合理排序，以达到证明或求解的目的。
数列也是竞赛的重点之一。
等差数列和等比数列的通项公式、求和公式要熟练掌握。
此外，还要学会处理递推数列，通过递推关系求出数列的通项公式。
对于一些特殊的数列，如周期数列、斐波那契数列等，其性质和特点也要有所了解。
三角函数在竞赛中的要求较高。
不仅要熟悉常见的三角函数公式，如二倍角公式、和差化积公式等，还要能灵活运用它们进行化简、求值和证明。
三角函数的图像和性质，包括周期性、对称性、单调性等，也是解题的关键。
平面几何是竞赛中的经典内容。
相似三角形、全等三角形的判定和性质需要牢记。
圆的相关知识，如圆的切线定理、弦切角定理等，都是解题的常用工具。
此外，三角形的五心（内心、外心、重心、垂心、旁心）的性质以及它们之间的关系，也经常在竞赛题中出现。
解析几何方面，直线和圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质是基础。
还要掌握一些常见的解题技巧，如参数方程、极坐标方程的应用，以及利用几何性质简化计算。
立体几何中，空间向量的引入为解题提供了新的方法。
要熟练掌握利用空间向量求线线角、线面角、面面角的方法，以及求点到平面的距离等。
同时，对于多面体和旋转体的体积、表面积的计算，以及空间位置关系的判断，也需要有清晰的思路。
2023高中数学竞赛知识点梳理
2023高中数学竞赛知识点梳理
一. 整数与有理数
1. 整数的概念
2. 整数的运算法则
3. 整数的绝对值与相反数
4. 有理数的概念
5. 有理数的四则运算
6. 有理数的比较大小
二. 直线与平面几何
1. 直线的性质与分类
2. 直线的方程
3. 平面的性质与分类
4. 平面的方程
5. 直线与平面的位置关系
三. 函数与方程
1. 函数的定义与性质
2. 一元一次方程与一元一次不等式
3. 一元二次方程与一元二次不等式
4. 指数与对数函数
5. 三角函数
四. 图形的性质与变化
1. 几何图形的性质与分类
2. 三角形的性质与分类
3. 四边形的性质与分类
4. 圆的性质
5. 图形的相似与全等变换
五. 概率与统计
1. 随机事件与概率的基本概念
2. 事件的运算与概率的计算
3. 统计的基本概念与方法
4. 数据的整理与分析
5. 抽样与推断
六. 三角函数与解三角形
1. 三角函数的定义与性质
2. 三角函数的图像与单调性
3. 三角方程与三角恒等式
4. 解三角形的基本方法与应用
七. 进阶数学知识
1. 数列与数列的通项公式
2. 极限与连续性
3. 导数与微分
4. 积分与定积分
5. 向量与解析几何
以上是2023高中数学竞赛的基本知识点梳理，希望能帮助你更好地准备竞赛。
祝你取得优异成绩！。
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(5)联系三角函数
三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子
看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，
若x1≠x2则有
其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，
(3)特征根法
特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。
①
特征方程为x2，令其两根为x1，x2
则其通项公式为 ，A、B用待定系数法求得。
例：假设 ，且 ，求证：
计数问题
1抽屉原则
我第一次接触抽屉原则，是在一本奥赛书的答案上，有一步骤是：由抽屉原则可得……，于是我就问同学，什么是抽屉原则，同学告诉我，三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。后来才发现，抽屉原则不只是这么简单的，它有着广泛的应用以及许多种不同的变形，下面简单介绍一下抽屉原则。
举个例子
求值：
提示：乘以 ，化简后再除下去。
求值：
来个复杂的
设n为正整数，求证
另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲
四、三角不等式证明
最常用的公式一般就是：x为锐角，则 ；还有就是正余弦的有界性。
例
求证：x为锐角，<2x
设 ，且 ，求乘积 的最大值和最小值。
注：这个题目比较难
数列
抽屉原则的常见形式
一，把（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。
二，把（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有1个物体。
三，把m12+…（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了1个物体
注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。
例
数列 定义如下： ， ，求 通项
注：这个不太好看出来，先了解迭代的含义
f右上角的数字叫做迭代指数，其中 是表示 的反函数
再来了解复合的表示
，
如果设 ，则 ，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。
高中数学竞赛基本知识集锦
广州市育才中学数学科邓军民整理
一、三角函数
常用公式
由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：
半角公式
积化和差
和差化积
万能公式
三倍角公式
二、某些特殊角的三角函数值
除了课本中的以外，还有一些
三、三角函数求值
给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去
而在数列中我们可以将递推式看成 ，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。
我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了。从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。
练习
，试求数列的通项公式。
注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。
下面是我的一个原创题目
②
特征方程为x32，令其三根为x1，x2，x3
则其通项公式为 ，A、B、C用待定系数法求得。
注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。
(4)数学归纳法
四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当时（表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了 个物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了[ ]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）
五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。
注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。
典型例子：
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了
令 ，即 ，
令此方程的两个根为x1，x2，
若x12
则有
其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
已知数列 满足 ， ，求该数列的通项公式。
2数列求和
求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。
阿贝尔（）恒等式
有多种形式，最一般的是
其中
注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。恒等式就是给出了一个新的求和方法。很多时候能简化不少。
显然是以 为首项，p为公比的等比数列
② ，其中f(n)不是常数
若1，则显然1+ ，n≥2
若p≠1，则两边同时除以1，变形为
利用叠加法易得 ，从而
注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。
(2)不动点法
当f(x)时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。
1给递推式求通项公式
(1)常见形式即一般求解方法
注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。
①
若1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，
若p≠1，则两边同时加上 ，变为