大物上海交大课后答案第二章

习题2

2-1质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为f x =6N , f y = 7N , 当 t =0 时，x = y = 0 , v x - -2m/s , v y =0。当 i = 2s 时，求： （1）质点的位矢; ⑵质点的速度。 2

3 5

(1

)V x "0 0 a x dt —2 8 2 一匸 m/s ，

于是质点在2s 时的速度：V=…5 i - 7 j m / s 4 8 1 ” 1 ” 1 3

i 1

7 I

(2) F=(v 0t

a x t 2)i a y t 2J (-2 2 4)i

(

) 4j

2

2 2 8 2 16

13 7 i j m 4 8

2 ■

2-2质量为2kg 的质点在xy 平面上运动，受到外力 F =4i -24t J 的作用，t=0时，它的

、、、、彳 T T

_

T

初速度为V 0 =3i 4J ，求t=1s 时质点的速度及受到的法向力 F n 。

解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

j.

J

由：F = m d —，有：4 i - 24『J = 2 ■—，两边积分有：

dt dt

：dV = ：2（4,—24t 2J ）dt ,••• V=V ° 2tf-4t 3J ,

考虑到 V 0 3^ 4 J , t = 1s ，有 V , 5,

由于在自然坐标系中，V 二V&，而Vj 5, （t = 1s 时）,表明在t 二1s 时，切向速度方向 就是7方向，所以，此时法向的力是 J 方向的，则利用F =4,-24t 2J ，将t =1s 代入有 F 4卜-24 J =4& -24氏，••• F n »24N 。

2-3.如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上•滑轮与绳的质量以及空气阻力均不 计，滑轮与其

轴之间的摩擦也不计•系统无初速地释放，则物体 A 下落的加速度是多少? 解：分别对A , B 进行受力分析，可知:

m A g -T 二 m A a A

2T =m B a B

丿1

' a^-a A

2

''则可计算得到：a^-g 。

5y

解：由a x

上，有：a x 6 =3m/s 2，a y

m

x

16 8

y

16

m / s 2 V y =V y0

2

a y dt 」2「7m/s 。 0 y

16 8

2-4.如图，用质量为

m i 的板车运载一质量为 m 2的 板

与箱底间的摩擦系数为

,车与路面间的滚动摩 计，计算拉车的力 F 为多少才能保证木箱不致滑 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使 木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最 木箱，车 擦可不 动？ 板车与 大摩擦。

即

: F f

a —

m i +m 2

m 2

f max

< ---- mt

可得：F c +m2）

g 解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为 F max ，列式有: F max —「m 2g .L m 2g m 2a 联立得：F max =叫

0 m 2）g ，

有：F ：：」（0 m 2）g 。 2-5 .如图所示一倾角为 二

的斜面放在水平面上， 上放一木块，两者间摩擦系数为 .L （：：：tg v ）。为 块相对斜面静止，求斜面加速度 a 的范围。 解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，

斜面 使木

由题意，可得: 木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围, （1 ）当木块具有向下滑动的趋势时（见图 a ）,列式为: N sin v N COS T - mg Nsi 仃 -N COS - mia tan 0 _ P 可计算得到：此时的印=列

g 1

1 + Ata n 日 （2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ）,

'4 N sin 日 +mg = N cos 日

■I

N sin 日十cos 日=m^ tan 日+卩

可计算得到：此时的 a 2 g ,所

1 —»ta n 日 （町右下滑竝毎 t a - n 卩壬毛 +1日a n 1 L t a _ n ◎

1 g

t a n 解法二：考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中, 将物体m 受力沿x'和y'方向分解，如图示，同时 考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式： x'方向：mg si nJ-macos

）

_f =0 y'方向： N —mg COST - masin v - 0

N

ma

y

考虑至 U f =」N ，有： mg si n )- macos ：

_ 1 (mg cos

： mas in 旳=0 ,

解得:

sin 日 土 ^COS B _ tan 日土卩 COS T g =1」tan r g ••• a 的取值范围:

tan 日 _ A < < tan^ + 卩 1 J tan 丁 g _a _1 -』tan 寸 g

2-6.质量为m 的子弹以速度V o 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度 成正比，比例系数为 k ,忽略子弹的重力，求： ⑴子弹射入沙土后，速度随时间变化的函

数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：

f - -kv

又由牛顿第二定律可得：

‘ dv , dv

f = m ，贝y —kv = m

dt dt 分离变量，可得：空

k 亠

0 dv

t k..

—

dt

，两边冋时积分，有：

[

-0

dt

,

v 2t

所以：v =v 0e m

m

v0

v 0

m

（2）子弹进入沙土的最大深度也就是 v = 0的时候子弹的位移，则:

dv dv dx dx ,

考虑到不二不不，"不，可推出: , m , dx

dv ，而这个式子两边积分就可以得到位 k

移:

X max

F m 」 m =

-vo m d ^k v o

2-7.质量为m 2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动， 劈形物质量为 m i ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为 求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。 解：利用隔离体方法，设方形物

m?相对于劈形物

m i

沿斜面下滑的加速度为 a 2‘，劈形物 m 水平向左的加 速度为a i ，分析受力有：

方形物m,受力：叫g , N 1, m 2a i （惯性力）； 劈形物

m 受力：mg , N 1 , N 2，如图； 对于m 2，有沿斜面平

行和垂直的方程为：

.m 2a 1 co^ m ^gsin 二-m 2a 2' ① N 1 m 2ai sin v -m 2gcosr

②

对于m ，有：

Npi n = m ai

③

将③代入有②：

a 1 m 2a 1 sin v - m 2g cos^ ,

sin 日

m 2 sin r cos^ 叶 m 2 sin 2寸

g ，代入①，有:

a 2

(m 1 m 2)sin -

再将a 2'在水平和竖直两方向上分解，有:

,(g +m 2)sin 日 cos 日 (蠢’= ~

g

g +m 2 sin 廿

,(g+m 2)si n 2日 '■ a 2y '

右-g = a 2y

g +m 2 sin °

--a 2x = a ~

a 2x

m 1 sin r cos- m^^g