希尔伯特旅馆

希尔伯特旅馆

摘要：希尔伯特旅馆悖论是一个与无限集合有关的数学悖论，由德国数学家大卫·希尔伯特提出。进一步认识社会经济中的金锁链、传销和金融行业中存在的“无限房间旅馆的问题”，以及希尔伯特旅馆中得到的启发。

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1.康托尔集合论

由康托首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群伦和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19世纪和20世纪之交发现的布拉利·福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使得人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用优先不走构造出来的都是可以的，不应作为数学的对象，他反对无理数和函数的理论，同样严厉批评和攻击康托尔的无穷集合和超极限数理论不是数学而是神秘主义。

康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨在他的综合报告中，明确阐述了康托尔集合论对函数论的进展所起到的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上。法国数学家阿玛达，也报告康托尔对他的工作的重要的作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔集合论“是数学天才最优秀作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内可的后继者布劳威尔等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

2.奇怪而美妙的“希尔伯特旅馆”

希尔伯特在谈到“无限大数”的奇怪而美妙的性质时说到：

我们设想有一家旅馆，内设有有限个房间，而所有的房间都已客满。这是来了一位新客，想定个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。”现在在设想另一家旅馆，内设有无限个房间，所有的房间也都客满了。这是也有一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间，这样继续下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号房间。我们在设想

一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都注满了客人。这时又来了无穷多位要求订房间的客人。“好的，先生们，请在等一会。”旅馆主人说。于是他把1号房间的客人移到2号房间，2号房间的客人移到4号房间，3号房间的客人移到6号房间，如此等等，这样继续下去，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多为客人可以住进去，问题就解决了！

此时又来了无穷多个旅行团，每个旅行团有无穷多个旅客，之间老板不慌不忙，让原来的旅客1号房间客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到4号房间，……K号房间客人搬到2K号，这样，1号，3号，5号，……所有的奇数房间就都空出来了。然后这样安排：

让1号旅行团到3号，32号，34号，…，3K号。

让2号旅行团到5号，52号，53号，…，5K号。

让3号旅行团到7号，72号，73号，…，7K号。

让4号旅行团到11号，112号，113号…，11K号。

将所有奇素数排成一列，也是一个可列无穷集合，然后让

1号旅行团到第1个素数的K次幂房间；

2号旅行团到第2个素数的K次幂房间；

3号旅行团到第3个素数的K次幂房间；

这样不仅安排下了所有的旅客，而且空出了1,15,21,33,35，……这些不能表示为奇素数的K次幂的房间。

3.对希尔伯特旅馆的分析

这一问题虽然被称作“悖论”，但事实上它并不矛盾，而仅仅是与我们直觉相悖而已。在有无限个房间时，“每个房间都客满”与“无法入住新的客人”两者其实并不等价。无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其奇数号房间的数量显然是小于其房间总数的。然而，在希尔伯特所家乡的这一旅馆中，奇数号房间数与总房间数是相同的。在数学上可以表述为包含所有房间的集合的势与包含所有奇数号房间的子集的势是相同的。事实上，无限集合都有这样的特点，所有无限集合都与它的某些子集的势相同。这样的无限集我们称为可数集，对于可数集，其势记为阿列夫零。另外，我们还可以说，对于任意可数无限集，都存在由这一集合至自然数集的双射，即便这一集合（如有理数集）本身就包含了自然数集。

我们继续设想，有一个旅馆拥有无穷不可数个房间，且每个房间都住满了人，现在来了一个无穷不可数的旅行团，此时应如何安排新客人入住？对于无穷不可数的情形我们将无法解决。可见希尔伯特旅馆只对可数无限集成立。

4.宇宙哲学争论

由于希尔伯特这一悖论违反了我们的直觉，因而经常被用于反对实无穷的存在，如美国哲学家威廉·莱恩克莱尔就曾这样证明上帝的存在：

“尽管数学上这种旅馆或无限的失去并非不可能的，但是从直觉上这样的事物永远不可能存在，不仅如此，任何无穷都不可能存在。如果一个时间序列能够无限得退到过去，那就会建立一个实无穷，既然是无穷不存在，那时间就必然有个‘起点’每个事物都有其发生的原因，而时间的原因不可能是其他事物，只能是上帝”。希尔伯特空间虽然在现实生活中不存在，但是在逻辑思维中确实是合理的。尽管如此，我们不能把它作为一种确定正确的公理去证明什么反对什么。这个世界上相互矛盾的理论学说比比皆是，也许有一天我们会发现一条超级公理能够将相互矛盾却都有其逻辑性的理论解释清楚，前提是我们必须要搞清楚这样