3.1二维随机向量的分布
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3.1随机向量的分布
若 i j 5，有 PX i， Y j 0
若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
【条件】概率论与数理统计习题详解
【关键字】条件一、第三章习题详解：3.1设二维随机向量的分布函数为:求.解：因为，，所以3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且，，故(X,Y)的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且，，故(X,Y)3.4设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 确定常数;(2) 求(3) 求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为由，得9a=1，故a=1/9.(2)(3)3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 求分布函数;(2) 求解：(1) 求分布函数; 当，其他情形，由于=0，显然有=0。
综合起来，有(2) 求3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率. 解：3.7.解：因为所以，X 的边缘分布为因为所以，Y3.8 设二维随机向量的概率密度函数为 求边缘概率密度. 解：因为，当时，；其他情形，显然所以，X 的边缘分布密度为 又因为，当时，其他情形，显然所以，Y 的边缘分布密度为 3.9 设二维随机向量的概率密度函数为 求边缘概率密度.解，积分区域显然为三角形区域，当时，，因此； 其他情形，显然所以，X 的边缘分布密度为 同理，当时，因此其他情形，显然所以，Y 的边缘分布密度为 3.10 设二维随机向量的概率密度函数为(1)确定常数c 的值. (2)求边缘概率密度(),()X Y f x f y . 解：(1)因为 dy c dx dxdy y x f xx⎰⎰⎰⎰=+∞∞-+∞∞-102),(所以 c = 6.(2) 因为，当10≤≤x 时，)(6),()(22x x dy c dy y x f x f xxX -===⎰⎰+∞∞-所以，X 的边缘分布密度为又因为，当10≤≤y 时，)(66),()(y y dx dx y x f y f yyY -===⎰⎰+∞∞-所以，Y 的边缘分布密度为3.11 求习题3.7 中的条件概率分布. 解：由T3.7知，X 、Y 的边缘分布分别是(1)当X =1时，Y 的条件分布为 即(2)当X =3时，Y 即(3)当Y =0时，X 即(4)当Y =2时，X 的条件分布为 即(5)当Y =5时，X 的条件分布为 即3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x (0 < x < 1) 时, Y 在区间(x ,1) 上 随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.解：因为 ⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X ， ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他111)|(|y x xx y f X Y所以(X ,Y )的联合密度为 于是 yy dx x dx y x f y f yY -=--=-==⎰⎰+∞∞-11ln )1ln(11),()(0)10(<<y 故Y 的密度函数为3.13 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为 求条件概率密度(),XY f x y (),YX f y x 以及11{}22P Y X <=. 解：因为，当10≤≤x 时，x x dy xy x dy y x f x f X 322)3(),()(2202+=+==⎰⎰+∞∞- 又当20≤≤y 时，631)3(),()(102y dx xy x dx y x f y f Y +=+==⎰⎰+∞∞- 所以，在Y =y 的条件下X 的条件概率密度为在X =x 的条件下Y 的条件概率密度为3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？ 解: 由T3.7{1}P X ==0.75, {2}0.43P Y ==,而{1,2}0.25P X Y ===,显然 {1}P X ={2}P Y ⨯=≠{1,2}0.25P X Y ===,从而X 与Y 不相互独立.3.15设二维随机向量(,)X Y 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.问,a b 取何值时, X 与Y 相互独立? 解：因为 311819161)1(=++==X P ，a Y P +==91)2( 要X 和Y 相互独立，则 )2()1()2,1(=====Y P X P Y X P 即)91(3191a +=，得929131=-=a 由 (1)(2)1P X P X =+==，得 12(2)1(1)133P X P X ==-==-= 即3231=++b a ，得913132=--=a b 3.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立？ 解：由习题3.8，二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为X 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0202/)(x x x f X ，Y 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他103)(2y y y f Y ，显然有(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.由习题3.9,维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他,X 的边缘分布密度为22.4(2)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他，Y 的边缘分布密度为 22.4(34)01()0Y y y y y f y ⎧-+≤≤=⎨⎩其他,显然有(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立. 3.17设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为21,0,0,(1)(,)0,x xex y y f x y -⎧<<⎪+=⎨⎪⎩其他,问X 与Y 是否相互独立? 解：因为 dy y xe dy y x f x f xX ⎰⎰+∞-+∞∞-+==2)1(1),()( 对于x >0,y >0，都有 )()(),(y f x f y x f Y X =,所以，X 与Y 是相互独立的. 3.18 设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为 讨论,X Y 的独立性.解：因为 )0(1),(lim )(≥-==-+∞→x ey x F x F xy X由于所以，X 与Y 是相互独立的。
经济数学——概率论与数理统计 3.1 二维随机变量及其分布
若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,… 则(X,Y)的分布函数为
其中和式是对一切满足xi≤x , yj≤y求和。
例 若(X,Y)的分布律如下表，求(X,Y)的分布函数。 Y 0 1 X 0 1/2 0 y 1 解 0 1/2
1
1 x
四、 二维连续型随机变量
1.定义：设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在一非负 函数f(x,y),使得对于任意的实分布
二维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 随机变量的独立性 第四节 二维随机变量函数的分布
第一节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的定义
1．定义： 随机试验E的样本空间Ω={e}，设X1(e), X2(e)为定 义Ω上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1,X2)叫做 二维随机变量或二维随机向量。 对于二维随机变量, 需要考虑 ①二维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； ②还要研究每个分量的概率分布或称边缘分布； ③并且还要考察各分量之间的联系，比如是否独立等。
利用极坐标计算可得
从而有 Aπ=1,即可得A=1/π。
(2)依题意需求概率
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在 G内任一小区域 B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
0≤F(x,y)≤1。
因为{X≤x1,Y≤y}{X≤x2,Y≤y}. (2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0；
对于任意固定的x, F(x,-∞)=0；
其中和式是对一切满足xi≤x , yj≤y求和。
例 若(X,Y)的分布律如下表，求(X,Y)的分布函数。 Y 0 1 X 0 1/2 0 y 1 解 0 1/2
1
1 x
四、 二维连续型随机变量
1.定义：设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在一非负 函数f(x,y),使得对于任意的实分布
二维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 随机变量的独立性 第四节 二维随机变量函数的分布
第一节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的定义
1．定义： 随机试验E的样本空间Ω={e}，设X1(e), X2(e)为定 义Ω上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1,X2)叫做 二维随机变量或二维随机向量。 对于二维随机变量, 需要考虑 ①二维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； ②还要研究每个分量的概率分布或称边缘分布； ③并且还要考察各分量之间的联系，比如是否独立等。
利用极坐标计算可得
从而有 Aπ=1,即可得A=1/π。
(2)依题意需求概率
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在 G内任一小区域 B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
0≤F(x,y)≤1。
因为{X≤x1,Y≤y}{X≤x2,Y≤y}. (2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0；
对于任意固定的x, F(x,-∞)=0；
二维随机向量的分布
2019/1/6 14
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
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例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
3.1 二维随机变量的定义、分布函数
2 X
当 2 x, 且 1 y 0 时 F ( x , y ) P{ X x , Y y }
P{ X 2, Y 1} 1 1 4 6
0
-1
Y X
-1
0
1 2
Y 1
F ( x , y ) P{ X x , Y y } P{ X 1, Y 1}
二维连续型随机变量的联合概率密度的 性质
（1）非负性 （2）正则性
f ( x, y) 0
F ( ,)
（3）可导性
f ( x , y )dxdy 1
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1 , SG 0, ( x , y ) G; ( x, y) G.
f ( x, y)
其中G是平面上的有界区域，其面积为SG 则称（X,Y)在D上服从均匀分布.
例题讲解
例1： 设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分 布，其中G是曲线 y=x2 和y=x 所围成的区域，则
定义3.1.4 (二元连续型随机变量)
若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y， 二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式
F ( x , y ) PX x , Y y
f (u, v )dudv
x
y
则称(X,Y)是二元连续型随机变量。
f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.
2 12 2 , 0.75时二元正态分布的 • 下图是当 钟形密度曲面图。
当 2 x, 且 1 y 0 时 F ( x , y ) P{ X x , Y y }
P{ X 2, Y 1} 1 1 4 6
0
-1
Y X
-1
0
1 2
Y 1
F ( x , y ) P{ X x , Y y } P{ X 1, Y 1}
二维连续型随机变量的联合概率密度的 性质
（1）非负性 （2）正则性
f ( x, y) 0
F ( ,)
（3）可导性
f ( x , y )dxdy 1
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1 , SG 0, ( x , y ) G; ( x, y) G.
f ( x, y)
其中G是平面上的有界区域，其面积为SG 则称（X,Y)在D上服从均匀分布.
例题讲解
例1： 设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分 布，其中G是曲线 y=x2 和y=x 所围成的区域，则
定义3.1.4 (二元连续型随机变量)
若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y， 二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式
F ( x , y ) PX x , Y y
f (u, v )dudv
x
y
则称(X,Y)是二元连续型随机变量。
f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.
2 12 2 , 0.75时二元正态分布的 • 下图是当 钟形密度曲面图。
3_1随机向量的联合分布
x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为
0
f ( x, y )dxdy 1
所以
1
0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
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例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,
1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
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二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
下页 结束
一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
第3章 随机向量3-1
2.已知随机变量X和Y的联合概率分布为
(x ,y) P{X=x,Y=y} (0,0) 0.10 (0,1) (1,0) 0.15 0.25 (1,1) (2,0) (2,1) 0.20 0.15 A
求：常数A；概率 P{X≤1,Y≤1}
20
课堂练习
3. 甲乙二人独立地各进行两次射击,假设甲乙的命中率 分别为0.2,0.5,以X、Y表示甲乙的命中次数,求X,Y的 联合概率分布. 解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为:
X 0 1 2
Y
P
0
0.25
1
0.5
2
0.25
P
0.64
0.32 0.04 Y 0
0.16 0.08 001
由X、Y的独立性得(X,Y)的联合概率分布为
X 0 1 2
1
0.32 0.16 0.02
2
0.16 0.08 0.01
21
连续型
⒈ 定义:设（X，Y）是二维随机向量，若存在 非负可积函数 f(x,y),使得对于平面上的任何 可求面积的区域 D 都有
求（X1，X2）的联合概率分布。
14
例2的解法
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), P{X1=0,X2=0}=P{|Y|≥1,|Y|≥2} =P{|Y|≥2} =1-P(|Y|<2) =2－2Φ(2)=0.0455 P{X1=0,X2=1}=P{|Y|≥1,|Y|<2} =P{1≤|Y|<2} =P{-2≤Y<-1}+P{1≤Y<2} =2P{1≤Y<2} =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719 P{X1=1,X2=0}=P{|Y|<1,|Y|≥2}=0 P{X1=1,X2=1}=P{|Y|<1,|Y|<2} =P{|Y|<1} =2Φ(1)-1 =0.6826
3.1二维随机变量及其分布
P（x1 X x2，y1 Y y2） F(x2,y2)
y2
-F(x2,y1)
y1
-F(x1,y2)
x1
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
分布函数F(x, y)具有如下性质：
（1）单调不减
★: 二维随机变量的定义
定义3.1.1 设E是一个随机试验,其样本空间 为 .设X、Y是定义在 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的有序数组(X，Y)称为 的一个二维
随机变量。
e
X(e)
RX
Y(e) RY
★: 二维随机变量的分布函数
定义3.1.2:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数
x、y, 二元函数 F (x, y) P {X x , Y y }
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(3) 右连续性 对任意xR, yR,
F (x,
y0
0)
lim
y y0
F (x,
y)
F (x,
y0 ).
F (x0
0,
y)
lim
x x0
F (x,
y)
F (x0 ,
y);
（4）矩形不等式
对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
f (x, y)dxdy 1
3) P{(x, y) G} f (x, y)dxdy
几何解释？
G
随机事件的概率=曲顶柱体的体积
二维随机变量及其分布函数
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,, 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
P{X 2,Y 0} 3 2 3 8 3 . 2 0 0 2 28
故所求分布律为
X Y
0
0 3 28
1 3 14
2 1 28
1 9 28 3 14
0
2 3 28
0 0
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从 中任取一个, 不放回袋中,再任取一个,设每次取球时, 各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和 第二次取到的球上标有的数字,求 ( X, Y ) 的分布 律与分布函数.
2. 分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随机变 量X 和 Y 的联合分布函数.
F ( x, y) 的函数值就是随机点落在如图所示区域
内的概率.
y (x, y) •
X x,Y y
O
x
3. 分布函数的性质 1o F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y,当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
xy
F( x, y)
f (u,v)d udv
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,, 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
P{X 2,Y 0} 3 2 3 8 3 . 2 0 0 2 28
故所求分布律为
X Y
0
0 3 28
1 3 14
2 1 28
1 9 28 3 14
0
2 3 28
0 0
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从 中任取一个, 不放回袋中,再任取一个,设每次取球时, 各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和 第二次取到的球上标有的数字,求 ( X, Y ) 的分布 律与分布函数.
2. 分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随机变 量X 和 Y 的联合分布函数.
F ( x, y) 的函数值就是随机点落在如图所示区域
内的概率.
y (x, y) •
X x,Y y
O
x
3. 分布函数的性质 1o F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y,当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
xy
F( x, y)
f (u,v)d udv
3.1二维随机变量及其分布
y
•(2,2)
1 1 1 0 1 0
(0,0)
•
•
(2,0)
x
故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.
二维联合分布函数（二维联合分布列、二维联合密度函数也一样） 含有丰富的信息，主要有以下三方面的信息：
每个分量的分布（每个分量的所有信息），即边际分布 两个分量之间的关联程度，在第4.3节用协方差和相关系数来描述 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布
定义 设随机试验的样本空间为 S , 而 X X ( ), Y Y ( ) 是定义在 S 上的两个随机变量， 称 ( X ,Y )为定义在 S 上的二维随机变量或二维随机向量. 注： 一般地， 称 n 个随机变量的整体
X ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为 n 维随机变量或随机向量.
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y} pij
xi x , y j y
4、边缘概率分布
pi P{ X xi } pij ,
j
P ({ X xi , Y y j })
P{ X xi ,Y y j }
实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W). 如何研究多维r.v.的统计规律性呢，仿一维 r.v.,我们先研究联合分布函数，然后研究 离散r.v.的联合分布列、连续型r.v.的联合密 度函数等。
3.1 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量
注：以上性质是分布函数的基
本性质，也是判断一个二元函 数作为随机向量的分布函数的 基本条件。
王松桂第三版概率论与数理统计 答案
解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)
且
P( X
2,Y
1) 0 ， P( X
2,Y
2)
C32
C
2 2
C54
3 5
0.6
P( X
3,Y
1)
C33C
1 2
C54
2 5
0.4 ， P( X
3,Y
2) 0
故(X,Y)的概率分布为
X\Y
1
2
2
0
0.6
0
x2
c
1(x
0
x 2 )dx
c( x2 2
x3 )1 30
c 6
1
所以 c = 6.
(2) 因为，当 0 x 1 时， f X (x)
f (x, y)dy
x x2
cdy
6( x
x2
)
所以，X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
6(
x
0
x
2
)
0 x 1 其他
又因为，当 0 y 1时， fY ( y)
所以 P(1 X 2,3 Y 5) F (2,5) F (1,5) F (2,3) F (1,3)
27
26
25 24
3 27
3 128
3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.
(
y)
2.4
y(3
4 0
y
y2
)
0 y 1 其他
3.10 设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为
§3.1 二维随机变量及其分布§3.2 边 缘 分 布
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第12页
例2 设连续型随机变量(X, Y)的概率密度函数为
ke ( x y ) , x 0, y 0 f ( x, y) 其它 0, 求(1) 常数k; (2) (X,Y)的分布函数F(x,y); (3) P{X>1,Y<1}
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第1页
多 维 分 布
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第2页
第3章
多维随机变量及其分布
引例: 1.炮弹落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述； 2. 遗传学家在研究儿子的身高X与父亲身高Y、母 亲身高Z之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量 X、Y和 Z 。 特点: 试验结果需要用两个或两个以上的随机变量 才能描述 。 定义 设E：Ω={ω} ，X1，X2，…，Xn是定义在Ω上 的n个随机变量，称随机变量组（X1，X2，…，Xn）为 定义在Ω上的n维随机变量或n维随机向量。
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第5页
3 . 二维分布函数F(x, y)的基本性质 (1) 0≤F(x,y)≤1； 对于任意固定的y，F(-∞, y)=0 ;
对于任意固定的x，F(x, -∞)=0 ;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞, +∞)=1
(2) F(x, y)关于变量x和y均单调非减，且右连续；
1
2 3 4
1/4 1/8
0 0 0 1/8 0 0
1/12
1/12 1/12 0
1/16
1/16 1/16 1/16
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第9页
3.1.3 二维连续型随机变量(X, Y)及其分布 定义 设(X, Y)的分布函数为F(x, y)，如果存在非
二维随机向量
分布函数的几何解释：如
果把二维随机变量 ( X , Y )看
成是平面上随机点的坐标，那
么，分布函数 F (x，y) 在( x , y )
处的函数值就是随机点( X , Y )
图3-1
落在直线 X x 的左侧和直线
Y y 的下方的无穷矩形域内
的概率 (如图3-1所示 )。
图3-2
Байду номын сангаас
根据以上几何解释借助于图3-2，可以算出随机点( X , Y )落在矩 形域 {x1 X x2，y1 Y y2} 内的概率为: P{x1 X x2，y1 Y y2} F (x2，y2 ) F (x2，y1) F (x1，y2 ) F (x1，y1) 。
定义3. 2 设( X , Y )是二维随机向量，对任意实数x 和y，称
二元函数
F(x，y) = P{ X x，Y y}
( 3.1 )
为二维随机向量( X , Y )分布函数，或称为随机变量X 和Y 的
联合分布函数。
与一维随机变量的分布函数一样，二维随机变量的联合分 布函数完整地描述了二维随机变量的统计规律。
概率学与数理统计
二维随机向量
一、二维随机向量及其分布函数
定义3. 1 设E 是一个随机试验,它的样本空间是 ={e}。设X (e)
与Y (e)是定义在同一样本空间Ω 上的两个随机变量,则称(X (e) , Y (e))为Ω 上的二维随机向量(2-dimensional random vector)或二维 随机变量(2-dimensional random variable),简记为( X , Y )。 注意:X 和Y 是定义在同一个样本空间Ω 上的两个随机变量。
(3.2)
容易证明，分布函数 F (x，y) 具有以下基本性质： 1. F (x，y) 是变量x 和y 的不减函数，即对于任意固定的y，当
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
Dx
y
故
P{a X b,c Y d}
b a
d c
f
( x,
y)dy
dx
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) D)等于以D为底，以曲面z f (x, y)
为顶面的柱体体积。
9 25
例3.1.1 一箱中有10件产品，其中6件一级品，4件二级品， 现随机抽取2次，每次任取一件，定义两个随机变量X和Y：
1 第一次抽到一级品， X 0 第一次抽到二级品.
1 Y 0
第二次抽到一级品， 第二次抽到二级品.
(2)第一次抽取后不放回， 求(X,Y)的联合分布律.
4 7
e6
3 7
e14
本例是一个典型题.大家应掌握分析与 计算的方法。特别是会根据不同形状的概 率密度非零区域与所求概率的事件区域G来 处理这类问题。
例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
解 (1)
f (x, y)dxdy
Ae(3x4 y)dxdy 00
A e3xdx e4 ydy
0
0
A[
1 3
e3x ]0[
1 4
e4 y ]0
A 1 1 12
所以 A 12
12e(3 x4 y) , x 0, y 0
A （x，y）
3.1.2 联合分布函数及其性质 定义3.1.3 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意 实数 x, y，二元函数
§3.1 二维随机变量的联合分布
D
∫∫x , y )≤0} p( x , y )dxdy II. P ( g( X , Y ) ≤ 0) = ∫∫ p( x , y )dxdy = {( x , y ): g (
D
=
{ g ( X ,Y ) ≤ 0}
∫∫
p( x , y )dxdy
如：P ( X 2 ≤ Y ) =
∫∫
{ X 2 ≤Y }
常数k; (2)P(X<1,Y< 3); 求: (1)常数 常数 (3)P(X< 1.5); (4)P(X+Y≤4) + ≤
1/8，3/8，27/32，2/3 ， ， ，
课堂练习: 课堂练习 盒子里装有3只黑球 只黑球， 只红球 只红球， 只白球 在其中任取4 只白球， 盒子里装有 只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 只球， 表示取到黑球的只数， 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只 表示取到黑球的只数 表示取到红球的只 数，求X,Y的联合分布列 的联合分布列
∫−∞ ∫−∞
则称(X, 是二维连续型随机变量 是二维连续型随机变量. 则称 ,Y)是二维连续型随机变量 而p(x,y)称为 称为 (X,Y)的(概率 密度函数 概率)密度函数 , 的 概率 p(x,y)的性质： 的性质： 的性质 (1) ∀x,y∈R, p(x,y)≥0 ∈ ≥ (2)
∫−∞ ∫−∞ p( x, y )dxdy = 1
+∞
+∞
几何意义： 几何意义： p(x,y)在几何上表示一个曲面 分布区面 介于分布区面和 在几何上表示一个曲面(分布区面 在几何上表示一个曲面 分布区面), xoy平面之间空间的体积为 平面之间空间的体积为1 平面之间空间的体积为
3.1二维随机向量的分布(课件)
为有限个或至多可列个, 则随机向量 ( X , Y ) 为 离散型的.
例 袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球.从中任 取4个,X 和 Y 分别表示4球中 红球及白球的个数.
X
Y
0
1
2 15
2
P X 0, Y 0 0
0 1
0
1 15
P X 0, Y 1 3 4 C6 15 2 2 C2 C3 3 6 3 15 15 P X 0,Y 2 4
y2
...
yj
...
x1 x2 xi
p12 ... p22 ... pi 2 ...
p1 j ... p2 j ... pij ...
Y P
随机变量Y的分布为:
y1 p
Y 1
pi 1
i
y2
...
yj
...
P{Y y1 } P Y y1 , X x1 , x2 ,..., xi ,...
x a
lim F ( x , y ) F (a , y )
y a
lim F ( x , y ) F ( x , a )
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0 F ( , ) lim F ( x , y ) 0,
x y
记
记
p
X 1
X P
x2
X p2
...
xi
...
P X x2 P X x2 , Y y1 , y2 ,..., y j ,...
X p21 p22 ... p2 j ... p2 j p2
j
记为
X
例 袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球.从中任 取4个,X 和 Y 分别表示4球中 红球及白球的个数.
X
Y
0
1
2 15
2
P X 0, Y 0 0
0 1
0
1 15
P X 0, Y 1 3 4 C6 15 2 2 C2 C3 3 6 3 15 15 P X 0,Y 2 4
y2
...
yj
...
x1 x2 xi
p12 ... p22 ... pi 2 ...
p1 j ... p2 j ... pij ...
Y P
随机变量Y的分布为:
y1 p
Y 1
pi 1
i
y2
...
yj
...
P{Y y1 } P Y y1 , X x1 , x2 ,..., xi ,...
x a
lim F ( x , y ) F (a , y )
y a
lim F ( x , y ) F ( x , a )
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0 F ( , ) lim F ( x , y ) 0,
x y
记
记
p
X 1
X P
x2
X p2
...
xi
...
P X x2 P X x2 , Y y1 , y2 ,..., y j ,...
X p21 p22 ... p2 j ... p2 j p2
j
记为
X
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PX 1, Y 0
C
1 1
C
3 3
1
任取4个
C
4 6
15
PX 1,Y 1
C
1 1
C
1 2
C
2 3
C
4 6
6 15
2020/5/7
PX 1,Y 2
C
1 1
C
2 2
C1 3C4 Nhomakorabea63 15
Y X
0
1
2
0 023 15 15
163 1 15 15 15
F0.5, 2PX0.5,Y 2 5
15
F3,1PX 3,Y 1 9
2020/5/7
§3.1 随机向量的分布
一、随机向量及其分布
定义3.1 设 X1,X2,...,Xn是定义在概率空间
(, P) 上的n个随机变量，则称 X 1,X 2,...,X n是
(, P) 上的一个维n 随机向量.
例如, 设 X ,Y分别表示 一个人的身高和体重,
则 X, Y 是二维随机向量.
15
PXY2 3 3 8
15 15 15 15
2020/5/7
Y X
0
1
2
0 023 15 15
163 1 15 15 15
X 的分布为: X 0 1
5 10 P 15 15
称为关于 X的边缘分布.
Y的分布为: Y
P
0 1 2称为关于Y的边缘分布.
1 86 15 15 15
PX0PX 0, Y0,1,2 任取4个
设 X1,X2分,X别3 表示 任一钢块的长、宽、高,
则 X1,X2,X3是三维随机向量.
设 X1,X2,X 分3,别X4 表示
任一考生的语、数、外
及综合的考试分数, X 1,X 2,X 3,X 4是四维随机向量. 2020/5/7
定义3.2 设X X 1,X 2,...,X n是n维随机向量,
n元函数
F (x 1,x 2,...,x n ) PX1x1, X2 x2, ..., Xn xn
(x1,x2,...,xn) R n
称为随机向量 X X 1 ,X 2 ,...,X n 的分布函数. 或
n个随机变量 X1,X2,...,Xn的联合分布函数.
例如, 设 X1,X2,X 分3,别X4 表示
PX0,Y 0PX0,Y 1PX0,Y 2 5
15
PX1PX 1, Y0,1,2 1 0
2020/5/7
15
1. 联合分布
2020/5/7
定义3.4 设 ( X , Y )是二维离散型随机向量, 可能
（3）F(x, y) 关于 x , y 均右连续. 即对任意实数a ,
l i m F(x, y)F(a,y)
（4）
x a
记
l i m F(x, y)F(x,a)
y a
记
F(,y)l i m F(x, y) 0 F(x,)l i m F(x, y) 0
x
y
记
记
F( , )l i m F(x, y) 0 , F( ,)l i m F(x, y) 1
任一考生的
语、数、英及综合的考试分数, X 1,X 2,X 3,X 4
是四维随机向量.
F (8 0 ,7 0 ,9 0 ,8 5 ) PX180,X2 70, X3 90, X4 85
2020/5/7
定义3.2 设X X 1,X 2,...,X n是n维随机向量,
n元函数
F (x 1,x 2,...,x n ) PX1x1, X2 x2, ..., Xn xn
x
x
2020/5/7
y
y
对任意固定的 x , 当 y1 y2时，有
F(x, y1)F(x,y2)
证 当 y1 y2时，
X x, Y y1
X x, Y y2
• y2
X x, Y y1 X x, Y y2
• y1
P X x, Y y1 P X x, Y y2
在概率论中, 如果试验的每一个基本结果都对 应一个实数, 则为一维随机变量;
如果试验的每个基本结果 都对应一对有序实数 ( X,Y ), 则称为二维随机向量;
如果试验的每个基本结果 都对应三个有序实数 (X,Y,Z), 则称为三维随机向量;
一般地,如果试验的每个基本结果 都对应 n 个
有序实数 X 1,X 2,...,X n,则称为 n 维随机向量.
例 袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球. 从中任 取4个, X 和 Y 分别表示4球中 红球及白球的个数.
Y 0 1 2 PX 0,Y 0 0
X 0 1
0
2 15
16
15 15
3 15
3 15
PX 0, Y 1
C
1 2
C
3 3
C
4 6
2 15
PX 0,Y 2
C
2 2
C
2 3
C
4 6
3 15
•
x
FY(y) PY y P X, Y y lim F(x, y) x
F(,y)
称为分布函数 F(x, y)关于Y的边缘分布函数.
2020/5/7
二、离散型随机向量的概率分布 定义3.3 如果二维随机向量(X,Y)的全部取值 为有限个或至多可列个则, 随机向量 (X,Y)为 离散型的.
2020/5/7
F(x, y1) F(x, y2) ∴ F(x, y)关于y单调不减.
2020/5/7
如果 ( X ,Y的)分布函数 F(x, y) 已知，则
随机变量 X 的分布函数为：
FX(x)PXxPXx,Y
lim F(x, y)
y
F(x,)
称为分布函数 F(x, y)关于X的边缘分布函数.
•y
随机变量 Y 的分布函数为：
2020/5/7
联合分布函数具有性质： F(x,y)PX x,Y y
（1）0F(x, y) 1
（2）F(x, y) 关于 x , y 均单调不减. 对任意固定的 x, 当 y1 y2 时，有F(x,y 1 ) F(x, y 2 )
对任意固定的 y , 当 x1 x2 时，有F(x 1 , y) F(x 2 , y)
Ch3 随机向量
例1 任选一个人, 设X表示其身高，Y表示其体重,
X,Y 描述了任一个人的体形特征.
例2 设任一炮弹弹着点的横坐标为X,纵坐标为Y,
X,Y 可确定炮弹的弹着点.
例3 设 X1,X2分,X别3 表示 任一钢块的长、宽、高,
X1,X2,X3描述了任一
钢块的形状.
Y
X,Y
X
2020/5/7
(x1,x2,...,xn) R n
称为随机向量 X X 1 ,X 2 ,...,X n 的分布函数.
当n 时2 , 二维随机向量 ( X ,Y ) 的分布函数为
F(x,y)PX x,Y y
b
例如
(x, y)R2
F(160,50)PX160,Y 50
F (2,4)PX2,Y 4
a
F(a,b)PX a,Y b