2018苏锡常镇一模(十)数学
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学答案
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 32. 63. 474.5. 216.50π7. 58.9. 1 02410. 1911. 812. 613. (-2,0)14. (-∞,-1]∪15. (1) 因为DE⊥平面ABCD,(第15题)所以DE⊥AC.(2分) 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.(6分) (2) 如图,设AC∩BD=O,取BE的中点G,连接FG,OG,所以OG∥DE且OG=DE.(8分)因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,从而四边形AFGO是平行四边形,FG∥AO.(10分) 因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分) 16. (1) 因为cos A=,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.(3分) 在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.(4分) 因为cos C=,所以sin C=-=, (5分) 所以cos B=-cos(A+B)=sin A sin B-cos A cos B=.(7分) (2) 根据正弦定理=,得=.又ac=24,所以a=4,c=6, (10分) b2=a2+c2-2ac cos B=25, b=5,所以△ABC的周长为15.(14分) 17. (1) 由题意知∠CAP=-θ,所以=-θ,又PQ=AB-AP cosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度为f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.(3分) 因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sinθ<0, (5分) 所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a--,0<θ<, (8分) g'(θ)=a(-1+2sinθ), (9分) 令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.(10分) 当0<θ<时,g'(θ)<0,当<θ<时,g'(θ)>0.(12分) 所以当θ=时,g(θ)最小.(13分) 答:当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.(14分) 18. (1) 因为椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,所以a2=2c2,b=c, (1分) 所以直线DB的方程为y=-x+b.又O到直线BD的距离为,所以=,所以b=1,a=(3分) 所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分) (2) 设P(,t),t>0,直线PA的方程为y=(x+), (5分) 由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x C=-,则点C的坐标是-,.(7分)(第18题)因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以△AOC的面积等于△BPC的面积,S△AOC=××=,S△PBC=×t×--=,则=,解得t=.(9分) 所以直线PA的方程为x-2y+=0.(10分) (3) 因为B(,0),P(,t),C-,所以BP的垂直平分线为y=,BC的垂直平分线为y=x-,所以过B,C,P三点的圆的圆心为, (12分) 则过B,C,P三点的圆的方程为+-=+, (14分) 即所求圆的方程为x2-x+y2-ty+=0.(16分) 19. (1) 因为--…-=,n∈N*,所以当n=1时,1-=,a1=2, (1分) 当n≥2时,由--…-=和--…--=-,两式相除可得,1-=-,即a n-a n-1=1(n≥2),所以数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,于是a n=n+1.(4分) (2) 因为a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,所以于是或(7分) 当时,解得当时,无正整数解,所以p=5,q=9.(10分) (3) 假设存在满足条件的正整数k,使得=a m(m∈N*),则=m+1,平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63, (11分) 则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, (12分) 所以--或--或--(14分) 解得m=15,k=14或m=5,k=3,m=3,k=-1(舍去),综上所述,k=3或14.(16分) 20. (1) 设切点为(x0,y0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为(3x0+1),所以切线的方程为y-y0=(3x0+1)(x-x0).因为切线过点(2,0),所以-(3x0-2)=(3x0+1)(2-x0),化简得3-8x0=0,解得x0=0或.(3分) 当x0=0时,切线的方程为y=x-2, (4分)当x0=时,切线的方程为y=9x-18.(5分) (2) 由题意,对任意的x∈R,有e x(3x-2)≥a(x-2)恒成立,①当x∈(-∞,2)时,a≥--⇒a≥--,令F(x)=--,则F'(x)=--,令F'(x)=0得x=0,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)max=F(0)=1,故此时a≥1.(7分) ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.(8分)③当x∈(2,+∞)时,a≤--⇒a≤--,令F'(x)=0,得x=,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)min=F=9,故此时a≤9.综上,1≤a≤9.(10分) (3) 因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2),由(2)知a∈(-∞,1)∪(9,+∞),令F(x)=--,则当x变化时,F(x),F'(x)(12分) 当x∈(-∞,2),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a<--存在唯一的整数x0成立.因为F(0)=1最大,F(-1)=,F(1)=-,所以当a<时,有两个整数成立,所以a∈.(14分) 当x∈(2,+∞),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a>--存在唯一的整数x0成立.因为F=9最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,有两个整数成立,所以当a≤7e3时,没有整数成立,所有a∈(7e3,5e4].综上,a∈∪(7e3,5e4].(16分)江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-可得-=λ1-,即---(2分)得a=2b=10.(4分) 由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,可得-=λ2-,即---(6分)得2a-3b=9, (8分)解得--即A=--.(10分)22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4x,即圆C的方程为x2+(y-2)2=4.(3分) 又由消去t,得x-y+m=0, (6分) 由直线l与圆C相交,得-<2,即-2<m<6.(10分)23. (1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,P()=++=,所以P(A)=1-P(=.(3分) 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.(2) 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)==;P(ξ=1)=+·=;P(ξ=2)=++·=;P(ξ=3)=+=;P(ξ=4)==.(8分) 所以ξ的分布列为故E(ξ)=+2×+3×+4×=.答:ξ的数学期望为.(10分) 24. (1) 因为PE⊥底面ABCD,过点E作ES∥BC,则ES⊥AB.以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,),=(-2,1,0),=(1,1,-).(2分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·=-2x+y=0,n·=x+y-z=0,令x=1,解得n=(1,2,).又平面ABCD的法向量为m=(0,0,1), (3分)所以cos<n,m>===, (4分)所以sin<n,m>=.(5分)(第24题)(2) 设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM⊥平面PCD,所以∥n,即==,也即y1=2x1,z1=x1.(6分) 又=(x1,y1,z1-=(-1,2,-),=(1,1,-所以=λ+μ=(λ-μ,λ+2μ,-λ-μ),解得x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),即λ=3μ, (8分) z1-=-λ-μ,λ=,所以μ=, (9分)所以点M的坐标为.(10分)。
2018年苏锡常镇四市一模试题和答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）化学可能用到的相对原子质量：H-1 C一12 N-14 0—16 S-32Na-23 Mg-24 A1-27 Fe-56 Cu-64 2n-65选择题单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．每年3月22日为“世界水日”。
下列有关“废水”的处理正确的是A．工业废水无需处理，直接用于农业灌溉B．废水经氯气消毒后，即可安全再利用C．寻找方式来减少和再利用废水可节约水资源D．收集和处理废水，弊大于利2．下列有关化学用语的表示，正确的是A．氨基(-NH2)的电子式：B．钾离子的结构示意图:C．二氧化碳分子的比例模型：D．碳酸电离的方程式：3．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是A．晶体硅熔点高硬度大，可用于制造半导体材料B碳酸钠溶液显碱性，可用于除去金属器件表面的油脂C．碳酸氢钠能与碱反应，可用作焙制糕点的膨松剂D．明矾溶于水能形成胶体，可用于自来水的杀菌消毒4．实验室制各氨气、收集、验证其还原性并进行尾气处理的装置和原理能达到实验目的的是A．用装置甲制取氨气B．用装置乙收集氨气时气体应该从a口进b口出C．装置丙中黑色固体变成红色时还原产物一定为铜D．可以用装置丁吸收氨气，进行尾气处理5．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，其中X、Y处于同一周期且相邻，Z元素的原子在短周期中原子半径最大，W是地壳中含量最多的金属元素。
下列说法正确的是A．原子半径：r(X）<r(Y）<r(W）<r(Z)B．Z和X组成的化合物中一定不含共价键C．W的单质还原性比Z的强D．Y、Z、W三种元素组成的化合物可能是Z3WY66．下列指定反应的离子方程式正确的是A．石灰水中加入过量小苏打溶液：B．将铜丝插入足量浓硝酸中：C．将SO2通入少量氨水中：D．用双氧水从酸化的海带灰浸出液中提取碘：7．在给定的条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是8．电石(主要成分为CaC2)是重要的基本化工原料。
2018江苏常州一模数学及答案解析
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2018年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B =I ▲ ．2．命题“2[0,1],10x x ∃∈-≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）． 3．若复数z 满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ▲ ． 4．若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 6．函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的 正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6L ），记骰子 向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ ．7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ ．8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ ．（第5题）10．已知实数,x y 满足0,220,240,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥则x y +的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的图象与x 轴的交点,,A B C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲ ．13．在ABC ∆中，3,7,5===BC AC AB ，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足)(41R ∈+=λλBC BA BP ，则BP BA ⋅的取值范围为 ▲ ． 14．已知ABC ∆中，3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆中，a b c ,, 分别为三个内角A B C ,, 的对边，3sin cos b C c B c =+． （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ABCD ⊥平面，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点． （1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：QF BC ∥．（第16题）1-1（第12题）17．（本小题满分14分）已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3π1=∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点．已知MN AM ⊥，且243OA OM b ⋅=u u u r u u u u r ． （1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程．（第17题）xy（第18题）19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n ∈N ．数列{}n b满足n b =(*)n ∈N ．（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b （*,s t ∈N ），使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q ．20．（本小题满分16分） 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数． （1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0)a -，上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(01)，上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2018年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵421a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 不存在逆矩阵，求： （1）实数a 的值； （2）矩阵A 的特征向量． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 1,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为πsin()24ρθ+=，直线l与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长． D ．选修4—5：不等式选讲注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． （选修4—1）已知0,0a b >>，求证：3322a b a b ++【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知正四棱锥ABCD P -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0=ξ；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求)0(=ξP 的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望)(ξE ．23．（本小题满分10分）记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⨯+L （2n ≥且*n ∈N ）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T ． （1）求n S ； （2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数a b c ,,的值； （3）对（2）中的实数a b c ,,，用数学归纳法证明：对任意2n ≥且*n ∈N ，2n nT an bn cS =++都成立．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{2}- 2．真 3．1 4．2 5．7 6．567．38．3 9．(1,2)10．4[,8]3 11．1e 12．34π 13．525[,]84 14．523二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由正弦定理得3sin sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以3sin cos 1B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=； （2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B BA C A C A C A C A C A C π++-+=+==== 所以，211sin 123tan tan sin sin 3B AC B B +====． 16．（1）证明：PC ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，所以BD PC ⊥，记AC BD ，交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =，所以BD OP ⊥， 又=PC OP P I ，PC OP PAC ⊂，平面，所以BD PAC ⊥平面，又AC PAC ⊂平面，所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以AD BC ∥，又AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面，所以AD PBC 平面∥， 又AD ADQF ⊂平面，ADQF PBC QF =I 平面平面，所以AD QF ∥，又AD BC ∥，所以QF BC ∥． 17．解：（1）由题意AB OM ∥，' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为226327()πππ⨯-⨯=平方米；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知000'12A B AB OB OM ==，所以22000000()'2cos f t A B OA OA AA OA AA OAA ===+-⋅∠，化简得2()39,010f t t t t =-+<≤，2327()24f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32t =时，()f t 的最小值为33， 答：2()39,010f t t t t =-+<≤，当32t =（秒）时，()f t 的最小值为33（米）．18．解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得2122ab x a x c =-=-，， 所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ⋅===u u u r u u u u r ，2234c a =，所以e ；（2）由（1）2(,)3M b -，右准线方程为x ， 直线MN的方程为y，所以)P ，212POF P S OF y ∆=⋅=，222AMN AOM M S S OA y b ∆∆==⨯=，所以2210+33a =2203b =，所以b a == 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． 19．解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，211(1)(2)(1)2(1)n n n n n S nS n S n S n ++++-=+-+++， 即21(1)(22)(1)2(1)n n n n S n S n S n +++=+-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+．在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+． 综上，对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列． 又1a a =，则22n a n a =-+．方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n n S S n n +=++，又11S a a ==，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列，因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-． 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故22n a n a =-+(*)n ∈N ，故对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列． （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<+≤． 考察函数1y x x =+(1)x >，因为2221110x y x x -'=-=>，所以1y x x=+在(1,)+∞上递增． 因此1422(2)n n e e a a <+++≤，从而n b =． 因为对任意的*n ∈N ，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n ∈N都有n c ∈，明显0q >．若1q >，当1log q n +≥有111n n n c c q --=>不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn +≥111n n n c c q --=，不符合题意，舍去；故1q =． 20．解：（1）当0a =时，2ln ()xf x x =，定义域为(0)+∞，． 312ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值． （2）312ln ()()ax x f x x a +-'=+，由题意()0f x '≥对(0)x a ∈-，恒成立． ∵(0)x a ∈-，，∴3()0x a +<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0)x a ∈-，恒成立． ∴2ln a x x x -≤对(0)x a ∈-，恒成立．令()2ln g x x x x =-，(0)x a ∈-，， 则()2ln 1g x x '=+， ①若120ea -<-≤，即120ea ->≥-，则()2ln 10g x x '=+<对(0)x a ∈-，恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0)a -，上单调递减，则2()ln()()a a a a ---≤-，∴ln()a -0≤，∴1a -≤与12e a -≥-矛盾，舍去；②若12ea -->，即12ea -<-，令()2ln 10g x x '=+=，得12ex -=，当120e x -<<时，()2ln 10g x x '=+<，∴()2ln g x x x x =-单调递减，当12ex a -<<-时，()2ln 10g x x '=+>，∴()2ln g x x x x =-单调递增，∴当12ex -=时，1111122222min [()](e)2eln(e )e 2eg x g -----==-=-g ，∴122e a --≤． 综上122ea --≤．（3）当1a =-时，2ln ()(1)xf x x =-，312ln ()(1)x x x f x x x --'=-． 令()12ln h x x x x =--，(01)x ∈，， 则()12(ln 1)2ln 1h x x x '=-+=--，令()0h x '=，得12e x -=．①当12e1x -<≤时，()0h x '≤，∴()12ln h x x x x =--单调递减，12()(02e 1]h x -∈-，，∴312ln ()0(1)x x x f x x x --'=<-恒成立，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≤， ②当120ex -<≤时，()0h x '≥，∴()12ln h x x x x =--单调递增，其中1111()12ln()02222h =--⋅=， 又222225(e )e 12e ln(e )10e h ----=--⋅=-<， ∴存在唯一201(e ,)2x -∈，使得0()0h x =，∴0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>，∴2ln ()(1)xf x x =-单调递增，当120ex x -<≤时，()0f x '<，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0)x ，单调递增，在0(1)x ，上单调递减，∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值．∵0000()12ln 0h x x x x =--=，∴0001ln 2x x x -=， ∴00220000ln 11()112(1)(1)2()22x f x x x x x ===----， 又01(0)2x ∈，，∴201112()(0)222x --∈-，，∴0201()2112()22f x x =<---．常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN = B ．选修4—2：矩阵与变换 （2）42=021λλ----，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得120,5λλ== 10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦．C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线22:(1)4C x y -+=，直线:20l x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为d ==MN =D ．选修4—5：不等式选讲证明：0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a ++≥，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b ++++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：ππ0,,32，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；π3ξ=时，有34+24=20⨯⨯种；π2ξ=时，有2+4=6种；（1）141282)0(===ξP ； （2）7528164)3π(=+==ξP ，143286)2π(===ξP ．再根据（1）的结论，随机变量ξ的分布列如下表：根据上表，π8414273140)(=⨯+⨯+⨯=ξE ． 23．解：（1）1122!(1)!nn n S n n ++++==-L ．（2）222=3T S ，3311=6T S ，447=2T S ， 则2=42311=93671692a b c a b c a b c ⎧++⎪⎪⎪++⎨⎪⎪=++⎪⎩，，， 解得1114126a b c ==-=-，，． （3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设*(N ,2)n k k k =∈且≥时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由2111()(1)()()()21111[(1)()()]()2111()()!1k k f x x x x x k k x x x x k k S x T x x k k =+⨯+⨯⨯+⨯++=+⨯+⨯⨯+⨯++=+++++L L L知211111112[1()]1(1)!14126k k kk T S T k k k k k ++=+=+--+-+，所以2211111112[1()]32(35)(1)!14126(1)11212122!k k k k k T k k k k k k k k k S k k ++++----+-+==++=+++⎛⎫⎪⎝⎭， 又2111(35)(1)(1)412612k k k k ++-+-=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n ∈N ，都有2nnT an bn c S =++成立．。
2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题与答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合AB = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A BC -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,)2，点A 是椭圆的下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n . 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值. C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . （1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 258 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=+35+=（2）因为//a b ，sin()14a πα+=，α(s i nc o s c o s s i n )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠3sin(())2ππαθ=---，所以sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263jkiλμ+=⋅⋅， 所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j i λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈， 从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈， 当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n n n nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=； 综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-， 111cos ,n CQn CQ n CQ⋅<>===， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PA λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =.23. 解：（1）10D =，21D =，32D =，49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+，理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立； 根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。
江苏省常州市2018届高三第一次模拟考试数学答案
江苏省常州市2018届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {-2}2.真3. 14. 25. 76.7. 38.9. (1,)10.11.12.13.14.15. (1) 由b sin C=cos B+c及正弦定理得sin B sin C=cos B sin C+sin C,在△ABC中,sin C>0,所以sin B-cosB=1,所以sin-=,-<B-<,B-=,所以B=.(6分) (2) 因为b2=ac,由正弦定理得sin2B=sin A sin C,+=+===-=,所以+====.(14分)16. (1) 因为PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC,记AC,BD交于点O,平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点,又在△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP, (4分) 又PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.(7分)(第16题)(2) 四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.(10分) 又AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF,又AD∥BC,所以QF∥BC.(14分)17. (1) 由题意AB∥OM,则===,OA=3,所以OB'=6, (2分)小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环, (4分) 其面积为π×62-π×32=27π(m2).(6分)(2) 经过t s,小明走到了A0处,身影为A0B0',由(1)知==,所以f(t)=A0B0'=OA0=-, (10分) 化简得f(t)=-,0<t≤10,f(t)=-,当t=时,f(t)的最小值为, (13分) 答:f(t)=-,0<t≤10,当t=(s)时,f(t)的最小值为(m).(14分) 18. (1) 联立消去y得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-, (4分) 所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=b2,=,所以e=.(8分) (2) 由(1)知M--,右准线方程为x=b,直线MN的方程为y=x,所以P, (10分) S△POF=OF·y P=b·b=2b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|=2b×b=b2,所以2b2+b2=a,b2=b,所以b=,a=2.(14分) 故椭圆C的标准方程为+=1.(16分)19. (1) 方法一:因为nS n+1=(n+1)S n+n(n+1), ①所以(n+1)S n+2=(n+2)S n+1+(n+1)(n+2), ②由②-①得(n+1)S n+2-nS n+1=(n+2)S n+1-(n+1)S n+2(n+1),即(n+1)S n+2=(2n+2)S n+1-(n+1)S n+2(n+1),又n+1>0,则S n+2=2S n+1-S n+2,即a n+2=a n+1+2.(3分) 在nS n+1=(n+1)S n+n(n+1)中令n=1得,a1+a2=2a1+2,即a2=a1+2.(4分) 综上,对任意的n∈N*,都有a n+1-a n=2.故数列{a n}是以2为公差的等差数列.(5分) 又a1=a,则a n=2n-2+a.(6分) 方法二:因为nS n+1=(n+1)S n+n(n+1),所以=+1,又S1=a1=a,则数列是以a为首项,1为公差的等差数列, (2分)因此=n-1+a,即S n=n2+(a-1)n.(3分)当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-2+a,又a1=a也符合上式,故a n=2n-2+a(n∈N*), (5分)故对任意的n∈N*,都有a n+1-a n=2,即数列{a n}是以2为公差的等差数列.(6分)(2) 令e n==1+-,则数列{e n}是递减数列,所以1<e n≤1+.考察函数y=x+(x>1),因为y'=1-=->0,所以y=x+在(1,+∞)上单调递增.因此2<e n+≤2+,从而b n=∈.(9分) 因为对任意的n∈N*,总存在数列{b n}中的两个不同项b s,b t,使得b s≤c n≤b t,所以对任意的n∈N*都有c n∈,明显q>0.(11分) 若q>1,当n≥1+log q时,有c n=c1q n-1>q n-1≥,不符合题意,舍去; (13分) 若0<q<1,当n≥1+log q时,有c n=c1q n-1≤q n-1≤,不符合题意,舍去.(15分) 故q=1.(16分) 20. (1) 当a=0时,f(x)=,定义域为(0,+∞),f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=.当x变化时,f(x),f'(x)所以当x=时,f(x)的极大值为,无极小值.(4分)(2) f'(x)=-,由题意f'(x)≥0对x∈(0,-a)恒成立.因为x∈(0,-a),所以(x+a)3<0,所以1+-2ln x≤0对x∈(0,-a)恒成立.所以a≤2x ln x-x对x∈(0,-a)恒成立.(6分) 令g(x)=2x ln x-x,x∈(0,-a),则g'(x)=2ln x+1,①若0<-a≤-,即0>a≥--,则g'(x)=2ln x+1<0对x∈(0,-a)恒成立,所以g(x)=2x ln x-x在(0,-a)上单调递减,则a≤2(-a)ln(-a)-(-a),所以0≤ln(-a),所以a≤-1与a≥--矛盾,舍去;②若-a>-,即a<--,令g'(x)=2ln x+1=0,得x=-,当0<x<-时,g'(x)=2ln x+1<0,所以g(x)=2x ln x-x单调递减,当-<x<-a时,g'(x)=2ln x+1>0,所以g(x)=2x ln x-x单调递增,所以当x=-时,g(x)min=g(-)=2-·ln---=-2-,所以a≤-2-.综上a≤-2-.(10分)(3) 当a=-1时,f(x)=-,f'(x)=---.令h(x)=1--2ln x,x∈(0,1),则h'(x)=1-2(ln x+1)=-2ln x-1,令h'(x)=0,得x=-.①当-≤x<1时,h'(x)≤0,所以h(x)=x-1-2x ln x单调递减,h(x)∈(0,2--1].所以f'(x)=---<0恒成立,所以f(x)=-单调递减,且f(x)≤f(-).(12分)②当0<x≤-时,h'(x)≥0,所以h(x)=x-1-2x ln x单调递增,其中h=-1-2××ln=ln>0,又h(e-2)=e-2-1-2e-2·ln(e-2)=-1<0,所以存在唯一的x0∈-,使得h(x0)=0,所以f'(x0)=0,当0<x<x0时,f'(x0)>0,所以f(x)=-单调递增,当x0<x≤-时,f'(x0)<0,所以f(x)=-单调递减,且f(x)≥f(-).(14分)由①和②可知,f(x)=-在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,所以当x=x0时,f(x)=-取极大值.因为h(x0)=x0-1-2x0ln x0=0,所以ln x0=-,所以f(x0)=-=-=--.又x0∈(0,-),所以2--∈-,所以f(x0)=--<-2.(16分) 江苏省常州市2018届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 记△NBC的外接圆为圆O,AB,AC分别是圆O的切线和割线,所以AB2=AN·AC, (3分) 又∠A=∠A,所以△ABN∽△ACB,所以==, (6分) 所以=·==3,=.(10分) B. (1) 由题意=0,即4-2a=0,解得a=2.(3分)(2)----=0,即(λ-4)(λ-1)-4=0,所以λ2-5λ=0,解得λ1=0,λ2=5.(6分)当λ1=0时,----y=-2x,故属于λ1=0的一个特征向量为-; (8分)当λ2=5时,--x=2y,故属于λ2=5的一个特征向量为.(10分)C. 曲线C:(x-1)2+y2=4,直线l:x+y-2=0, (4分) 圆心C(1,0)到直线l的距离为d==, (7分)所以弦长MN=2-=2-=.(10分) D.a>0,b>0,不妨设a≥b>0,则≥,≥,由排序不等式得+≥+,所以≥=.(10分) 22.根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形,ξ的可能取值为0,,,共=28种情况,其中:ξ=0时,有2种;ξ=时,有3×4+2×4=20种;ξ=时,有2+4=6种.(4分)(1) P(ξ=0)==.(5分)(2) P==,P==.(8分) 故E(ξ)=0×+×+×=π.(10分)23. (1) S n==-.(2分) (2) =,=,=,则解得a=,b=-,c=-.(5分)(3) ①当n=2时,由(2)知等式成立.②假设n=k(k∈N*,且k≥2)时,等式成立,即=k2-k-;当n=k+1时,由f(x)=(x+1)××…××=×=×,知T k+1=S k+T k=---,所以=---=--=,又(k+1)2-(k+1)-=,等式也成立.综上可得,对任意的n≥2且n∈N*,都有=an2+bn+c成立.(10分)。
2018年江苏省高考数学模拟试卷(10)(含详细答案)
2018年江苏省高考数学模拟试卷（10）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 设全集{2,1,0,1,2},{2,1,2}U A =--=-，则U A =ð ▲ .2． 设a ∈R ，i 是虚数单位，若()()1a i i +-为纯虚数，则a = ▲ ．3． 在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为__▲______.4. 棱长均为2的正四棱锥的体积为 ▲ .5． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-2，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是 ▲ ．6． 如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 7． 已知正数a ，b 满足a 2-ab 10+=，则8a b +8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线22x y -点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆面积为 ▲ ． 9． 已知ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且5tan B 则sin B 的值是 ▲ ．10．已知函数2()||2x f x x +=+，x R ∈，则2(2)f x x f -<解集是 ▲ ．11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列{nS 也为等差数列，则11a = ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0)(0)A t t ->，，(0)B t ，，点C 满足8AC BC ⋅=，且点C 到直线l ：34240x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是 ▲ ．13. 设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,13)(2x x x x x f ，则满足2))((2))((a f a f f =的a 的取值范围为 ▲ ．14. 已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x R ∀∈恒成立，则2m a b +-= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cosC =230a c -=．（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sinB ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==PB =PC .（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ；（2）若M 为BC 的中点，求证：MN ⊥BC ．NDCBAP（第18题）17.(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是点,E F 在直径AB 上，且（1，求AE 的长；（2求该空地产生最大经济价值时.18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心 ，点()12 33A ，在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点(4)P t t -，在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C （1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．19．(本小题满分16分）设R ∈a ，函数ax x x f -=ln )(．（１）求)(x f 的单调递增区间；（２）设，ax ax x f x ++=2)()(F 问)(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（３）设),(B ),(A 2211y x y x ，是函数ax x f x g +=)()(图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，),(C 00y x 直线AB 的斜率为k ．证明：)(0x g k '>．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有123a a a +++⋅⋅⋅1n n a ka -++21n ta =-（k ，t 为常数）成立．（1）若12k =，14t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由；（2）若数列{}n a 是等比数列，求证：t =0，且0k <．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ,与射线AQ 相交于两点B C 、．求证：BT 平分∠OBA ．B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，3)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换 下得到点Q (y -4，y +2)，求2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的最大值与最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知 a b c ，，均为正数，且a ＋2b ＋3c ＝9．求证：14a ＋118b ＋1108c ≥19．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．一个袋中装有黑球，白球和红球共n (n ∈N*)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件 “121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：nm S 111322n m n +++<+-．2018年江苏省高考数学模拟试卷（10）参考答案一、填空题1.{1,0}-2.1-3.32．4. ． 5．23.m 、n 的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m ＝0，n ＝2和m ＝－1，n ＝2， 直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P ＝23． 6.54． 7.6.8. ．9. 35.10．（1,2）. 10()4102x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，由2220234x x x x x ⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩得1<x<2. 11． 63 .可设,n S an b ==+平方比较系数得，B=b=0,故知n S =，结合113S a ==，所以23n S n =，则11111063a S S =-=.12.1. 设() C x y ，，则2228AC BC x y t ⋅=+-=，所以点C为半径的圆，故圆心到直线的距离24955d ==+1t =（负舍）.14．3. 2()()()[(31)(2)]0mxf x f x x b m x a b ma mb x ab '-=--++---≤，可知3m =，进而()[(2)3]0x b a b x ab -+-≤，由于0b ≠得a=b ，所以2m a b +-=2/3 .二、解答题15． 因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A ，因为()A 0,∈π，且cosA 0≠，所以tan A =A 3π=. （1）因为22sin C cos C 1+=，cosC =()C 0,∈π，所以sin C = 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -= （2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， 所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---= 16．（1）取PB 的中点E ，连接NE ，CE ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==易得AC =CB = AB =2，又因E 为PB 的中点，N 为PA 的中点， 所以NE ∥CD 且NE =CD 所以四边形CDNE 是平行四边形 所以DN ∥CE ； 又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC … 所以DN ∥平面PBC （2）连接AM ，PM ． 因为PB =PC ，M 为BC 的中点所以PM ⊥BC ， 因为AC =AB ，M 为BC 的中点所以AM ⊥BC ， 又因为AMPM M =， ,AM PM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ． 因为NM ⊂平面PAM ， 所以MN ⊥BC ．MNDCBAPB17．（1，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且，所以213164AE AE =+-，（2在ACF ∆中由正弦定理得在ACE ∆中，由正弦定理得：，若产生最大经济效益，则CEF ∆的面积ECF SD 最大，时，ECF SD 取最大值为18．（1）易得()()222212331a b +=，解得21a =，212b =，所以椭圆E 的方程为2221x y +=；（2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=， 又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则1013110131(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2221x y +=并整理得，22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-， ①同理可得，2220002022(1)(2)2(2)1,x y x x y y λλ++-+=-②①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=，因为220021x y +<,所以12λλ=，从而//AB CD ，故2CD AB k k ==.19 （Ⅰ）（1）当0≤a 时，∵0>x ，∴0)(>'x f 恒成立，)(x f 的单调增区间为),0(+∞；（2）当0>a 时，令0)(>'x f ，即∴)(x f 的单调增区间为综上所述：当0≤a 时，)(x f 的单调增区间为),0(+∞；当0>a 时，)(x f 的单调增区间为（Ⅱ） 2ln )(F ax x x +=，得当0≥a 时，恒有0)(F >'x ，∴)(F x 在),0(+∞上为单调增函数， 故)(F x 在),0(+∞上无极值；当0<a 时，令0)(F ='x ，得，)(F x 无极小值 综上所述：当0≥a 时，)(F x 无极值；当0<a 时，)(F x 有极大值要证)(0x g k '>，即证不妨设210x x <<，即证所以)(t k 在),1(+∞上单调递增，因此0)1()(=>k t k ，即结论成立． 20．（1）当12k =，14t =时，2123111124n n n a a a a a a -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，① 所以212321111124n n n a a a a a a ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥，②①-②得，2211111112244n n n n n a a a a a ---+-=-()3n ≥，即()()1120n n n n a a a a --+--=()3n ≥， 因为数列{}n a 是正项数列，所以10n n a a -+>，从而12n n a a --=()3n ≥， ①中，令2n =得，212211124a a a +=-， ③若数列{}n a 是等差数列，则必有212a a -=，④ 由③④得，11a =（负值已舍），所以，当且仅当11a =+时，数列{}n a 是公差为2的等差数列；否则，数列{}n a 不是等差数列；（2）因为212311n n n a a a a ka ta -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，⑤所以21232111n n n a a a a ka ta ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥， ⑥ ⑤-⑥得，22111n n n n n a ka ka ta ta ---+-=-()3n ≥，⑦依题意，设11n n a a q -=()1 0a q >，， 代入⑦得，()[]2211(1)10n t a q q k q -⋅---+=()3n ≥， ⑧ 若1q =，则10=（矛盾），若1q ≠，⑧中，令3n =，4得，()212211(1)1 (1)(1)1 t a q q k q t a q q k q ⎧⋅-=-+⎪⎨⋅-=-+⎪⎩，，两式相减得，()211(1)0a q q q t +-=， 因为1 0 1a q q >≠，，且，所以0t =， 此时123110 (2)n n a a a a ka n -+++⋅⋅⋅++=-<≥，又因为数列{}n a 是正项数列，所以0k <，即证．第II 卷（附加题，共40分）21.A . 因为AT 是切线，所以OT ⊥AP ．又因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP , 所以AB ∥OT ，所以∠TBA =∠BTO ．又OT =OB ，所以∠OTB =∠OBT ， 所以∠OBT =∠TBA , 即BT 平分∠OBA ． B ．依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦42y y -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，即64 3122 x y x y +=-⎧⎨+=+⎩，，解得0 10 x y =⎧⎨=⎩，， 21 21 27 103 43 415 22M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以，27 1001001022015 22x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ． C ．（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，因为5,3,4a b c ===,则点F 的坐标为(4,0). 因为直线l 经过点(,0)m ，所以4m =.（2）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则 12||FA FB t t ⋅==22281819cos 25sin 916sin ααα=++． 当sin 0α=时，FA FB ⋅取最大值9； 当sin 1α=±时，FA FB ⋅取最小值8125．D ． 因为a ，b ，c 都是正数， 所以(a +2b +3c )()2111418108a b c ++≥，因为a +2b +3c ＝9， 所以14a +118b +1108c ≥19．22．（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则2()155x P A ==，∴x ＝6．设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17yC P B C -=-=，∴y 2－29y ＋120＝0， ∴y ＝5或y ＝24（舍）∴红球的个数为4(个)．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，ξ的分布列是数学期望11442560122110535105E ξ=⨯+⨯+⨯=＝158．（2）设袋中有黑球z 个，则z ＝25n (n ＝5，10，15…）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－2522C nnC =2125+625×1n －1，当n ＝5时，P (C )最大，最大值为910．23．（1）228S =，4232S = . （2）设集合{0}P =，{1,1}Q =-． 若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，,中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112nC ， 同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,,n x x x x ，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ， …… 若12||||||n x x x m +++=，即123,,,n x x x x ，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m mnC -种可能，即为2m m n C ， 所以1122222n m m mn n n S C C C =++⋅⋅⋅+， 因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10knC -≥, 所以1122222n m mm n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-0011221112(222222)(222)m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+．。
苏锡常镇四市2018-2019学年度高三教学情况调查(一)数学试题(含答案)
2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A ∩B = ．答案：{}=0A B ⋂。
2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i )2 的虚部为 ．答案：2312()4i i =---，即虚部为-4。
3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 ．答案：()1,0。
4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 ． 答案：12解析：232412C C =。
5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 ．答案：406、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 ．7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=， 则实数a = ．答案：2log 3 解析：222133(1)1log 1log log 3222f a a a -=⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ． 答案：700127解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为76127002270012127x x x x x -+++==⇒=-。
9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ． 答案：2π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，圆柱的侧面积为224222r h rh πππ+≤=。
苏锡常镇一模十数学DA
苏锡常镇一模十数学D ASANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#2018届苏锡常镇四市高三年级第二次模拟考试(十)数学参考答案1. {1}2. 53. y ＝±32x 4. 63 5. 3166. 257. 4338. 89. 2 6 10. 1311. a≥e ＋412. 6 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5 14. [0，1)15. 解析：(1) 由题意sin α＝45，cos α＝35，(2分)所以a·b＝2sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2sin α＋sin αcos π4＋cos απ4＝425＋45×22＋35×22＝322.(6分) (2) 因为a∥b，所以2sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1，即2sin α⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos π4＋cos αsin π4＝1，所以sin 2α＋sin αcos α＝1，(10分) 则sin αcos α＝1－sin 2α＝cos 2α，对锐角α有cos α≠0，所以tan α＝1， 所以锐角α＝π4.(14分)16. 证明：(1) 连结MN ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，则四边形AA 1C 1C 是平行四边形，因为点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，所以MN∥AA 1，且MN ＝AA 1，(2分)因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以MN∥BB 1，且MN ＝BB 1，所以四边形MNBB 1是平行四边形，所以B 1M ∥BN ，因为B 1M 平面A 1BN ，BN 平面A 1BN ， 所以B 1M ∥平面A 1BN.(6分)(2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， BN 平面ABC ，所以BN⊥AA 1， 在正△ABC 中，N 是AB 的中点， 所以BN⊥AC.因为AA 1，AC 平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ， 所以BN⊥平面AA 1C 1C.因为AD 平面AA 1C 1C ， 所以AD⊥BN，(10分)由题意，得AA 1＝6，AC ＝2，AN ＝1，CD ＝63， 所以AA 1AC ＝AN CD＝32， 因为∠A 1AN ＝∠ACD＝π2，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N ＝∠CAD，所以∠ANA 1＋∠CAD＝∠ANA 1＋∠AA 1N ＝π2，所以AD⊥A 1N.因为BN∩A 1N ＝N ，BN ，A 1N 平面A 1BN ， 所以AD⊥平面A 1BN.(14分)17. 解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，1a 2＋34b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝14，1b 2＝1，(4分) 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 由题意知A(0，－1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零，设直线l 1：y ＝k 1x －1，与直线y ＝x 联立方程有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x ，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1－1，1k 1－1，设直线l 2：y ＝－1k 1x －1，同理F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1k 1－1，1－1k 1－1， (8分)因为OE ＝OF ，所以|1k 1－1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11k 1－1 ，(10分) ①1k 1－1＝1－1k 1－1 ，k 1＋1k 1＝0无实数解；(11分) ②1k 1－1＝－1－1k 1－1 ，k 1－1k 1＝2，k 2－2k 1－1＝0，解得k 1＝1±2， 综上可得，直线l 1的斜率为1± 2.(14分)18. 解析：(1) 设∠OPQ＝α，由题意，得在Rt △OAQ 中，OA ＝3，∠AQO ＝π－∠AQC＝π－2π3＝π3， 所以OQ ＝3，在△OPQ 中，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ＝π2－π3＝π6，由正弦定理得OQ sin ∠OPQ ＝OPsin ∠OQP， (2分)即3sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－α－π6，所以3sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α，则3sin α＝sin 5π6cos α－cos 5π6sin α＝12cos α＋32sin α，所以3sin α＝cos α，(4分)因为α为锐角，所以cos α≠0，所以tan α＝33，得α＝π6.(6分) (2) 设∠OPQ＝α，在△OPQ，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ＝π2－π3＝π6， 由正弦定理得OQ sin ∠OPQ ＝OP sin ∠OQP ，即3sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(8分)所以3sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－（α－θ）＝cos (α－θ)＝cos αcos θ＋sin αsin θ，所以(3－sin θ)sin α＝cos αcos θ，其中3－sin θ≠0，cos α≠0，所以tan α＝cos θ3－sin θ，(11分)记f(θ)＝cos θ3－sin θ，f ′(θ)＝1－3sin θ（3－sin θ）2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；令f′(θ)＝0，sin θ＝33，存在唯一θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得sin θ0＝33，(13分)当θ∈(0，θ0)时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增， 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2时f′(θ)<0，f (θ)单调递减，所以当θ＝θ0时，f (θ)最大，即tan ∠OPQ 最大， 因为∠OPQ 为锐角，所以∠OPQ 最大，此时sin θ＝33. 故观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33. (16分) 19. 解析：(1) 函数y ＝g(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0，b ＝－2，f(x)＝x 3－2x ＋c ，因为f(x)≥g(x)恒成立，所以x 3－2x ＋c≥ln x 恒成立，即c≥ln x －x 3＋2x.(2分) 令φ(x)＝ln x －x 3＋2x ，则φ′(x)＝1x －3x 2＋2＝1＋2x －3x 3x＝（1－x ）（1＋3x ＋3x 2）x，令φ′(x)≥0，得x≤1，所以φ(x)在区间(0，1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x≥1，所以φ(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，(4分) 所以当x ＝1时，[φ(x)]max ＝φ(x)＝1， 所以c≥1.(6分)(2) ①当b ＝－3时，f(x)＝x 3＋ax 2－3x ＋c ，f ′(x)＝3x 2＋2ax －3.由题意，得f′(x)＝3x 2＋2ax －3≤0对x∈(－1，1)恒成立， (8分)所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3＋2a －3≤0，f ′（－1）＝3－2a －3≤0，所以a ＝0，即实数a 的值为0. (10分) ②函数y ＝h(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0，b ＝－3，c ＝2时，f(x)＝x 3－3x ＋2.f ′(x)＝3x 22(12分)所以当x∈(0，1)时，f(x)>0，当x ＝1时，f(x)＝0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0. 对于g(x)＝ln x ，当x∈(0，1)时，g(x)<0，当x ＝1时，g(x)＝0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0.(14分)所以当x∈(0，1)时，h(x)＝f(x)>0，当x ＝1时，h(x)＝0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.故函数y ＝h(x)的值域为[0，＋∞). (16分)20. 解析：(1) 由2S n ＝a n ＋1－3(n∈N *)得2S n ＋1＝a n ＋2－3，两式作差得2a n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *). (2分)a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝9，所以a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，a n ≠0，则a n ＋1a n＝3(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(4分)(2) 由题意，得λa j ＋μa k ＝2×6a i ，即λ3j ＋μ3k ＝2×6·3i，所以λ3j －i ＋μk －i＝12，其中j －i ≥1，k －i ≥2，所以λ3j －i ≥3λ≥3，μ3k －i≥9μ≥9, (6分)12＝λ3j －i ＋μ3k －i≥12，所以j －i ＝1，k －i ＝2，λ＝μ＝1. (8分)(3) 由a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3n ＋1－3n －3得a 1b n ＋1＋a 2b n ＋a 3b n －1＋…＋a n b 2＋a n ＋1b 1＝3n ＋2－3(n ＋1)－3， a 1b n ＋1＋3(a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n －1b 2＋a n b 1＝3n ＋2－3(n ＋1)－3， a 1b n ＋1＋3(3n ＋1－3n －3)＝3n ＋2－3(n ＋1)－3，所以3b n ＋1＝3n ＋2－3(n ＋1)－3－3(3n ＋1－3n －3)，即3b n ＋1＝6n ＋3，所以b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *), (10分)因为a 1b 1＝31＋1－3·1－3＝3，所以b 1＝1，所以b n ＝2n －1(n ∈N *)，所以T n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12n ＝n 2(n ∈N *)，T n a n ＝n23n (n ∈N *)，当n ＝1时，T 1a 1＝13；当n ＝2时，T 2a 2＝49；当n ＝3时，T 3a 3＝13.(12分)下面证明：对任意正整数n >3都有T n a n <13，T n ＋1a n ＋1－T n a n ＝(n ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1((n ＋1)2－3n 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(－2n 2＋2n ＋1)， 当n ≥3时，－2n 2＋2n ＋1＝(1－n 2)＋n (2－n )<0， 即T n ＋1a n ＋1－T n a n<0， 所以当n ≥3时，T n a n 递减，所以对任意正整数n >3都有T n a n <T 3a 3＝13，综上，满足等式T n a n ＝13的正整数n 的值为1和3.(16分)21. A . 解析：(1) 连结OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°，AB ＝2OB . 因为CD 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°， 因为DA ＝DC ，所以∠A ＝∠C ， 所以△ADB ≌△CDO ，所以AB ＝CO ， 所以AO ＝BC ，所以AB ＝2BC .(6分)(2) 由AB ＝2，AB ＝2BC ，得CB ＝1，CA ＝3.由切割线定理，得CD 2＝CB ·CA ＝1×3＝3，所以CD ＝ 3.(10分)B . 解析：(1) AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001⎣⎢⎡⎦⎥⎤1205＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4805.(4分)(2) 由B －1A －1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51，解得X ＝AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤51＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4805⎣⎢⎡⎦⎥⎤51＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤285.因为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，所以a ＝28，b ＝5. (10分)C . 解析： 在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以圆C 的圆心的极坐标为(2，0). (5分) 因为圆C 的半径PC ＝（22）2＋22－2×22×2×cos π4＝2，(7分)所以圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (10分) D . 证明：因为x ，y 都是正数， 所以1＋x ＋y 2>33xy 2>0， 1＋y ＋x 2≥33yx 2>0, (6分)(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9xy ， 因为xy ＝1，所以(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9. (10分)22. 解析：(1) 以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝t ，则D(0，0，0)，A(2t ，0，0)，B(2t ，l ，0)，C(0，t ，0)，P(0，0，2t)，Q(t ，0，t)，所以CQ →＝(t ，－t ，t)，DB →＝(2t ，t ，0)，DP →＝(0，0，2t)，设平面PBD 的一个法向量n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝0，DP →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2tx ＋ty ＝0，2tz ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，z ＝0， 所以平面PBD 的一个法向量n 1＝(1，－2，0)，(3分) 则cos 〈n 1，CQ →〉＝n ·CQ →|n 1||CQ →|＝3t 5×3t ＝＝155，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155. (5分) (2) 由(1)知平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1，－2，0)，设PQ PA＝λ(0<λ<1)，则PQ →＝λPA →，DQ →＝DP →＋PQ →＝(0，0，2t )＋λ(2t ，0，－2t )＝(2tλ，0，2t (1－λ))，DB →＝(2t ，t ，0)，设平面QBD 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DQ →·n 2＝0，DB →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t λx ＋2t （1－λ）z ＝0，2tx ＋ty ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λx ＋（1－λ）z ＝0，2x ＋y ＝0，所以平面QBD 的一个法向量n 2＝(1－λ，2λ－2，－λ), (7分) 由题意得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝|n 1·n 2|n 1||n 2|| ＝|5（1－λ）5（1－λ）2＋（2λ－2）2＋（－λ）2|，所以59＝5（1－λ）26λ2－10λ＋5，即(λ－2)⎝⎛⎭⎪⎫λ－23＝0， 因为0<λ<1，所以λ＝23，则PQ PA ＝23.(10分)23. 解析：(1) D 1＝0，D 2＝1，(前2个全对方得分) (1分)D 3＝2, (2分) D 4＝9. (3分)(2) D n ＝(n －1)(D n －1＋D n －2), (4分) 理由如下：对A n 的元素的一个错位排列(a 1，a 2，…，a n )，若a 1＝k(k≠1)，分以下两类： 若a k ＝1，这种排列是n －2个元素的错位排列，共有D n －2个；若a k ≠1，这种错位排列就是将1，2，…，k －1，k ＋1，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n －1个元素的错位排列，共有D n －1个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到D n ＝(n －1)(D n －1＋D n －2)．(6分) (3) 根据(2)的递推关系及(1)的结论，D n 均为自然数．当n≥3，且n 为奇数时，n －1为偶数，从而D n ＝(n －1)(D n －1＋D n －2)为偶数， 又D 1＝0也是偶数，故对任意正奇数n ，有D n 均为偶数. (7分)下面用数学归纳法证明D 2n (其中n∈N *)为奇数． 当n ＝1时，D 2＝1为奇数；假设当n ＝k 时， 结论成立， 即D 2k 是奇数， 则当n ＝k ＋1时，D 2(k ＋1)＝(2k ＋1)(D 2k ＋1＋D 2))，注意到D 2k ＋1为偶数，又D 2k 是奇数，所以D 2k ＋1＋D 2k 为奇数，又2k ＋1为奇数，所以D 2(k ＋1)＝(2k ＋1)(D 2k ＋1＋D 2k )，即结论对n ＝k ＋1也成立；综上，对任意n ∈N *，都有D 2n 为奇数．(10分)。
2018苏锡常镇一模(十)数学
2018 届高三年级第二次模拟考试（十）数学（满分 160 分，考试时间 120分钟）一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5 分，共计 70分．1.已知集合 A＝｛－1，1｝，B＝｛－3，0｝，则集合 A∩B＝．2.已知复数 z 满足 z·i＝3－4i（i 为虚数单位），则 |z|＝．223.双曲线x4－y3＝1 的渐近线方程为__ ．4.某中学共有 1 800 人，其中高二年级的人数为 600.现用分层抽样的方法在全校抽取 n人，其中高二年级被抽取的人数为 _____________ 21，则 n＝．5.将一颗质地均匀的正四面骰子（每个面上分别写有数字 1， 2， 3，4）先后抛掷 2 次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于 6 的概率为．6.右图是一个算法的流程图，则输出 S的值是 __ ．7.若正四棱锥的底面边长为 2cm，侧面积为 8cm2，则它的体积为_ c m3.8.设 S n是等差数列｛a n｝的前 n 项和，若 a2＋ a4＝ 2， S2＋ S4＝ 1，则a10＝．9.已知 a>0， b>0 ，且2＋3＝ ab，则 ab 的最小值是．abtanA 3c－ b10.设三角形 ABC 的内角 A， B，C的对边分别为 a，b，c，已知tanB＝b，则cosA＝．a－ e ， x<1，11.已知函数 f（x）＝ 4 （e是自然对数的底数）．若函数 y＝f（x）的最小值是 4， x＋x， x≥1则实数 a 的取值范围为 ___ ．→ → 2 π12.在△ABC 中，点 P是边 AB 的中点，已知 |CP|＝ 3，|CA|＝4，∠ACB ＝3，则C→P·C→A＝____ ．2213.已知直线 l：x－y＋2＝0与 x轴交于点 A，点 P在直线 l 上．圆 C：（x－2）2＋y2＝2 上有且仅有一个点 B 满足 AB ⊥BP，则点 P的横坐标的取值集合为．14.若二次函数 f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）在区间 [1，2]上有两个不同的零点，则f（1）的取 a 值范围为．解答题：本大题共 6 小题，共计 90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分 14 分 )已知向量 a＝( 2sinα ，1)， b＝ 1，sin α ＋4 .(1)若角α的终边过点 (3， 4)，求 a·b 的值；(2)若 a∥b，求锐角α的大小．16.(本小题满分 14 分 )如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的高为 6，其底面边长为 2.已知点 M ,N 分别是棱A1C1， AC 的中点，点 D 是棱 CC1 上靠近 C 的三等分点．求证：(1) B 1M∥平面 A1BN；(2) AD ⊥平面 A1BN.17. (本小题满分 14分) 2 已知椭圆 C：x2＋a2yb2＝ 1(a>b>0) 经过点3，12，(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 过点 A 且互相垂直的两直线 l1，l2 与直线 y＝ x 分别相交于求直线 l1 的斜率．A 是椭圆的下顶点．E，F 两点，已知 OE＝OF，18. (本小题 16 分)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB 为 6，O 为圆心，且OC ⊥AB ，在 OC 上2π︵有一座观赏亭 Q ，其中∠ AQC ＝23π ，计划在 BC 上再建一座观赏亭3π(1) 当 θ＝ 3 时，求∠ OPQ 的大小；3(2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭 P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭 效果最佳时，角 θ的正弦值．P ，记∠ POB ＝ θ0<θ < 2 .P 处的观赏已知函数 f(x) ＝x3＋ax2＋ bx＋ c， g(x) ＝ln x.(1) 若 a＝0，b＝－2，且 f(x) ≥ g(x)恒成立，求实数 c 的取值范围；(2) 若 b＝－ 3，且函数 y＝ f(x)在区间 (－1，1)上是单调减函数．①求实数a 的值；f( x)， f (x)≥ g(x )，②当 c＝ 2 时，求函数 h(x)＝的值域．g(x)， f(x)<g(x)已知 S n是数列 {a n}的前 n 项和， a1＝ 3，且 2S n＝a n＋1－3(n∈N*)．(1) 求数列 {a n} 的通项公式；(2) 对于正整数 i，j，k(i<j<k)，已知λa j，6a i，μa k 成等差数列，求正整数λ，μ的值；(3)设数列 {b n} 的前 n 项和是 T n，且满足对任意的正整数 n，都有等式 a1b n＋a2b n－1＋a3b n －2＋⋯＋ a nb1＝ 3n 1－ 3n－ 3 成立．求满足等式Tn＝1的所有正整数 n.a n 32018 届高三年级第二次模拟考试 （十 ）数学附加题 （本部分满分 40分，考试时间 30 分钟）21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、C 、 D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做， 则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. ［ 选修 41：几何证明选讲 ］（本小题满分 10分）如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过点 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点C ，且满足 DA ＝DC.（1） 求证： AB ＝ 2BC ；B. ［选修 42：矩阵与变换 ］（本小题满分 10 分） ＝ab . （1） 求矩阵 AB ；（2） 若 B 1A 1X ＝ 5 ，求 a ，b 的值．C. ［选修 44：坐标系与参数方程 ］（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2 2， π4 ，圆心为直线 的交点，求圆 C 的极坐标方程．（2） 若 AB ＝2，求线段 CD已知矩阵 A ＝ 4 0， B ＝015，列向量 XD.［选修 45：不等式选讲］（本小题满分 10 分）已知 x， y 都是正数，且xy＝ 1，求证：（1＋x＋ y2）（1＋y＋x2）≥9.【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD 垂直于底面 ABCD ，PD＝AD ＝2AB，点 Q 为线段 PA（不含端点）上的一点．（1）当点 Q是线段 PA的中点时，求 CQ与平面 PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角 QBDP 的正弦值为32，求P P A Q的值．23.（本小题满分 10 分）在含有 n 个元素的集合 A n＝｛1，2，⋯， n｝中，若这 n个元素的一个排列（a1， a2，⋯， a n）满足 a i≠i（i＝1，2，⋯， n），则称这个排列为集合 A n的一个错位排列（例如：对于集合 A3 ＝｛1 ，2，3｝，排列（2，3，1）是 A 3的一个错位排列；排列（1，3，2）不是 A 3的一个错位排列）．记集合 A n 的所有错位排列的个数为 D n.（1）直接写 D1，D2， D3，D4的值；（2）当 n≥3 时，试用 D n－2，D n－1 表示 D n，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明： D2n（n∈N*）为奇数 .。
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2018届高三年级第二次模拟考试（十）
数学（满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1. 已知集合A = {- 1 , 1}, B = {—3, 0}，则集合A A B= _______
2. 已知复数z满足z i = 3 —4i（i为虚数单位），则|z| = _______
2 2
x y
3. 双曲线〒一1= 1的渐近线方程为
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4. 某中学共有1 800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = _______
5. 将一颗质地均匀的正四面骰子（每个面上分别写有数字 1 , 2 , 3, 4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为_________
6. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 __________ _
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7. 若正四棱锥的底面边长为_____________________ 2cm,侧面积为8cm，则它的体积为cm .
8. 设S是等差数列{a n}的前n项和，若a2 + a4= 2, S2+ $= 1，贝U a。
= ____________
2 3 l
9. 已知a>0 , b>0，且一ab，贝U ab的最小值是
a b *
ta n A 3c—b
10. 设三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b , c,已知 = ，贝U
tan B b cos A = ______
x
a—e , x<1 ,
11. 已知函数f（x）= 4 （e是自然对数的底数）.若函数y = f（x）的最小值是4,
x+一，x> 1
x
则实数a的取值范围为 ________ .
12. 在厶ABC中，点P是边AB的中点，已知|CP| = ,3, |CA| = 4,Z ACB = 2~?,贝U
3
2 2
13. 已知直线I: x—y + 2 = 0与x轴交于点A,点P在直线I上.圆C: （x—2）+ y = 2上有且仅有一个点B满足AB丄BP,则点P的横坐标的取值集合为___________
2f ( i)
14. 若二次函数f(x) = ax + bx + c(a>0)在区间［1 , 2］上有两个不同的零点，则的取
a
值范围为 _______________
二、解答题：本大题共6小题，共计90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
已知向量a=(羽sin a, 1), b= 1 , sin a+ 4 .
⑴若角a的终边过点(3, 4)，求a b的值；
(2)若all b，求锐角a的大小.
16. (本小题满分14分)
如图，正三棱柱ABCA1B1C1的高为.6，其底面边长为2•已知点M ,N分别是棱A1C1, AC 的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点.求证：
(1) B1M //平面A1BN;
(2) AD 丄平面A1BN.
17. (本小题满分14分)
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 过点A 且互相垂直的两直线 11, 12与直线y = x 分别相交于 E ，F 两点，已知 0E = OF ， 求直线11的斜率.
2 2
x y 已知椭圆 C : =+ 2= 1(a>b>0)
a b
经过点.3, 2
1 , -2?，点A 是椭圆的下顶点.
18. (本小题16分)
如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6 , O为圆心，且0C丄AB,
2 n
一座观赏亭Q,其中/ AQC = -3，计划在BC上再建一座观赏亭P,记/ POB= 0
n
⑴当=-时，求/ OPQ的大小；
(2)当/ OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭效果最佳时，角0的正弦值.在OC上有
n
0< 0<2 . P处的观赏
19. (本小题满分16分)
3 2
已知函数f(x) = x + ax + bx + c, g(x) = In x.
(1)若a= 0, b = - 2,且f(x)>g(x)恒成立，求实数c的取值范围;
⑵若b =- 3,且函数y = f(x)在区间(-1, 1)上是单调减函数.
①求实数a的值；
②当c= 2时，求函数h(x)= f ( x), f (x)
g (x), f (x f (x) <g (x)
的值域.
20. (本小题满分16分)
已知S是数列｛a n｝的前n项和，a i= 3，且2S = a n +1 —3(n € N*).
(1) 求数列｛a n｝的通项公式；
(2) 对于正整数i，j，k(i<j<k)，已知血，6a i, gk成等差数列，求正整数入曲勺值；
(3) 设数列｛b n｝的前n项和是T n，且满足对任意的正整数n,都有等式a i b n+ a2b n—1+ a s b n
n+ 1 —2 +…+ a n b1 = 3 —3n —3 成立.
“T n 1 +
求满足等式一=厅的所有正整数n.
a n 3
2018届高三年级第二次模拟考试 （十） 数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答•若多做， 则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. ［选修41:几何证明选讲］（本小题满分10分）
如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点 D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点 C ,且满足DA = DC .
⑴ 求证：AB = 2BC ;
（2）若AB = 2，求线段CD 的长.
B. ［选修42 :矩阵与变换］（本小题满分10分）
（1）求矩阵AB ;
C. ［选修44 :坐标系与参数方程］（本小题满分10分）
_ n n —
在极坐标系中，已知圆 C 经过点P 2^2, 4，圆心为直线 p in e -3 =—与极轴的 交点，求圆C 的极坐标方程.
4 0
1 已知矩阵A 0
1 ,吐0
2
a
5 ,列向量X = b
一 1 一 1
⑵若B A X =
，求a , b 的值.
D. ［选修45 :不等式选讲］(本小题满分10分)
__ 2 2
已知x, y都是正数，且xy= 1，求证：(1 + x+ y )(1 + y+ x )> 9.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
22. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD, PD = AD= 2AB, 点Q 为线段PA(不含端点)上的一点.
(1) 当点Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；
2 PQ
(2) 已知二面角QBDP的正弦值为3，求PA的值.
23. (本小题满分10分)
在含有n个元素的集合A n={1, 2,…，n}中，若这n个元素的一个排列佝,a2,…，a n) 满足a^ i(i = 1 , 2，…，n)，则称这个排列为集合A n的一个错位排列(例如：对于集合A3 = {1, 2, 3}，排列(2, 3,
1)是A的一个错位排列；排列(1 , 3, 2)不是A3的一个错位排列).记集合A n的所有错位排列的个数为
D n .
(1) 直接写D1, D2, D3, D4的值；
(2) 当n》3时，试用D n-2, D n-1表示D n,并说明理由；
(3) 试用数学归纳法证明：D2n(n € N*)为奇数.。