平面应力状态分析-主应力主平面详细推导

x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
（1）
（2）
式中， 为斜截面外法线 n 与 x 轴正向的夹角。 对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为 0，由 （2）式得：
2 xy
x y
sin 2 0 2 xy
更改等效形式 添加方程 联立（7） 、 （8）求得：
x y
cos 2 0
（7） （8）
sin 2 2 0 cos 2 2 0 1
x y 2 cos 2 0 2 x y 2 2 xy sin 2 0
2 xy
2
（9）
x y 2
2 xy
2
（10）
注意（9） 、 （10）公式正负号的对应，再将（9） 、 （10）代入公式（3）推得 主应力计算公式（5） 、 （6） ，至此，详细推导完成！
平面应力状态分析--主应力主平面详细推导
老和尚小方丈（storylee_dut@126.com） 大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司
平面应力状态有一个主应力为 0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市 场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细， 在此进行详细推导， 为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。 任意斜截面上的应力公式为：
max min
x y x y 2 xy 2 2 x y x y 2 2 xy 2
2
2
（5）
（6）
关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：
对于方程 tan 2 0

0
x y sin 2 0 xy cos 2 0 0 2
tan 2 0 2 xy
（3） （4）
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即
x y
方程（4）有两个解，主平面方位角 0 与 0 90 ，说明两个主平面互为垂直关 系。 将公式 （3） 的解回代公式 （1） ， 可得另外两个主应力， 代数值较大的记为 max ， 较小的记为 min ，则