第十一章级数

第十一章 级数

1．写出下列级数的前5项：

(1) 1

1

(1)3n n

n -∞=-∑；(2) 1

13(21)

242n n n ∞=⨯-⨯∑L L ；(3) 2

1

(ln )n

n n ∞

=∑；(4) 1

!

n n n n ∞

=∑ 解答：(1)

234511111

33333

-+-+-L ； (2) 1131351357135792242462468246810

••••••••••+++++••••••••••L ；

(3) 23456

11111

(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)

+++++L ； (4)

234511212312341234512345

••••••••••+++++L 。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级

2．写出下列级数的通项：

(1)

2341357

++++L ；

(2)

+L ；

(3)

2

242468

x x ++⨯⨯⨯⨯L 解答：(1) 21

n

n -；

(2) 1

(1)

n --

(3)

2

242n x

n

•L 。

所属章节：第十一章第一节 难度：一级

3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：

(1) 1

n n S n

+=；(2) 212n n n S -=；

解答：(1) 一般项为

1111

21

u S +==

=，

111

,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--L ，故该级数为212(1)n n n

∞

=--∑，该级

数的和为1

lim lim

1n n n n S n

→∞

→∞+==；

(2) 一般项为111

2u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==L ，故该级数

为112

n n ∞

=∑，该级数的和为21

lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。

所属章节：第十一章第一节

难度：一级

4．根据定义求出下列级数的和： (1)

1

326n n n n ∞

=+∑；(2)

11

(2)

n n n ∞

=+∑；(3)

1(1)(2)(3)

n n

n n n ∞

=+++∑；

(4)

1

n ∞

=∑

解答：(1) 11111

3211332()()1162321123

n

n

n n n n n n ∞

∞

∞

===+=+=+=--

∑∑∑； (2) 1111111111113

()(1)(2)222324354n n n n n

n ∞

∞

===-=-+-+-+=++∑

∑L ； (3)

11

1123111111

[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n n n n n n n n ∞

∞

===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；

(4)

11

n n ∞

∞

===-∑∑

1

n ∞

==

∑1==-所属章节：第十一章第一节

难度：一级

5．证明下列级数发散：

(1)

1

21n n

n ∞

=+∑；(2) 1

2

n

n n ∞=∑；(3) 11n

n n n ∞

=⎛⎫

⎪+⎝

⎭∑；(4)

1

1

1n n

n

n n

n n +

∞

=⎛⎫+ ⎪⎝

⎭∑

解答：(1) 由于1

0212n n u n =→≠+，所以级数1

21n n n ∞

=+∑

发散； (2) 由于20n n u n =→+∞≠，所以级数12n

n n ∞

=∑发散； (3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11n

n n n ∞=⎛⎫

⎪+⎝⎭

∑发散； (4) 由于1

1

11011(1)()(1)n n n

n n

n n n

n n

n n u n e n n

n +

+

=

≥

=→≠+++，所以级数111n n

n

n n

n n +

∞

=⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭∑发散。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级

6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：

(1) 11

ln(1)n n ∞

=+∑；(2)

1

π

sin 2n

n ∞=∑；(3) 2

1

1

1n n n ∞

=++∑；

(4) n ∞

=

(5)

1

n ∞

= (6) 1

1

sin n n ∞

=∑；(7)

11

(0)1n

n a a

∞

=>+∑；

(8) 1ln(1n ∞

=+∑；(9) 1!

(0)n n n a n a n

∞

=>∑ （第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题）

参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a >1时收敛，当a ≤1时发散；(8) 收敛（参考答案有误？）；(9) 当a

解答：(1) 由于11

ln(1)n n >+，而级数11n n ∞=∑发散，故正项级数1

1ln(1)n n ∞

=+∑发散；

(2) 由于sin 22n n ππ

≤，而级数1π2n n ∞

=∑收敛，故正项级数1

π

sin 2n n ∞

=∑收敛；

(3) 由于21

11n n n +⋅→+，所以正项级数21

11n n n ∞

=++∑发散；

(4)

由于

3

2

1n →

，所以正项级数1

n ∞

=