第十一章级数
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第十一章 级数
1．写出下列级数的前5项：
(1) 1
1
(1)3n n
n -∞=-∑；(2) 1
13(21)
242n n n ∞=⨯-⨯∑L L ；(3) 2
1
(ln )n
n n ∞
=∑；(4) 1
!
n n n n ∞
=∑ 解答：(1)
234511111
33333
-+-+-L ； (2) 1131351357135792242462468246810
••••••••••+++++••••••••••L ；
(3) 23456
11111
(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)
+++++L ； (4)
234511212312341234512345
••••••••••+++++L 。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级
2．写出下列级数的通项：
(1)
2341357
++++L ；
(2)
+L ；
(3)
2
242468
x x ++⨯⨯⨯⨯L 解答：(1) 21
n
n -；
(2) 1
(1)
n --
(3)
2
242n x
n
•L 。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级
3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：
(1) 1
n n S n
+=；(2) 212n n n S -=；
解答：(1) 一般项为
1111
21
u S +==
=，
111
,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--L ，故该级数为212(1)n n n
∞
=--∑，该级
数的和为1
lim lim
1n n n n S n
→∞
→∞+==；
(2) 一般项为111
2u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==L ，故该级数
为112
n n ∞
=∑，该级数的和为21
lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。
所属章节：第十一章第一节
难度：一级
4．根据定义求出下列级数的和： (1)
1
326n n n n ∞
=+∑；(2)
11
(2)
n n n ∞
=+∑；(3)
1(1)(2)(3)
n n
n n n ∞
=+++∑；
(4)
1
n ∞
=∑
解答：(1) 11111
3211332()()1162321123
n
n
n n n n n n ∞
∞
∞
===+=+=+=--
∑∑∑； (2) 1111111111113
()(1)(2)222324354n n n n n
n ∞
∞
===-=-+-+-+=++∑
∑L ； (3)
11
1123111111
[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n n n n n n n n ∞
∞
===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；
(4)
11
n n ∞
∞
===-∑∑
1
n ∞
==
∑1==-所属章节：第十一章第一节
难度：一级
5．证明下列级数发散：
(1)
1
21n n
n ∞
=+∑；(2) 1
2
n
n n ∞=∑；(3) 11n
n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝
⎭∑；(4)
1
1
1n n
n
n n
n n +
∞
=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭∑
解答：(1) 由于1
0212n n u n =→≠+，所以级数1
21n n n ∞
=+∑
发散； (2) 由于20n n u n =→+∞≠，所以级数12n
n n ∞
=∑发散； (3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11n
n n n ∞=⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑发散； (4) 由于1
1
11011(1)()(1)n n n
n n
n n n
n n
n n u n e n n
n +
+
=
≥
=→≠+++，所以级数111n n
n
n n
n n +
∞
=⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭∑发散。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级
6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：
(1) 11
ln(1)n n ∞
=+∑；(2)
1
π
sin 2n
n ∞=∑；(3) 2
1
1
1n n n ∞
=++∑；
(4) n ∞
=
(5)
1
n ∞
= (6) 1
1
sin n n ∞
=∑；(7)
11
(0)1n
n a a
∞
=>+∑；
(8) 1ln(1n ∞
=+∑；(9) 1!
(0)n n n a n a n
∞
=>∑ （第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题）
参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a >1时收敛，当a ≤1时发散；(8) 收敛（参考答案有误？）；(9) 当a 解答：(1) 由于11 ln(1)n n >+，而级数11n n ∞=∑发散，故正项级数1 1ln(1)n n ∞ =+∑发散； (2) 由于sin 22n n ππ ≤，而级数1π2n n ∞ =∑收敛，故正项级数1 π sin 2n n ∞ =∑收敛； (3) 由于21 11n n n +⋅→+，所以正项级数21 11n n n ∞ =++∑发散； (4) 由于 3 2 1n → ，所以正项级数1 n ∞ =