四年级 方阵问题 老师用 (1)
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第三讲 方阵问题
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学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
核心公式:
1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)
2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1
3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
例1:学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人?
解析:方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人)整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?
解析:根据四周人数和每边人数的关系可以知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解:方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人)整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶这个方阵共用围棋子多少个? 解析:方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。
解法1:最外边一层棋子个数:(14-1)×4=52(个)第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44(个)第三层棋子个数:(14-2×2-1)×4=36(个).摆这个方阵共用棋子:52+44+36=132(个)
解法2:还可以这样想:中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4进行计算。(14-3)×3×4=132(个)
【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人?
解析:依据:去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1可知每边的人数是:142)127(=÷+(人) 原人数是:1961414=⨯(人)
【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多少枚棋子?
解析:这要用到方阵的公式逆运算,100必然是一个数的平方数
因为1001010=⨯(人),并且是实心的方阵,所以最外层有10人。
例2:参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?
解析:如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5,去一行、一列则一共要去9人,因而我们可以得到如下公式:去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1 解 :方阵问题的核心是求最外层每边人数。 原题中去掉一行、一列的人数是33, 则去掉的一行(或一列) 人数=172)133(=÷+ 人
方阵的总人数为最外层每边人数的平方, 所以总人数为2891717=⨯(人)
【巩固】 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,
如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?
解析:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队
列的特点:
(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。
(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A 所示。因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1。
本题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人)
或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人)
还剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人)
或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人)
答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。
例3:解放军战士排成一个每边12人的中空方阵,共四层,求总人数?
解法1:这样想:把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
(1)中实方阵总人数:12×12=144(人)(2)第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人)
(3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)(4)中空方阵人数:144-16=128(人)
小结:中空方阵总人数=外边人数×外边人数-(内边人数-2)×(内边人数-2)
解法2:这样想:把中空方阵分成四个相等的长方形。
(1)每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8(人)(2)每个长方形的宽是层数:4人
(3)总人数:8×4×4=128(人)
小结:中空方阵总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【巩固】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面,每边插7面。一共要准备多少面旗子? 解析:依据求外层个数的公式:(边数-1)×4 244)17(=⨯-(面)
例4:一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?
解析:①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.
又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,则大三角形边上栽的棵
数为:17129=-⨯(棵)。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花:
483)117(=⨯-(棵)。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数为:729=-(棵)
解:大三角形三条边上共栽花:483)1129(=⨯--⨯(棵)中间画斜线小三角形三条边上栽花:213)29(=⨯-(棵)整个花坛共栽花:692148=+(棵)
【巩固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个,这个方阵共有多少人?
解析:如图,实心圆表示小明的位置,可以知道,这个队列每行都是9人。
解:每行每列数:9125=-⨯(人)
共有:8199=⨯(人)
例5:小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,
请问:最外边一层每边有多少枚棋子?
解析1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点,可知最外层共有棋子数:
(200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个)
最外层每边的棋子数:56÷4+1=15(个)
解析2:如练习中的图,把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数:200÷4=50(个)