四年级 方阵问题 老师用 (1)

第三讲 方阵问题

知识导航

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：

1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）

2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1

3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2

4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。

【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？

解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）

【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶这个方阵共用围棋子多少个？ 解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）

解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。（14-3）×3×4=132（个）

【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？

解析：依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1可知每边的人数是：142)127(=÷+（人） 原人数是：1961414=⨯（人）

【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？

解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数

因为1001010=⨯（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。

例2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？

解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 原题中去掉一行、一列的人数是33， 则去掉的一行（或一列） 人数＝172)133(=÷+ 人

方阵的总人数为最外层每边人数的平方， 所以总人数为2891717=⨯（人）

【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，

如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？

解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队

列的特点：

（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。

（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A 所示。因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。

本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人）

或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人）

还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人）

或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）

答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。

例3：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？

解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。

（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人）

（3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128（人）

小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2）

解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。

（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4人

（3）总人数：8×4×4=128（人）

小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×4

【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？ 解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）×4 244)17(=⨯-（面）

例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

解析：①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.

又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵

数为：17129=-⨯（棵）。

②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：

483)117(=⨯-（棵）。

③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：729=-（棵）

解：大三角形三条边上共栽花：483)1129(=⨯--⨯（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：213)29(=⨯-（棵）整个花坛共栽花：692148=+（棵）

【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？

解析：如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，这个队列每行都是9人。

解：每行每列数：9125=-⨯（人）

共有：8199=⨯（人）

例5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，

请问：最外边一层每边有多少枚棋子？

解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：

（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个）

最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）

解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数：200÷4＝50（个）