高等数学经管类第一册习题答案

高等数学经管类第一册习题答案
第一章答案
§1.1.1 --§1.1.3函数、函数的性质、初等函数
一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1. x -5x +11;2. 1;3. [0,1]
2
三、计算下列函数的定义域。

1. (-∞,2]⋃[3, +∞);
2. (-∞,0)⋃(3, +∞);
3. [2,3)⋃(3, +∞);
4. [0,1] 四、(1)y =u 2, u =sin v , v =ln x . (2) y =u 2, u =ln t , t =arctan v , v =2x .
⎧sin x +1, x ≥1⎧
五、 f (x )=⎧sin x -1,0≤x
⎧-sin x -3, x
§1.2.1 数列的极限
一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1.
111;2. ;3. 223
11
三、计算下列极限1. . 2. . 3. 1. 4.
23
§1.2.2 函数的极限
⎧2⎧
⎧. 5. 10 ⎧3⎧
4
一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1. a =4, b =-2;2. 1;3.
三、计算下列极限1. 2. 2. 6 . 3. 2x . 4.
1
. 5. 1 3
3α
;3. ;4. 0
5β
§1.2.3---§1.2.5 无穷小与无穷大; 极限的运算法则和极限存在准则；两个重要极限一、选择题1.AB;2.C;3. C 二、填空题1. -1;2.
⎧3⎧6
三、计算下列极限1. e . 2. ⎧ . 3. e .
4.
⎧2⎧
-6
20
5. e 2
§1.2.5--§1.2.6 两个重要极限；无穷小的比较一、选择题1.C;2.B;3.A 二、填空题1.
1
;2. k >0;3. 高. 2
1-1-22
三、计算下列极限1. 1. 2. . 3. e . 4. e 2. 5. e
4
§1.3.1 函数的连续性与间断点
一、选择题1.B;2.C;3.A 二、填空题1. x =0, ±1;2. 三、求下列函数的不连续点并判别间断点的类型。

1. x =0, 跳跃间断点 . 2. x =-1, 跳跃间断点四、x =1, 跳跃间断点. 五、a=0,b=e. 六、a=1,b=2 §1.3.2 连续函数的性质
一、(略) 。

二、(略) 。

三、(略) 。

四、提示取F (x )=f (x )-f x +
ln 5
;3. ln 2 2
⎧⎧1⎧
⎧应用零点定理。

2⎧
第一章自测题
一、选择题 1.C;2.C;3.B. 二、填空题 1. 4;2. 0;3. 充分不必要. 三、求下列极限
1. e ;
2.
-2
112
;3. 0;4. ;5. e
;6. 22
四、a =1-e . 五、(略) 六、x =±1是间断点，且是第一类间断点的跳跃间断点七、
a =e ,
b =-1
练习8 导数的概念
一、选择题
1、若f (x ) 在(a , b ) 内连续，且x 0∈(a , b ) ，则在点x 0处（ B ）
（A ）f (x ) 的极限存在且可导（B ）f (x ) 的极限存在，但不一定可导（C ）
f (x ) 的极限不存在，但可导（D ）f (x ) 的极限不一定存在
2、若函数f (x ) 在点x 0处可导，则f (x ) 在点x 0处（ C ）
（A ）可导（B ）不可导（C ）连续但未必可导（D ）不连续 3、设f (x ) 在x 0可导，lim
h →0
f (x 0-h ) -f (x 0)
=a ⋅f '(x 0) ，则a 的值为（ B ）
h
（A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）0
二、填空题
1、设f (x ) =x (x +1)(x +2) (x +2019) ，则f '(0) = 2019! .
2、若曲线y =f (x ) 在点(x 0, y 0) 处有平行于x 轴的切线，则有f '(x 0) = 0；若曲线y =f (x ) 在点(x 0, y 0) 处有垂直于x 轴的切线，则有f '(x 0) 为∞.
3、
设f (x ) =x ，则f [f '(x )]=
2
4x 2；f '[f (x )]=2x 2.
三、解答题 1
、求曲线y =
-2 8, ⎧处的切线方程和法线方程．
⎧1⎧⎧4⎧
解：y =
=x ,
2-51y '=-x ⇒k 切=y 'x =8=-
348
111
=-(x -8) ；法线方程：y -=48(x -8) 4484
故所求的切线方程：y -
⎧1-e x ⎧
2、设f (x ) =⎧x
⎧0⎧
2
x ≠0x =0
，求f '(0).
解：由导数的定义，
1-e x
-0
f (x ) -f (0)1-e x -x 2
f '(0)=lim =lim =lim =lim =-1 22x →0x →0x →0x →0
x -0x -0x x
2
2
⎧x 2+1, x
3、函数f (x ) =⎧在点x =1处是否可导? 为什么?
2x , x ≥1⎧
f (x ) -f (1)(x 2+1) -2x 2-1
=lim =lim =lim(x +1) =2 解：f -'(1)=lim x →1x →1x →1x →1 x -1x -1x -1f (x ) -f (1)2x -2
f +'(1)=lim =lim =2 x →1x →1
x -1x -1
-
-
-
-
+
+
由f -'(1)=f +'(1)=2，得
f '(1)=2，故f (x ) 在点x =1处可导
练习9 求导法则（1）
一、选择题
1、曲线y =x 3-3x 上切线平行x 轴的点有（ C ）
(A)（0，0） (B)（1，2） (C) （-1，2） (D)（-1，-2）
1
sin 2x 2
1111
(A) sin x (B) cos 2x (C) -cos x (D) 1-cos 2x
24243、设y =f (-x ) , 则y ' =（ D ）
(A) f '(x ) (B) -f '(x ) (C) f '(-x ) (D) -f '(-x )
2、下列函数中（ B ）的导数不等于
2
2
二、填空题
2
1、设曲线y =x +5x +4，已知直线y =3x +b 为该曲线的切线，则b =3. 2
2、已知a 为实数，f (x )=x -4
(
. )(x -a )，且f '(-1)=0，则a =12
23
3、曲线y =x -1与y =1+x 在x =
x 0处的切线互相垂直，则x 0=
三、求下列函数的导数y '： 1、y =解：
ln sin x
x -1
y '=
(x -1)cot x -lnsin x
2
(x -1)
2、
y =ln(x +
解：y '= 3、y =e
sin 2
1x
2x ) =
=
12sin 1
解：y '=-2sin e x
x x
2
4、y =x sin
2
1
x
11-cos x x
解：y '=2x sin
5、y =x arccos x --x 2
解：y '=arccos x +x ⋅(
=arccos x
练习10 求导法则（2）
一、选择题
1、已知一质点作变速直线运动的位移函数S =3t 2+e 2t , t 为时间，则在时刻t =2处的速度和加速度分别为（ A ）
（A ）12+2e 4,6+4e 4 （B ）12+2e 4,12+2e 4 （C ）6+4e 4,6+4e 4 （D ）12+e 4,6+e 4 2、设f (0) =0，f '(0) 存在，则lim
x →0
f (x )
=（ C ） x
（A ）0 （B ）f (0) （C ）f '(0) （D ）f ''(0) 3、y =x n +e ax , 则y (n ) =( D )
（A ）a e （B ）n ! （C ）n ! +e （D ）n ! +a e
二、填空题
1、设f (x ) =a x +x a （常数a >0, a ≠1）则f '(a ) +[f (a ) ]＝a
n ax
ax
n ax
'
a
(lna +1)
-2-2x 2
2、设y =ln( 1-x ) ，则y ''=2
2
(x -1)
2
3、设y =f (x ln x ) ，其中f (u ) 二阶可导，则y '=(lnx +1) f '(x ln x )
三、解答题
⎧x =a (t -sin t ) dy
1、求参数方程⎧所确定的函数的导数.
dx y =a (1-cos t ) ⎧
dy
解：=
dx
dy =
a sin t sin t
=
a (1-cos t ) 1-cos t
2、求由方程xy 3-3x 2=xy +5所确定的函数的导数
dy . dx
解：方程两边同时对x 求导，得y 3+x ⋅3y 2⋅y '-6x =y +xy '从而， (3xy 2-x ) y '=y +6x -y 3
dy 6x +y -y 3
故所求导数为： =2
dx 3xy -x
3、求曲线解：
{
x =1+t 2
y =t -arctan t 在t
=1处的切线方程.
dy =dx k 切=
dy =
1-1+t 2t
=
t
2
2(1+t )
dy 1
= dx t =14
y =1-
当t =1时，x =2,
π
4
故所求切线方程：y -1+
π
1
=(x -2) 44
π
3
) 的切线相垂直的直线方
4、求过点M 0(-1, 1) 且与曲线2e x -2cos y -1=0上点(0, 程
解：方程2e -2cos y -1=0的两边同时对x 求导，得
x
e x 2e +2sin y ⋅y '=0⇒y '=-⇒k 1=y '(0,π) =sin y x
设所求直线的斜率为k
2，由题意有k 1k 2=-1⇒k 2=
故所求直线方程为：y -1=
x +1)
练习11 函数的微分
一、选择题
1、若f (x ) 为可微函数，则当∆x →0时，∆y -dy 是∆x 的（ A ）（A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶无穷小（D ）线性函数
2、若f (x ) 在x 0处不连续，则f (x ) 在x 0处（ A ）
（A ）必不可微（B ）一定可导（C ）可能可导（D ）可能可微二、填空题 1、
11dx =d ；d (-e -2x ) =e -2x dx ；d (tan3x ) =sec 23xdx
232
、d (
=
d
=d (sin2x )
=d (2x
) =dx
3、y =x 在x =0处不可微. （填可微或不可微）. 三、求下列函数的微分dy ： 1
、f (x ) =
21+ln x 解：dy =
2、y =arctan e
x
e x
dx 解：dy =2x
1+e
3、y =cos(解：dy
1-ln x
) x
=
2-ln x 1-ln x
sin() dx 2
x x
y
) =ln x 2+y 2所确定的隐函数的微分dy x
y 122
解：原方程化为 arctan() =ln(x +y )
x 2
四、求由方程arctan(
方程两边同时对x 求导，得
1y 'x -y 12x +2y ⋅y '
⋅=⋅2
y 222
x 2x +y 1+()
从而， y 'x -y =x +y ⋅y ' 故所求微分为： dy
五、求由方程x +sin y -ye =1所确定的隐函数的微分dy 解：方程两边同时对x 求导，得 2x +cos y ⋅y '-y 'e -ye =0
从而， (cosy -e ) y '=ye -2x
x
x
x
x
2
x
=
x +y
dx x -y
ye x -2x
故所求微分为：dy =dx x
cos y -e
导数自测题（2）
一、选择题：（3分×5=15分） 1、已知y （A ）e
=e f (x ) ，则y ''=（ D ）
（B ）e
f (x )
f ''(x )
f (x ) f (x ) 2
（C ）e [f '(x ) +f ''(x )] （D ）e {[f '(x )]+f ''(x )}
f (x )
2、设f (x ) =(x -a ) ϕ(x ) ，且ϕ(x ) 在x =a 处连续且不可导，则f (x ) 在x =a 处（ C ）
（A ）连续但不可导（B ）可能可导，可能不可导（C ）仅有一阶导数（D ）可能有二阶导数 3
、设y =
dy =（ D ）
7（A ）x 8
dx -1 （B ）x 8
dx （C ）8-17
-17x 8dx （D ）8
x 8dx
4、设对于任意的x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，f '(-x 0
) =-k ≠0，则f '(x 0
) =（ B （A ）k （B ）-k （C ）
1k （D ）-1k
5、设f (x ) =2x 2
+x x ，则f (x ) 在x =0处（ C ）
（A ）不连续 (B)一阶导数不存在 (C) 二阶导数不存在 (D) 二阶导数不存在
二、填空题：（3分×5=15分） 1、设f
(n )
(x ) 存在，y =f (ax +b ) ，则y (n ) =a n f (n ) (ax +b )
2
2、设f (x ) =x 3
，则在x =0处 3、f (x ) 在x x ) -f (x 0处可导，又lim
f (x 0-20)
x →0
x
=4，则f '(x 0) =-2
4、设y =(1+x 2
) arctan x ，则y ''(0)=0
5、设y =x 3
+x ，则
dx 1dy
=
y =2
4
）
三、解答题（6分×6=36分）
1、设y =x arctan x -ln +x 2，求dy 解：
1x 12x
y =x arctan x -ln(1+x 2) ⇒dy =arctan x +-⋅dy =arctan xdx 22⇒21+x 21+x
2、设f (x ) =ππ+πx +x π+x x , 求f ' (x ).
解：f (x ) =ππ+πx +x π+e x ln x ⇒f '(x ) =πx ln π+π⋅x π-1+x x (lnx +1) 3、求由方程 x
y
=y x 确定y =y (x ) , 求dy .
x ln y
11
y ⋅=ln y +x ⋅⋅y ' x y
ln y -
解：方程两边同时取ln ，得y ln x =
方程两边同时对x 求导，得 y 'ln x +
y
x y dx 从而 y '(lnx -) =ln y - 故所求微分为：dy =
y x ln x -y
4、求曲线y =e +x 上横坐标x =0的点处的法线方程, 并计算从原点到此法线的距离.
2x
2
2x 22x
解：y =e +x ⇒y '=2e +2x ⇒k 切=y 'x =0=2⇒k 法=-
11=- k 切2
曲线y =e +x 上当x =0时，y =1
2x
2
所求的法线方程为：y -1=-原点到此法线的距离为：d =
1
(x -0) ⇒x +2y -2=0
2
=
5、利用取对数求导法求函数y =x sin x (x >0) 的导数解：y =x
sin x
⇒ln y =sin x ln x ⇒
y 'sin x sin x =cos x ln x +⇒y '=y (cosx ln x +) y x x
6、设曲线y =x 2+x -2在点M 处的切线垂直于直线4y +x +1=0，求该曲线在点M 处的法线方程.
解：设M (x 0, y 0) ，y =x 2+x -2⇒y '=2x +1⇒k 切=2x 0+1
114y +x +1=0⇒y =-x -
44
1
y =x 2+x -2在点M 处的法线斜率为：k 法=-
4
⇒y =x 2+x -2在点M 处的切线斜率为：k 切=4=2x 0+1
故x 0=
37, y 0= 24
所求法线方程为：y -四、思考题:
713
=-(x -) 442
⎧x =ln(1+t 2) dy d 2y
, 2（7分） 1、求由参数方程⎧所确定的函数的导数
dx dx ⎧y =arctan t
dy
=解：dx
dy dt
=
1+t 1+t 2
d 2y 1
=， 2=
dx 2t
dy '
=
-2t 2
1+t 2
1+t 2=-3
4t
2
2
d y dy d y
2、求由方程y ln y =x +y 所确定的隐函数y =y (x ) 的导数，2及2 dx dx dx
解：方程两边同时对x 求导，得 y 'ln
x =0
（7分）
1
y +y ⋅⋅y '=1+y '
y
x =0
d 2y d 2y dy '11dy 1从而，2=，2=() '=-=3
dx dx ln y y (lny ) dx ln y dx
1
=-
e
1⎧2
⎧x sin , x ≠0'
3、讨论函数f (x ) =⎧在x =0的连续性、可导性及导函数f (x ) 的连续性. x
⎧x =0⎧0,
解：lim f (x ) =lim x sin
x →0
x →0
2
1
=0，f (0)=0⇒lim f (x ) =f (0) 故f (x ) 在x =0处连续
x →0x
1x 2sin -0
f (x ) -f (0)1f '(0)=lim =lim =lim x sin =0 x →0x →0x →0
x -0x -0x
故f (x ) 在x =0处可导
11111⎧⎧2
⎧2x sin +x cos ⋅(-2), x ≠0⎧2x sin -cos , x ≠0
f '(x ) =⎧=⎧x x x x x
⎧⎧x =0x =0⎧0, ⎧0,
由lim f '(x ) =lim(2x sin
x →0
x →0
11
-cos ) 不存在，故导函数f ' (x ) 在x =0处不连续 x x
⎧x 2, x ≤1,
4、已知f (x ) =⎧
⎧ax +b , x >1.
（1）确定a , b 使f (x ) 在实数域内处处可导；
（2）将上一问中求出a , b 的值代入f (x ) ，求f (x ) 的导数. 解：（1）f (x ) 在实数域内处处可导，则f (x ) 在x =1处连续
f (x ) =lim x =1, lim f (x ) =lim(ax +b ) =a +b ⇒a +b =1 由lim --++
x →1
x →1
x →1
x →1
2
f (x ) -f (1)x 2-1f -'(1)=lim =lim =lim(x +1) =2，x →1x→1
x -1x -1x →1f (x ) -f (1)(ax +b ) -1
f +'(1)=lim =lim x →1x →1
x -1x -1
-
-
-
+
+
由f '(1)=f -'(1)=f +'(1)=2，得a =2, b =-1
⎧2x , x
⎧2x , x
f (x ) =2, x =1=（2）从而⎧⎧
2, x ≥1. ⎧2, x >1⎧
⎧
5、设f (x
) 处处可导，g (x ) =g '(x ) .
解：g '(x ) =
'
参考答案
§2.3.1 一１、Ａ２、Ｃ二１、ξ=
2 ２、１
三１、３个根（１，２），（２，３），（３，４）
２、设f (x ) =x 5+x -1⇒f (0) =-1, f (1) =1, f ' (x ) =5x 4+1>0 ３、设F (x ) =xf (x ) ⇒F ' (x ) =f (x ) +xf ' (x ) 、由罗尔定理得出§2.3. ２一１、Ｄ二１、１２、
191
３、a =-3, b = 三１、（洛必623
1e x =lim 达法则）２、lim ++
x →0x x →0
1
3x
1
e
1x
sin 2x -x 2-sin 2x
=1 ３、 lim ==lim =－
x →0x →06x x 4
21⎧⎧
ln ⎧1+() x +() x ⎧
33⎧
lim ⎧x →+∞x
121
４、lim 3(1+() x +() ) =2e
x →+∞333
５、lim (2x ) (1+
x →+∞
1
2
2
1x
lim
x 3
=3e 0=３
x x →+∞2) =2e =2e 0=2 x 2
f (n +1) (ξ)
§2.3. ３一１、R n (x ) =(x -x 0) n +1 R n (x ) =o ((x -x 0) n )
(n +1)! 111
２、2+(x -4) -(x -4) 2+(x -4) 3-
464512
15(x -4) 44! 16(4+θ(x -4))
7
2
x 3x n
３、x +x ++ ++0(x n )
2! (n -1)!
2
151111
二１、（提示：(1+) 3=1+⨯+0() ）２、（同样用皮亚洛余项）
63x 3x x 1x 212222
+0(x 2) ）三略３、－皮亚洛余项（(1+x ) =1+x +0(x ) ，cos x =1-
122! 2
§2. ４.1 一１、C ２、D ３、B 二１、－
1
1
1
2、[2, +∞), (0, 2] 3
-3
三１、极大值f (-3) =5e ，极小值f (0) =-1，最小值f (0) =-1，无最大值
１、递减间区： (0, 1) ，递增区间：(-∞, 0), (1, +∞) f (0) =3为极大值, f (1) =2为极小值
３、
d =
2s 2s ，h = 3π3π
§2. ４. ２一１、Ｄ２、Ｄ３、Ｃ二１、y =1, x =±1
２、a =-6, b =9, c =2（提示：极值y ' =0, 拐点y " =0）３、递减区间：
18
(-∞, 0), (1, +∞) ，递增区间：(0, 1) f (0) =-1为最小值，无最大值；拐点：(-, ) ；
29
渐
近
线
：
y =0, x =1
三设
f (x ) =πsin x -2x ⇒f ' (x ) =πcos x -2=0⇒x 0=arccos
f " (x ) =-πsin x ⇒f " (x 0) =-πsin(arccos
故f (x ) >f (0) =f () =0
2
π
2
π
)
π
2
§2. ４. ３§2. ４. ４一１、递减区间：(-1, 1), (1, 3) ，递增区间：(-∞, -1), (3, +∞) ；
f (-1) =-2为极大值，f (3) =0为极小值；无拐点；斜渐近线：y =
二略三K =2, ρ=
1
(x -5) 4
1 2
自测题中值定理及导数应用（答案）
一、D ，D ，B ，B ，A 二、1,-1 2, 2 3, ln5 4,2 5, 23 三、1、设x －＝ｔ→0，原式＝lim
π
2
t →0
ln cos t 1
=- 2
84t
e x +x 2sin 2x +1-cos x 3
=1 = 3、原式=lim 2、原式=lim x 2x →+∞x →0x (1+e ) 2x
1
ln(1+x 2e x )
1-cos x
x →0
lim
x 2e x 2sin 2
2
4、原式=lim e
x →0
=e
=e 2
x
四、设f (x ) =e -x +cos x -2⇒f (x ) =e -sin x -1
x '
⇒f " (x ) =e x -cos x ⇒f '" (x ) =e x +sin x >0f " (x ) >f " (0) =0, f (x ) >f (0) =0
既
⎧8a -4b +2c -d =-44⎧a =1⎧⎧b =-3' 2
⎧⎧y =3ax +2bx +c ⎧a +b +c +d =-10⎧五、⎧⇒⇒⎨⎨"
⎧⎧12a -4b +c =0⎧c =-24⎧y =6ax +2b
⎧⎧⎧6a +2b =0⎧d =16
六 f " (x ) 存在
∴f (x ), f ' (x ) 及F （ｘ）在[1,2]上连续
F ' (x ) =f (x ) +(x -1) f ' (x ) ⇒F ' (1) =0
F (1) =0, F (2) =0⇒∃ξ0∈[1, 2], F ' (ξ0) =0∃ξ∈[1, ξ0]⇒F " (ξ)=0
七、L =
练习18 不定积分的概念与性质参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C 二、填空题 2
1642+,(0
，切点横坐标0x 24-x 23
1. sin x
2. x cot x +c
3. y =2x -三、求不定积分 1、
12
x +3 2
⎧(x ⎧
3
-2x 2+3dx =
)
1423
x -x +3x +c 43
2
2、sec x (secx -tan x ) dx =sec x -sec x tan xdx =tan x -sec x +c
2⋅3x -5⋅2x 1⎧2⎧⎧2⎧3、⎧=2dx -5dx =2x -5⋅+c ⎧ ⎧x ⎧⎧3⎧3⎧⎧3⎧ln 2-ln 3
4、
x x
112
=⎧1+cos 2x ⎧2cos 2x dx =⎧2sec xdx =2tan x +c
3x 4+3x 2+1
=x 3+arctan x +c 6、⎧(tanθ+cot θ) 2d θ=tan θ-cot θ+c 5、⎧2
x +1
7、
x 11
=-⎧(1-x ) 32(1-x ) 21-x +c
8、
⎧
(1－x )2=
x
⎧(x
-1
3
363
-2x +x ) dx =x 3-x 3+x 3+c
258
2
353
255
练习19 换元积分法与分部积分法（1）参考答案
一、选择题
1、D
2、C
3、D 二、填空题 1、(
⎧
11
+1) d sin x =-+sin x +c
sin x sin 2x
f (x ) dx =F (x ) +C , 则⎧f (ax +b ) dx = -x
2、若
⎧
1
F (ax +b )+c a
3、设f (x ) =e
，则
⎧
f (lnx ) 1
= -+c x x
三、求不定积分 1、xe 2、
⎧
-x 2
dx =-
1-x 21-x 22
e d -x =-e +c 2⎧2
()
⎧x
⎧
1-ln x
2
=⎧
sin x
1-ln x
=3
2
ln x =arcsin ln x +c
2
+c
3、
tan x cos x
=⎧
cos x 2
x
4、⎧
x
=⎧xd tan x =x tan x +ln cos x +c cos 2x 5、
⎧
x +arccos x -x 2sin 2x
=⎧
x -x
+⎧2
arccos x -x 2
=--x -
1
(arccos x )2+c 2
6、
⎧1+cos 2x ⎧
3
dx =2
1
+c
21+cos 2x 13
3
7、cos θd θ=sin θ-sin θ+c 8
、
=2+c
练习20换元积分法与分部积分法（2）参考答案
一、选择题
1、C
2、B
3、B 二、填空题
1、arcsin x dx =x arcsin x +-x 2+c
⎧
2、
⎧⎧
36-x dx =18arcsin
x x +36-x +c 62
3、x cos x dx =x sin x +cos x +c 三、计算题 1、
⎧x
1-x
dx =ln x -ln 1+-x 2+c 2、令x +1=t , x =t 2-1
()
dx =2tdt
则
⎧1+
dx x +1
=⎧
2t 1⎧⎧=2⎧ 1-⎧dt =2x +1-2ln(1+x +1) +c 1+t ⎧t +1⎧ 3、
⎧
x -93dx =x 2-9-3+c x x
x 2112
ln (x -1)-(x -1)-ln (x -1)+c 4、⎧x ln (x -1)dx =242
5、xe
⎧
-2x
1-2x 1-2x x +ln 3x 1ln x
dx =-xe -e +c 6、⎧=--+c 2
24(x ln x ) ln x x
1x
e (sinx +cos x ) +c 8、⎧e dx =2e 2
练习21几种特殊类型函数的积分
7、e cos xdx =
⎧
x
-2e
+c 四略
一、求不定积分
1、ln x -3-ln x -2+c
2、ln x -2+ln x +5+c
3、ln x -
4、2ln +e x -1-x +c
5、6(-) +c
1
ln x 2+1+c 2
()
)
x 2tan +1
x x 26、x tan -2ln cos -ln +cos x +c 7、+c 22不定分自测题答案
一、选择题 1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6、D 二、填空题
1 . 3cot 4x 2. c 3. -三、计算题 1. - 4.
ln x x
+c 4. -F (e -x ) +c 5. arcsin +c x 3
11
-+c 2. ln sin(x 2+1) +c 3. x ln(x ++x 2) -+x 2+c ln x x
x x 2+1
+c 5. 2x -4x +4ln(1+x ) +c 6. cos x -2
sin x
+c x
2
7. 2ln x +3x -8+c 四、 y ''=6x ∴y '=3x 2+C 1y =x 3+C 1x +C 2
又
在(0, -2)
的切线为
2x -3y =6⇒k 切=
2
3
∴k 切=C 1=
2 3
∴y =x 3+
22
x +C 2 又过点(0, -2) ∴C 2=-2 故曲线为y =x 3+x -2。

33
f (x )
=xe x ln x -e x +c 五⎧ln x ⋅f '(x )dx =f (x ) ln x -⎧x 附加题：t =sin 2x sin x =
x =arcsin f (x ) =
arcsin x
x
则
⎧
x -x
f (x )dx =-2-x arcsin x +2x +c
练习21
一、1 C 2 C 3 D
二、1.1）π 2）0 3）2 4）0 2. 1）> 2) > 3)
三、
dx 12
y =x +1 五、 1）27m 2） 6s 四、⎧01+x 2
2
1
练习22
一、1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 二、
1.0
2.1
3.2224
5 cos t dt -2x cos t 2⎧x 0
-cos x
6 a =2 7.1/12 e y
三、1. 2xe x -e -x 2. -7/6 3. 1+π/4 4. 8 5. 2
练习23
一、1 D 2 A 3 B 4 D 二、1.1/200，
2
1) 3. 4. π-4/3 5.1/6 6.1/8
练习24
2
一、1 A 2 B 二、1. 2e +2 2. π/2-1. 3.f (x ) =ln x - 42
π
6
-
8
2x
4. 7 e 2
三、1.2π 2.2ln 2-
3111 3.(-π+ln 3-ln 2 4. π/4-1/2 44922
π
1
5. (1+e 2)
6. 3(e-2) 2
练习25
一、C 二、
1. (2x -x ) dx 2
π/2y
) dy 2.⎧3sin 4t cos 2tdt 3. 8/3
02
3
t
2
三、1.16/3 2.3πa 3.s =s 1+s 2=t -
111s ''()
224
2
11222
'x dx +x dx -(1-t ) t , s =0, t =, ⎧0⎧t
2
1
=s (0)=s (1)=
3
练习26
一、1 C 2 C 二、1. 3πa /2 2.128π/7,64π/5 3. 14/3 三、1. 36N 2.210 3.4π
练习27
2
一、1 C 2 D 3 B 二、1. p 1, p ≤1 3.k > 1 4. a=2 5.1
1
3.8/3 a 2
定积分自测题（2）答案
一、选择题：1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 二、填空题：6、
112
7、2x+1 8、1-e
x
9、-2 10、0.5
三、计算下列各题 11、原式=
⎧
1
-2
(x -2y -3) dx -⎧(x 2-2x -3) dx = 1
2
3
7 3
12
=13
、原式=
⎧
2
1
2tdt
=2+2ln 2-2ln 3 1+t
⎧
e
1
=arcsin ln x
e 1
=
π
2
14
、原式=
⎧
1ππ
令sin t =1-x πcos t (-cos t ) dt =⎧2(1+cos 2t ) dt = 2042
1
15、原式=x ln(1+x )
-⎧
x
=2ln 2-1 01+x
1
1π12x 2x 2
16、原式=I =cos xde =e cos x
2⎧02
1
I ==(e π-2)
5
π
20
11π112x
-+e -I +⎧e sin xdx =2442
17
、原式=
5⎧-∞
1+x +2) ⎧⎧⎧
2
=
arctan x +2) 5+∞
-∞
=
5
-y
18、对等式两边求导sin x +e y y '=0 y '=-e s i n x
2
19、证明：由积分中值定理∃ξ∈(0,1) 使得3
⎧
1
22
f (x ) dx =3f (ξ)(1-) =f (ξ) =f (0)
3
f (x ) 在[0,ξ]满足罗尔定理∃c ∈(0,ξ) 使f '(c ) =0，即在(0, 1) 内至少存在一点c ，使f '(c ) =0.
11111111
x (1-x ) df (x ) =x (1-x ) f (x ) -f (x )(1-2x ) dx -(1-2x ) df (x )
'''0⎧⎧⎧0002222
111111
=-(1-2x ) f (x ) 0-⎧f (x ) dx =f (1)+f (0)-⎧f (x ) dx
00222
2x
21、方程求导 f (x ) =-x 2f (x ) +2x f (x ) = 取x =1代入原式 2 1+x
12x 11121
=+c =ln(1+x ) =ln 2=+c c =l n 2- 0⎧01+x 2222
20、
22、原式=lim
x →0
x ⎧f (t ) dt -⎧tf (t ) dt
x x
x ⎧f (u )(-du )
x
x
=lim
x →0
x ⎧f (t ) dt -⎧f (t ) dt
x x
x ⎧f (u ) du
x
⎧=lim
x →0
f (t ) dt +xf (x ) -xf (x )
⎧
x
f (u ) du +xf (x )
=lim
x →0
f (x ) f (0)1
==
f (x ) +f (x ) +xf '(x ) 2f (0)2
定积分的应用解答自测题（3）
一．选择题：1．（C ） 2．（A ）3．（D ）4．（B ）5．（C ）6．（B ）二．解
答题：
1．解：易见A 的两条边界曲线方程分别为
x =1
x =y (0≤y ≤1)
11
∴v =π⎧⎧2-(1dy -π⎧(2-y ) 2dy =2π⎧(1-y ) 2⎧dy
0⎧00⎧
1
2
1(1-y ) ⎧π2π
=2πarcsin y +=-
23⎧3⎧02
2
22
3
1
2
2a 2y 4522
V 1=π⎧(2x ) dx =π(32-a ) V 2=πa ⋅2a -π⎧dy =2πa 4-πa 4=πa 4 2．（1）
4543
（2）设V =V 1+V 2=π(32-a ) +πa V '=4πa (1的区间（0，2）内唯-a ) = 0
5
时,V '>0;当a >1时,V '3．解：（1）
3246
⎧A =4⎧ydx =4πa sin t ⋅3a ⋅cos t ⋅(-sin t ) dt =12⎧2a 2⎧sin t -sin t dt =a ⎧⎧0082
a
3
2
π
π
（2）
L =4
=4⎧23a cos t sin tdt =6a
（3）V =2
⎧
a
πy dx =2ππa 2sin 6t ⋅3cos 2t ⋅(-sin t ) dt =
2
2
32
πa 3 105
4．解：y '=2(x -1) y '(2)=2 ∴k 法=- V =
法线：y -1=-(x -1) 即y =-+2 222
⎧
2
1
183⎧24⎧π(-x +2) -π(x -1) dx =π ⎧⎧260⎧⎧ 5．解：抛物线过（0，0）点，∴c =0∴y =ax 2+bx 又⎧
1
(ax 2+bx ) dx =
1
2
4a b 48-9b
∴+=即a = 93296
2
⎧1(8-9b ) 2(8-9b ) ⋅b b 2⎧a 2ab b 2
+) =π⎧⋅ V =⎧π(ax +bx ) dx =π(+++⎧
052336123⎧⎧5
依题意V b '=0即6. c =k π, k ∈Z
π⎧
-b 9⋅) -(9) -8b 18b 5⎧2(8⎧2
++⎧=0⇒b =2∴, a =-
180123⎧⎧3。