余弦定理(55张PPT)

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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
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b＋c 变式训练2 在△ABC中，已知cos 2 ＝ 2c (a，b，c分
2A
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
b＋c 解：在△ABC中，由已知cos 2 ＝ 2c 得
2A
1＋cosA b＋c b 2 ＝ 2c ，∴cosA＝c . b2＋c2－a2 b 根据余弦定理得 ＝ ， 2bc c ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
[点评]
在一些复杂的图形问题中，我们要善于分析
图中哪些三角形的条件足够求解该三角形，哪些三角形的 条件还不够求解该三角形，对那些条件不够的三角形要去 探索它与其他三角形之间的联系，有时也可直接设出其中 的边和角，然后列方程(组)求解．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
[点评]
1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属
于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值． 2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．
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第一章 1.1 1.1.2
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变式训练1
已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，
求△ABC的各角度数．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 b2＋c2－a2 6＋ 3＋12－4 2 cosA＝ ＝ ＝ ，∴A＝45° . 2bc 2 2× 6× 3＋1 a2＋c2－b2 4＋ 3＋12－6 1 cosB＝ 2ac ＝ ＝ ，∴B＝60° . 2×2× 3＋1 2 ∴C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
提示：能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种 情况：
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
图①中已知角A和边a，b，可先由正弦定理先求角B和 角C，继而可求边c. 图②中已知角A和边b，c，可先由余弦定理求边a，继 而可由正弦定理求角B和角C.
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第一章 1.1 1.1.2
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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第一章 1.1 1.1.2
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课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
[正解]
∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角． 由余弦定理，得 a2＋b2－c2 k2－4k－12 cosC＝ 2ab ＝ <0. 2kk＋2 ∴k2－4k－12<0，得－2<k<6. 由两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)>k＋4. ∴k>2. 综上所述，2<k<6.
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则 a2＝__________________ b2＋c2－2bccosA ，
2 2 a ＋ c －2accosB ， b ＝__________________
2
2 2 a ＋ b －2abcosC c ＝__________________.
2
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第一章 1.1 1.1.2
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2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
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第一章
解三角形
第一章
解三角形
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系列丛书
1.1 正弦定理和余弦定理
第一章
解三角形
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系列丛书
1．1.2
课前自主预习
余弦定理
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论． 2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状.
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
自我纠错
易错点：忽视构成三角形的条件 [错题展示] 已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c
＝k＋4，求k的取值范围．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
[错解]
∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
[分析]
将四边形ABCD分成△ABD和△BCD，在△
ABD中，用余弦定理求出BD，在△BCD中，用正弦定理即 可解出BC.
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第一章 1.1 1.1.2
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[解]
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－
2AD· BD· cos∠ADB， 设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60° ， 即x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . 16 在△BCD中，由正弦定理得BC＝sin135° · sin30° ＝8 2.
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 __________________．
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第一章 1.1 1.1.2
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思考感悟
1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理 是否能求出其他元素？
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第一章 1.1 1.1.2
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
典例导悟
类型一 [例1] 利用余弦定理解三角形 在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30° ，求
边a、角C和角B.
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
[解]
直接应用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA ＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30° ＝3，∴a＝ 3. a2＋c2－b2 32＋2 32－32 1 ∴cosB＝ ＝ ＝ . 2ac 2 2× 3×2 3 ∴B＝60° ，∴C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝90° .
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第一章 1.1 1.1.2
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3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？
提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0° <A<90° ；反 之，若0° <A<90° ，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90° ；反之，若A ＝90° ，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90° <A<180° ；反之， 若90° <A<180° ，则a2>b2＋c2.
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60° . 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120° ，∴△ABC是等边三角形．
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Байду номын сангаас
第一章 1.1 1.1.2
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[点评]
判断三角形形状的方法
(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
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第一章 1.1 1.1.2
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第一章 1.1 1.1.2
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变式训练3
如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，
4 3 AB:AC＝7:8，sinB＝ 7 ，求BC边上的高AD的长．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x， 7x 8x 由正弦定理，得sinC＝sinB， 7xsinB 7 4 3 3 ∴sinC＝ 8x ＝8× 7 ＝ 2 . ∴C＝60° (C＝120° 舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不 符合要求)．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
各角 ； (1)已知三边，求_____
∴C为钝角． 由余弦定理，得 a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab k2＋k＋22－k＋42 ＝ 2kk＋2 k2－4k－12 ＝ <0. 2kk＋2
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
∴k2－4k－12<0，得－2<k<6. 又k为三角形的边长， ∴k>0. 综上所述，0<k<6. [错因分析] 忽略了三边k，k＋2，k＋4构成三角形的 条件．
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第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x· 15cos60° ， ∴x2－8x＋15＝0. ∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35. 4 3 在△ABD中，AD＝ABsinB＝ 7 AB， ∴AD＝12 3或AD＝20 3.
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第一章 1.1 1.1.2
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类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
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第一章 1.1 1.1.2
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类型三 [例3]
正、余弦定理的综合应用 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD
＝10，AB＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求BC的 长．
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第一章 1.1 1.1.2
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