离散数学--关系的性质(数学教材)
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4.3 关系的性质
自反性 反自反性
对称性
反对称性 传递性
1
定义
表达 式
关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
传递
x∈A,有 x∈A,有 <x,x>R), <x,x>R,
若<x,y>∈R且x 若<x,y>∈R 若 <x,y>∈R y ,则<y,x> R <y,z>∈R，则 有<y,x>∈R), <x,z>∈R),
RRR
对M2中1所 在位置, M中相应 位置都是1 如果顶点 xi 连通到 xk , 则从 xi 到 xk 有边
关系 图
2
自反性与反自反性
例： 自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系
3
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中
21
推论 设R为有穷集A上的关系，则存在正整数r 使得 t(R)=R∪R2∪…∪Rr
22
闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E
Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + …
E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
14
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 R11 √ √ √ √ √
R1∩R2
R1∪R2 R1R2 R1∘R2
√ √ ×
√
√ √ √
×
√ √ √
×
√ × √
×
√ × ×
×
15
Microsoft Office PowerPoint，是微软 公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或 者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打 印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的 领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不 仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召 开面对面会议、远程会议或在网上给观众展 示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格 式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为： pdf、图片格式等
19
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪…
先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n＝1时，有 R1＝R t(R)。 假设Rnt(R)成立，那么对任意的<x,y>有 <x,y>∈Rn+1＝Rn R t(<x,t>∈Rn∧<t,y>∈R) t(<x,t>∈t(R)∧<t,y>∈t(R)) <x,y>∈t(R) （因为t(R)是传递的） 这就证明了Rn+1 t(R)。 由归纳法命题得证。
5
实例
例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系,
其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称.
13
传递性证明
证明模式 证明R在A上传递 任取<x, y>，<y, z> <x,y>R<y, z>R …..………. <x,z>R 前提 推理过程 结论 例7 证明若 RRR , 则R在A上传递. 证 任取<x,y>，<y, z> <x,y>R <y,z>R <x,z>RR <x,z>R 因此 R 在 A 上是传递的.
R1＝{<1,1>,<2,2>}
R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
R3＝{<1,3>} R2自反,
R3反自反,
R1既不是自反也不是反自反的
4
对称性与反对称性
实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系 反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.
11
对称性证明
证明模式 证明R在A上对称 任取<x, y> <x,y>R ……………..….……. <y,x>R 前提 推理过程 结论 例5 证明若 R=R1 , 则R在A上对称. 证 任取<x,y> <x,y>R <y,x>R 1 < y, x >R 因此 R 在 A 上是对称的.
26
M r=
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
Ms =
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 0 0
1 1 0 1
0 1 1 0
1 1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 1
24
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
R
r(R)
s(R)
t(R)
25
R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}, r( R ) = R ∪ R 0 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} s(R)= R∪R1 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<b,a>,<a,b>,<c,b>,<d,c>, <b,d>} } ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b> ,<c,b>,<d,c>,<b,d>} t(R) = R1∪R2∪R3∪R4 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>, <c,b>,<d,a>,<d,c>}∪{<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>, <c,c>,<d,b>,<d,d>} ∪{<a,a>,<a,b>,<a,c,>,<b,a>,<b,b>,<b,c>, <b,d>,<c,b>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>} ={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,a>, <c,b>,<c,c>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>,<d,d>}
23
闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了 G 的边以外, 以下述方法添加新边：
(1)考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到Gr . (2)考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在G 中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终得到Gs. (3)考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条 长度不超过n的 路径，如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边，就加上这 条 边. 当检查完所 有的顶点后就得到图Gt .
20
再证t(R)R∪R2∪…成立，为此只须证明 R∪R2∪…是传递的。 任取<x,y>,<y,z>，则 <y,z>∈R∪R2∪… ∧ <x,y>∈R∪R2∪… t(<y,z>∈Rt) ∧ s(<x,y>∈Rs) ts(<y,z>∈Rt ∧ <x,y>∈Rs) ts(<x,z>∈Rt Rs) ts(<x,z>∈Rt+s) <x,z>∈R∪R2∪… 从而证明了R∪R2∪…是传递的。
一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).
18
闭包的构造方法
定理1 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = R∪R0 (2) s(R) = R∪R1 (3) t(R) = R∪R2∪R3∪… 说明： • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并是有 限的. • 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则 s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R.
(1)不wk.baidu.com反也不反自反；对称, 不反对称；不传递.
(2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 是传递的. (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.
10
自反性证明
证明模式 证明R在A上自反 任取x, xA ……………..….……. <x,x>R 前提 推理过程 结论 例4 证明若 IA R ，则 R在A上自反. 证 任取x, xA <x,x> IA <x,x>R 因此 R 在 A 上是自反的.
R2不是A上的传递关系
8
关系性质的充要条件
设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 R∩IA= (3) R在A上对称当且仅当 R=R1 (4) R在A上反对称当且仅当 R∩R1IA (5) R在A上传递当且仅当 RRR
9
实例
例.判断下图中关系的性质, 并说明理由.
6
传递性
实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系
7
实例
例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}
R2＝{<1,2>,<2,3>}
R3＝{<1,3>} R1 和 R3 是A上的传递关系
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4.4 关系的闭包
闭包定义 闭包的构造方法
集合表示 矩阵表示 图表示
闭包的性质
17
闭包定义
定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对 称或传递）闭包是A上的关系R, 使得R满足以 下条件： （1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递） 关系 R 有 RR.
12
反对称性证明
证明模式 证明R在A上反对称 任取<x, y> <x,y>R<y,x>R ………..………. x=y 前提 推理过程 结论 例6 证明若 R∩R1IA , 则R在A上反对称. 证 任取<x,y> <x,y>R <y, x>R <x,y>R <x,y>R 1 <x,y>R∩R 1 <x,y>IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.
1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
27
定理7.11 设R是非空集合A上的关系， 则 （1）R是自反的当且仅当r(R)＝R。 （2）R是对称的当且仅当s(R)＝R。 （3）R是传递的当且仅当t(R)＝R。
IA R
主对角 线元素 全是1 每个顶 点都有 环
R∩IA= R=R1
主对角线 矩阵是对 元素全是 称矩阵 0 每个顶点 如果两个 都没有环 顶点之间 有边, 是一 对方向相 反的边(无 单边)
R∩R1 IA
若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 如果两点之 间有边, 是一 条有向边(无 双向边)
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
Mt=
0 1 0 0
自反性 反自反性
对称性
反对称性 传递性
1
定义
表达 式
关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
传递
x∈A,有 x∈A,有 <x,x>R), <x,x>R,
若<x,y>∈R且x 若<x,y>∈R 若 <x,y>∈R y ,则<y,x> R <y,z>∈R，则 有<y,x>∈R), <x,z>∈R),
RRR
对M2中1所 在位置, M中相应 位置都是1 如果顶点 xi 连通到 xk , 则从 xi 到 xk 有边
关系 图
2
自反性与反自反性
例： 自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系
3
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中
21
推论 设R为有穷集A上的关系，则存在正整数r 使得 t(R)=R∪R2∪…∪Rr
22
闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E
Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + …
E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
14
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 R11 √ √ √ √ √
R1∩R2
R1∪R2 R1R2 R1∘R2
√ √ ×
√
√ √ √
×
√ √ √
×
√ × √
×
√ × ×
×
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Microsoft Office PowerPoint，是微软 公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或 者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打 印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的 领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不 仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召 开面对面会议、远程会议或在网上给观众展 示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格 式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为： pdf、图片格式等
19
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪…
先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n＝1时，有 R1＝R t(R)。 假设Rnt(R)成立，那么对任意的<x,y>有 <x,y>∈Rn+1＝Rn R t(<x,t>∈Rn∧<t,y>∈R) t(<x,t>∈t(R)∧<t,y>∈t(R)) <x,y>∈t(R) （因为t(R)是传递的） 这就证明了Rn+1 t(R)。 由归纳法命题得证。
5
实例
例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系,
其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称.
13
传递性证明
证明模式 证明R在A上传递 任取<x, y>，<y, z> <x,y>R<y, z>R …..………. <x,z>R 前提 推理过程 结论 例7 证明若 RRR , 则R在A上传递. 证 任取<x,y>，<y, z> <x,y>R <y,z>R <x,z>RR <x,z>R 因此 R 在 A 上是传递的.
R1＝{<1,1>,<2,2>}
R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
R3＝{<1,3>} R2自反,
R3反自反,
R1既不是自反也不是反自反的
4
对称性与反对称性
实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系 反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.
11
对称性证明
证明模式 证明R在A上对称 任取<x, y> <x,y>R ……………..….……. <y,x>R 前提 推理过程 结论 例5 证明若 R=R1 , 则R在A上对称. 证 任取<x,y> <x,y>R <y,x>R 1 < y, x >R 因此 R 在 A 上是对称的.
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M r=
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
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0 1 1 0 0 0 1 0
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Ms =
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1 0 0 1
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1 1 0 1
0 1 1 0
1 1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 1
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实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
R
r(R)
s(R)
t(R)
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R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}, r( R ) = R ∪ R 0 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} s(R)= R∪R1 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<b,a>,<a,b>,<c,b>,<d,c>, <b,d>} } ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b> ,<c,b>,<d,c>,<b,d>} t(R) = R1∪R2∪R3∪R4 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>, <c,b>,<d,a>,<d,c>}∪{<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>, <c,c>,<d,b>,<d,d>} ∪{<a,a>,<a,b>,<a,c,>,<b,a>,<b,b>,<b,c>, <b,d>,<c,b>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>} ={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,a>, <c,b>,<c,c>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>,<d,d>}
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闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了 G 的边以外, 以下述方法添加新边：
(1)考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到Gr . (2)考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在G 中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终得到Gs. (3)考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条 长度不超过n的 路径，如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边，就加上这 条 边. 当检查完所 有的顶点后就得到图Gt .
20
再证t(R)R∪R2∪…成立，为此只须证明 R∪R2∪…是传递的。 任取<x,y>,<y,z>，则 <y,z>∈R∪R2∪… ∧ <x,y>∈R∪R2∪… t(<y,z>∈Rt) ∧ s(<x,y>∈Rs) ts(<y,z>∈Rt ∧ <x,y>∈Rs) ts(<x,z>∈Rt Rs) ts(<x,z>∈Rt+s) <x,z>∈R∪R2∪… 从而证明了R∪R2∪…是传递的。
一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).
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闭包的构造方法
定理1 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = R∪R0 (2) s(R) = R∪R1 (3) t(R) = R∪R2∪R3∪… 说明： • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并是有 限的. • 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则 s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R.
(1)不wk.baidu.com反也不反自反；对称, 不反对称；不传递.
(2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 是传递的. (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.
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自反性证明
证明模式 证明R在A上自反 任取x, xA ……………..….……. <x,x>R 前提 推理过程 结论 例4 证明若 IA R ，则 R在A上自反. 证 任取x, xA <x,x> IA <x,x>R 因此 R 在 A 上是自反的.
R2不是A上的传递关系
8
关系性质的充要条件
设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 R∩IA= (3) R在A上对称当且仅当 R=R1 (4) R在A上反对称当且仅当 R∩R1IA (5) R在A上传递当且仅当 RRR
9
实例
例.判断下图中关系的性质, 并说明理由.
6
传递性
实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系
7
实例
例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}
R2＝{<1,2>,<2,3>}
R3＝{<1,3>} R1 和 R3 是A上的传递关系
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4.4 关系的闭包
闭包定义 闭包的构造方法
集合表示 矩阵表示 图表示
闭包的性质
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闭包定义
定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对 称或传递）闭包是A上的关系R, 使得R满足以 下条件： （1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递） 关系 R 有 RR.
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反对称性证明
证明模式 证明R在A上反对称 任取<x, y> <x,y>R<y,x>R ………..………. x=y 前提 推理过程 结论 例6 证明若 R∩R1IA , 则R在A上反对称. 证 任取<x,y> <x,y>R <y, x>R <x,y>R <x,y>R 1 <x,y>R∩R 1 <x,y>IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.
1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 0 1
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定理7.11 设R是非空集合A上的关系， 则 （1）R是自反的当且仅当r(R)＝R。 （2）R是对称的当且仅当s(R)＝R。 （3）R是传递的当且仅当t(R)＝R。
IA R
主对角 线元素 全是1 每个顶 点都有 环
R∩IA= R=R1
主对角线 矩阵是对 元素全是 称矩阵 0 每个顶点 如果两个 都没有环 顶点之间 有边, 是一 对方向相 反的边(无 单边)
R∩R1 IA
若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 如果两点之 间有边, 是一 条有向边(无 双向边)
0 1 0 0
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