离散数学--关系的性质(数学教材)
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学13关系的性质
所以 RRR .
充分性。任取<x,y>,<y,z>∈R，则
<x,y>∈R∧<y,z>∈R
<x,z>∈RR
<x,z>∈R
(因为RRR)
所以 R在A上是传递的。
例 13
例13 设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明： (1)若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反的和对
称的。 (2)若R1和R2是传递的，则R1∩R2也是传递的。
例10 设A={1,2,3}，R1，R2，R3是A上的关系，其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
说明R1，R2和R3是否为A上的自反关系和反自反关系。 解答
R1既不是自反的也不是反自反的， R2是自反的， R3是反自反的。
例13 (2)的证明
(2)若R1和R2是传递的，则R1∩R2也是传递的。 证明 由R1和R2的传递性有
R1 R1 R1 和 R2 R2 R2 , 再使用定理7.4得
(R1∩R2)(R1∩R2) R1 R1∩R1 R2∩R2 R1∩R2 R2 ((R将1∩前R面2)∩的R包1 含 R式2∩代R入2 )R1 R1∩R2 , 从而证明了R1∩R2也是A上的传递关系。
定理9 (4)的证明
（4） R在A上反对称当且仅R∩R-1 IA .
必要性。
充分性。
任取<x,y>，有
任取<x,y>, 则有
<x,y>∈R∩R-1
<x,y>∈R ∧ <y,x>∈R
离散数学28.关系的性质1
例如，集合X上的全域关系EX、 恒等关系IX都不是X上的反 自反关系.
2）若关系R不是反自反的，关系R也不一定是自反的，反之也 成立.
XZ-{0}时，整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件： • 1） R是自反的恒等关系IX R. • 2） R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3） R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如，数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ，均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件： • 1） R是反自反的恒等关系IX R= . • 2） R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3） R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的，也不是反自反的.
注意：
1）一个关系R如果是自反的，一定不是反自反的；如果是反自 反 的，则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种：自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.
2）若关系R不是反自反的，关系R也不一定是自反的，反之也 成立.
XZ-{0}时，整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件： • 1） R是自反的恒等关系IX R. • 2） R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3） R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如，数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ，均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件： • 1） R是反自反的恒等关系IX R= . • 2） R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3） R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的，也不是反自反的.
注意：
1）一个关系R如果是自反的，一定不是反自反的；如果是反自 反 的，则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种：自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.
关系的性质-集合与关系-离散数学
例如：朋友关系，同学关系，同乡关系，不相等关系() 是对称关系，相等关系(=)？？？ 。
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
第2 页
一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
第7 页
三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
第2 页
一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
第7 页
三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
离散数学-04-关系的性质
7
4.3.1 关系性质的定义和判别
对称性与反对称性（续）
例2 设A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>}， R2＝{<a,a>,<a,b>,<b,a>} R3＝{<a,b>,<a,c>}， R4＝{<a,b>,<b,a>,<a,c>} R1 对称 R2 对称 R3 对称 ？ ？ ？ 反对称 反对称 反对称 ？ ？ ？
12
4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性（续）
例3 设A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>} R2＝{<a,b>,<b,c>} R3＝{<a,c>}
R1 和 R3 是A上的传递关系, R2 不是A上的传递关系.
13
4.3.1 关系性质的定义和判别
R∘RR 对MR2中1所在 位置, MR中相 位置都是1
如果顶点xi到 xj有边, xj到xk 有边,则从xi到 xk也有边
20
主对角 主对角 线元素 线元素 全是1 全是0
每个顶 点都有 环
每个顶 点都没 有环
注意：IA是对称关系也是反对称关系
4.3.1 关系性质的定义和判别
实例
例8 判断下图中关系的性质, 并说明理由
18
4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性证明
证明模式 证明 R 在 A上传递 任取<x, y>，<y, z> <x, y>R<y, z>R …..………. <x, z>R 前提 推理过程 结论
4.3.1 关系性质的定义和判别
对称性与反对称性（续）
例2 设A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>}， R2＝{<a,a>,<a,b>,<b,a>} R3＝{<a,b>,<a,c>}， R4＝{<a,b>,<b,a>,<a,c>} R1 对称 R2 对称 R3 对称 ？ ？ ？ 反对称 反对称 反对称 ？ ？ ？
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4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性（续）
例3 设A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>} R2＝{<a,b>,<b,c>} R3＝{<a,c>}
R1 和 R3 是A上的传递关系, R2 不是A上的传递关系.
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4.3.1 关系性质的定义和判别
R∘RR 对MR2中1所在 位置, MR中相 位置都是1
如果顶点xi到 xj有边, xj到xk 有边,则从xi到 xk也有边
20
主对角 主对角 线元素 线元素 全是1 全是0
每个顶 点都有 环
每个顶 点都没 有环
注意：IA是对称关系也是反对称关系
4.3.1 关系性质的定义和判别
实例
例8 判断下图中关系的性质, 并说明理由
18
4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性证明
证明模式 证明 R 在 A上传递 任取<x, y>，<y, z> <x, y>R<y, z>R …..………. <x, z>R 前提 推理过程 结论
《离散数学关系》课件
表示元素之间的顺序关系，如 大小关系、前后关系等。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
离散数学4.3-4
10
结论
R是A上的关系，则： （1）R是自反关系的主要条件是IAA （2）R是反自反关系的主要条件是R∩IA=Ф。
11
(3) 若x y(x,y∈A ∧<x,y> ∈R <y,x> ∈R),则称R 在A上是对称的。 也就是说, 对RAA, 对A中每个x和y, 若xRy, 则yRx, 称 R是对称的, 即
7
例子
例3：N上的互质关系是反自反关系。 证明：x∈N，x与x是不互质的， ∴<x,x>R，∴R具有反自关系。 其他的例实数上的＜，＞关系,人与人的父子 关系,均是反自反关系。
8
关系矩阵的特点
自反关系的关系矩阵的对角元素均为1， 反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。
9
关系图的特点
自反关系的关系图，每个结点均有自回路， 而反自反关系的关系图的每个结点均没有 自回路。
22
说明:
该定义的等价说法： a,b∈A,如a≠b,<a,b>∈R, 则必有<b,a>R。即两个不同点结点间不允许有两 条弧。 该定义的否命题说法并不成立,如 “a≠b,<a,b>R,则<b,a>∈R”并不成立, 即反对称关系的关系图允许两个不同点间没有弧。
23
有些关系既是对称的又是反对称的
设 R 是 A 上的关系，R 的性质主要有以下 5 种 (2) 若x(x ∈A <x,x> ∈R),则称 R 在 A 上是反自反的 也就是说，对RAA，若A中每个x，有xRx，则称R是 反自反的，即 A上关系R是反自反的x(xAxRx) 该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任 何相同元素的有序对。 例如：设A={1,2,3}，R 是 A 上的关系， R={<2,3>,<3,2>} R是反自反的
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学关系的概念性质及运算
当n=3时，25(mod 3)，57(mod 3)。
例3：设X是一个集合，集合的包含于“”是2X上的二 元关系。
8/25
集合与图论 二元关系到n元关系的推广
定义3 设A1,A2,...,An是n个集合，一个 A1A2...An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。
每个Ai称为R的一个域。
23/25
集合与图论 关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n，R为X上的任 一二元关系，则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整 数s,t，s<t，使得Rs=Rt，则
(1)Rs+k=Rt+k，k为非负整数； (2)Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，而k,i为非负整数； (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1}，则对任意的非负的整数 q有RqS。
例15：设R,S是集合X上的两个传递关系，问R∪S 是否是传递关系呢？
17/25
集合与图论
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R11
√
√
√
√
√
R1∩R2 √
√
R1∪R2 √
√
R1R2 ×
√
√
√
√
√ ××
√
√×
R1∘R2 √
×
×
××
18/25
集合与图论 3 关系的合成
定义1 设R是A到B的二元关系，S是B到C的二元 关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系，记成RS， 并且
显然：R是传递的，当且仅当 ？。 例11： Z上的模n同余关系是不是传递关系？
例3：设X是一个集合，集合的包含于“”是2X上的二 元关系。
8/25
集合与图论 二元关系到n元关系的推广
定义3 设A1,A2,...,An是n个集合，一个 A1A2...An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。
每个Ai称为R的一个域。
23/25
集合与图论 关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n，R为X上的任 一二元关系，则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整 数s,t，s<t，使得Rs=Rt，则
(1)Rs+k=Rt+k，k为非负整数； (2)Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，而k,i为非负整数； (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1}，则对任意的非负的整数 q有RqS。
例15：设R,S是集合X上的两个传递关系，问R∪S 是否是传递关系呢？
17/25
集合与图论
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R11
√
√
√
√
√
R1∩R2 √
√
R1∪R2 √
√
R1R2 ×
√
√
√
√
√ ××
√
√×
R1∘R2 √
×
×
××
18/25
集合与图论 3 关系的合成
定义1 设R是A到B的二元关系，S是B到C的二元 关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系，记成RS， 并且
显然：R是传递的，当且仅当 ？。 例11： Z上的模n同余关系是不是传递关系？
左孝凌离散数学课件3.6关系的性质
具有反对称性的关系矩阵如果在非对角元上rij1则在其对称位置上rjiij这两个数至多有一个是1但允许两个均为0关系图上任何两个Leabharlann 同的节点之间至多有一条弧但允许没有弧即
离散数学(Discrete Mathematics)
2015-6-28
1
3.6 关系的性质
一、自反性与反自反性 二、对称性与反对称性 三、传递性
即：R是对称的 MR是对称的
GR 的任何两个顶点之间若有边 , 则必有两条方 向相反的有向边
二、对称性与反对称性 2.反对称性：
设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有 x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
R是反对称的
(x)(y)(xAyA xRy yRx x=y )
R4={<a,a>,<b,b>,<c,c>} R5={<a,b>,<b,c>} R6=Φ 反对称
0 1 0 0 0 0 0 1 0
反对称
R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} 对称的 是对称的也是反对称的 R2={<1，1>，<3，3>} R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>}
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
离散数学(Discrete Mathematics)
2015-6-28
1
3.6 关系的性质
一、自反性与反自反性 二、对称性与反对称性 三、传递性
即：R是对称的 MR是对称的
GR 的任何两个顶点之间若有边 , 则必有两条方 向相反的有向边
二、对称性与反对称性 2.反对称性：
设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有 x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
R是反对称的
(x)(y)(xAyA xRy yRx x=y )
R4={<a,a>,<b,b>,<c,c>} R5={<a,b>,<b,c>} R6=Φ 反对称
0 1 0 0 0 0 0 1 0
反对称
R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} 对称的 是对称的也是反对称的 R2={<1，1>，<3，3>} R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>}
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
离散数学1.4__关系的性质
自反
2 { 0,0 , 1,2 , 1,1 , 2,2 , 2,3 , 3,3 } 自反
3 { 2,1 , 0,0 , 3,3 }
非自反
4 { 0,1 , 2,3 , 1,2 }
反自反
2．反自反的二元关系
(1). 定义： R是Ａ上的二元关系，若x(x∈A→<x,x>R), 则称R在A上是反自反的二元关系. 即对于Ａ中的每一个元素a,都有(a,a) R，则称Ｒ为 反自反的二元关系。 例如Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,b),(b,c),(b,a)}，则Ｒ是反自反的。
R1＝{<1,1>,<2,2>}
R2＝{<1,2>,<2,3>}
R1 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系
关系性质判别汇总
表达式 关系 矩阵 自反性 主对角 线元素 全是1 反自反性 主对角线 元素全是 0 对称性 矩阵是 对称矩 阵 反对称性 若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 传递性
20
二、关系性质的充要条件
设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R
(2) R在A上反自反当且仅当 R∩IA=
(3) R在A上对称当且仅当 R=R1
(4) R在A上反对称当且仅当 R∩R1IA
(5) R在A上传递当且仅当 RRR
21
例5
设
A {1,2,3}，下面分别给出集合A上三个关系的
11
R也是反对称的。
注意，“对称的”和“反对称的”这两个概念并非相互对立，
相互排斥的。存在着既不是对称的又不是反对称的二元 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。 例如 A={a,b,c,d} R={(a,b),(b,a),(c,d)}
离散数学第4章关系
第一个关系中的顺序排列。
关系的复合运算
总结词
复合运算是一种二元运算，它返回两个 关系中满足一定条件的元素组成的新关 系。
VS
详细描述
关系的复合运算是指将两个关系中的元素 按照一定的顺序组合在一起，形成一个新 的关系。这个新的关系只包含满足一定条 件的元素，这些元素按照它们在各自关系 中的顺序排列。
关系的表示
总结词
关系的表示方法有多种，包括表格、图形和符号等。
详细描述
关系的表示方法可以根据具体情况选择。表格表示法是一种常用的方法，通过二维表格的形式列出所 有可能的元素对及其关系状态。图形表示法则更加直观，通过节点和边的形式展示关系。符号表示法 则使用特定的符号或字母来表示关系，如集合论中的笛卡尔积等。
04
关系闭包
闭包的定义
闭包
对于给定的关系R，其闭包记作R+， 是指在R的基础上通过添加某些有序对 后得到的新的关系。
定义方式
如果存在一个集合A，对于A中的任意 元素x和y，如果(x,y)在R+中，那么(x,y) 在R中也一定存在。
闭包的性质
02
01
03
自反性
如果一个关系是自反的，那么其闭包也是自反的。
详细描述
如果集合中的任何一个元素x，都不满足关系 R，使得x与自己有R关系，则称关系R具有反 自反性。例如，在一个班级中，“是自己的 老师”这个关系不具有自反性，因为没有人
是自己的老师。
对称性
总结词
对称性是指如果元素x和元素y之间有关系R，并且元素y 和元素x之间也有关系R，则称关系R是对称的。
详细描述
02
关系的运算
关系的并运算
总结词
并运算是一种二元运算，它将两个关系合并成一个新的关系 。
关系的复合运算
总结词
复合运算是一种二元运算，它返回两个 关系中满足一定条件的元素组成的新关 系。
VS
详细描述
关系的复合运算是指将两个关系中的元素 按照一定的顺序组合在一起，形成一个新 的关系。这个新的关系只包含满足一定条 件的元素，这些元素按照它们在各自关系 中的顺序排列。
关系的表示
总结词
关系的表示方法有多种，包括表格、图形和符号等。
详细描述
关系的表示方法可以根据具体情况选择。表格表示法是一种常用的方法，通过二维表格的形式列出所 有可能的元素对及其关系状态。图形表示法则更加直观，通过节点和边的形式展示关系。符号表示法 则使用特定的符号或字母来表示关系，如集合论中的笛卡尔积等。
04
关系闭包
闭包的定义
闭包
对于给定的关系R，其闭包记作R+， 是指在R的基础上通过添加某些有序对 后得到的新的关系。
定义方式
如果存在一个集合A，对于A中的任意 元素x和y，如果(x,y)在R+中，那么(x,y) 在R中也一定存在。
闭包的性质
02
01
03
自反性
如果一个关系是自反的，那么其闭包也是自反的。
详细描述
如果集合中的任何一个元素x，都不满足关系 R，使得x与自己有R关系，则称关系R具有反 自反性。例如，在一个班级中，“是自己的 老师”这个关系不具有自反性，因为没有人
是自己的老师。
对称性
总结词
对称性是指如果元素x和元素y之间有关系R，并且元素y 和元素x之间也有关系R，则称关系R是对称的。
详细描述
02
关系的运算
关系的并运算
总结词
并运算是一种二元运算，它将两个关系合并成一个新的关系 。
离散数学第3章_(7-8)(新教材)_(1)
c
c
c
x , y R1
c
x, y R2
c
于是又有
y , x R1 y , x R 2
y , x R 2
x , y R1
c
c
x, y R
c 2
x , y R1 R 2
c
(6)的证明:
R1 R 2 R1 R 2
再利用(3)和(5)就得到 c x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
(3)设A是一个集合,R是A上的一个二元关系.定义 (0) (1) (k ) R IA, R R, R ... , R R k 那么，对任意正整数m,n就有 (n) (m ) (mn ) (m ) (n) (mn) R R [1] R R R ; [2] . (4)设A,B,C,D是四个集合,R1,R2,R3分别是从A到B, 从B到C以及从C到D的二元关系,那么就有 [1](复合运算关于并的分配律)
定义7.3(对称性) 设R是集合A上一个二元 关系, 如果对每一对元素x, yA,当xRy时, 就有yRx, 则称R在A上是对称的. 即R在A上是对称的 (x)(y)((xA)(yA)(xRy)yRx).
对称性很容易从关系矩阵和关系图中看出来.一个 关系有对称性的充分必要条件是它的关系矩阵是 一个对称阵;一个关系有对称性的充分必要条件是 它的关系图中任意两个结点之间要么没有有向边 相连,要么恰有一对方向相反的有向边相连.
R1 ( R 2 R 3 ) R1 R 2 R1 R 3
c
c
x , y R1
c
x, y R2
c
于是又有
y , x R1 y , x R 2
y , x R 2
x , y R1
c
c
x, y R
c 2
x , y R1 R 2
c
(6)的证明:
R1 R 2 R1 R 2
再利用(3)和(5)就得到 c x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
(3)设A是一个集合,R是A上的一个二元关系.定义 (0) (1) (k ) R IA, R R, R ... , R R k 那么，对任意正整数m,n就有 (n) (m ) (mn ) (m ) (n) (mn) R R [1] R R R ; [2] . (4)设A,B,C,D是四个集合,R1,R2,R3分别是从A到B, 从B到C以及从C到D的二元关系,那么就有 [1](复合运算关于并的分配律)
定义7.3(对称性) 设R是集合A上一个二元 关系, 如果对每一对元素x, yA,当xRy时, 就有yRx, 则称R在A上是对称的. 即R在A上是对称的 (x)(y)((xA)(yA)(xRy)yRx).
对称性很容易从关系矩阵和关系图中看出来.一个 关系有对称性的充分必要条件是它的关系矩阵是 一个对称阵;一个关系有对称性的充分必要条件是 它的关系图中任意两个结点之间要么没有有向边 相连,要么恰有一对方向相反的有向边相连.
R1 ( R 2 R 3 ) R1 R 2 R1 R 3
关系的性质-离散数学
2 1 4 3
2/25/2019
Discrete Math. , huang liujia
11
§7.3 关系的运算
一、基本概念 定义7.6 设R是二元关系。定义 (1) R的定义域: domR={x | y(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第 一元素构成的集合。 (2) R的值域，ranR={y | x(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第二 元素构成的集合。 (3) R的域: fld R= dom R∪ran R。 例7.5 R={ <1, 2>,<1, 3>,<2, 4>,<4, 3>}, 则
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
16
Discrete Math. , huang liujia
1 0 3 2 M M M 0 0 0 1 4 3 M M M 0 0
010 0 101 1 000 0 000 0 101 0 010 1 000 0 000 0
可见 M4=M2。故 R2 = R4 = R6 = …; R3 = R5 = R7 = …。
2/25/2019
Discrete Math. , huang liujia
17
此外,R0=IA的关系矩阵为:
M
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2/25/2019 Discrete Math. , huang liujia 7
§7.2 二元关系
二. 关系的表达方式
2/25/2019
Discrete Math. , huang liujia
11
§7.3 关系的运算
一、基本概念 定义7.6 设R是二元关系。定义 (1) R的定义域: domR={x | y(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第 一元素构成的集合。 (2) R的值域，ranR={y | x(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第二 元素构成的集合。 (3) R的域: fld R= dom R∪ran R。 例7.5 R={ <1, 2>,<1, 3>,<2, 4>,<4, 3>}, 则
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
16
Discrete Math. , huang liujia
1 0 3 2 M M M 0 0 0 1 4 3 M M M 0 0
010 0 101 1 000 0 000 0 101 0 010 1 000 0 000 0
可见 M4=M2。故 R2 = R4 = R6 = …; R3 = R5 = R7 = …。
2/25/2019
Discrete Math. , huang liujia
17
此外,R0=IA的关系矩阵为:
M
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2/25/2019 Discrete Math. , huang liujia 7
§7.2 二元关系
二. 关系的表达方式
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一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).
18
闭包的构造方法
定理1 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = R∪R0 (2) s(R) = R∪R1 (3) t(R) = R∪R2∪R3∪… 说明： • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并是有 限的. • 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则 s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R.
(1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递.
(2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 是传递的. (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.
10
自反性证明
证明模式 证明R在A上自反 任取x, xA ……………..….……. <x,x>R 前提 推理过程 结论 例4 证明若 IA R ，则 R在A上自反. 证 任取x, xA <x,x> IA <x,x>R 因此 R 在 A 上是自反的.
14
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 R11 √ √ √ √ √
R1∩R2
R1∪R2 R1R2 R1∘R2
√ √ ×
√
√ √ √
×
√ √ √
×
√ × √
×
√ × ×
×
15
Microsoft Office PowerPoint，是微软 公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或 者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打 印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的 领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不 仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召 开面对面会议、远程会议或在网上给观众展 示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格 式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为： pdf、图片格式等
23
闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了 G 的边以外, 以下述方法添加新边：
(1)考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到Gr . (2)考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在G 中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终得到Gs. (3)考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条 长度不超过n的 路径，如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边，就加上这 条 边. 当检查完所 有的顶点后就得到图Gt .
1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
27
定理7.11 设R是非空集合A上的关系， 则 （1）R是自反的当且仅当r(R)＝R。 （2）R是对称的当且仅当s(R)＝R。 （3）R是传递的当且仅当t(R)＝R。
19
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪…
先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n＝1时，有 R1＝R t(R)。 假设Rnt(R)成立，那么对任意的<x,y>有 <x,y>∈Rn+1＝Rn R t(<x,t>∈Rn∧<t,y>∈R) t(<x,t>∈t(R)∧<t,y>∈t(R)) <x,y>∈t(R) （因为t(R)是传递的） 这就证明了Rn+1 t(R)。 由归纳法命题得证。
R1＝{<1,1>,<2,2>}
R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
R3＝{<1,3>} R2自反,
R3反自反,
R1既不是自反也不是反自反的
4
对称性与反对称性
实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系 反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.
6
传递性
实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系
7
实例
例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}
R2＝{<1,2>,<2,3>}
R3＝{<1,3>} R1 和 R3 是A上的传递关系
24
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
R
r(R)
s(R)
t(R)
25
R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}, r( R ) = R ∪ R 0 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} s(R)= R∪R1 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<b,a>,<a,b>,<c,b>,<d,c>, <b,d>} } ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b> ,<c,b>,<d,c>,<b,d>} t(R) = R1∪R2∪R3∪R4 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}∪{<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>, <c,b>,<d,a>,<d,c>}∪{<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>, <c,c>,<d,b>,<d,d>} ∪{<a,a>,<a,b>,<a,c,>,<b,a>,<b,b>,<b,c>, <b,d>,<c,b>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>} ={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,a>, <c,b>,<c,c>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>,<d,d>}
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 0 0
1 1 0 1
0 1 1 0
1 1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 1
R2不是A上的传递关系
8
关系性质的充要条件
设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 R∩IA= (3) R在A上对称当且仅当 R=R1 (4) R在A上反对称当且仅当 R∩R1IA (5) R在A上传递当且仅当 RRR
9
实例
例.判断下图中关系的性质, 并说明理由.
21
推论 设R为有穷集A上的关系，则存在正整数r 使得 t(R)=R∪R2∪…∪Rr
22
闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E
Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + …
E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
11
对称性证明
证明模式 证明R在A上对称 任取<x, y> <x,y>R ……………..….……. <y,x>R 前提 推理过程 结论 例5 证明若 R=R1 , 则R在A上对称. 证 任取<x,y> <x,y>R <y,x>R 1 < y, x >R 因此 R 在 A 上是对称的.
4.3 关系的性质
自反性 反自反性
对称性
反对称性 传递性
1
定义
表达 式
关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
传递
x∈A,有 x∈A,有 <x,x>R), <x,x>R,