高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)31导数的概念及运算课件 新人教B版共79页
高考数学总复习 31导数的概念及运算 新人教A版PPT课件
第三章
第一节 导数的概念及运算
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用 难点：1.积商的导数公式． 2．(理)复合函数的导数．
夯实基础 稳固根基
一、导数及有关概念
1．函数的平均变化率
4．生活中的优化问题举例． 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问 题，体会导数在解决实际问题中的作用． 5．(理)定积分与微积分基本定理 (1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题 情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基 本思想，初步了解定积分的概念． (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程 的关系)，直观了解微积分基本定理的含义．
第三章 导数及其应用
●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时 变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就 是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2．导数的运算
(1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝
●命题趋势 1．求导数及切线方程． 2．用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值． 3．已知函数的单调性或极值等讨论字母参数． 4．导数的实际应用与综合应用． 5．(理)定积分与微积分基本定理的应用．
●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义，熟记求导公式、导 数的四则运算法则、(理)复合函数求导法则，并能运用上述公 式与法则进行求导计算. 导数的几何意义是重点必考内容，要 熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的切线问题．
高三一轮复习 课件 3.1 导数的概念及运算
-5-
3.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q,α≠0) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x
导函数 f'(x)=0 f'(x)=αxα-1 f'(x)=cos x f'(x)=-sin x f'(x)=axln a(a>0,且 a≠1) f'(x)=ex f'(x)= f'(x)=
3.1
导数的概念及运算
-3-
-4-
1.导数与导函数的概念
(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
������(������0 +Δ������)-������(������0) ������������������ ,称其为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f'(x0)或 Δ������ ������x →0 Δ������ ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) y'|������ =������ .即 f'(x0)= lim = lim . 0 Δ������ Δ������ Δ������ →0 Δ������ →0
2 2
D
于是解得 m=-2, 故选 D.
解析
关闭
答案
-19考点1 考点2 知识方法 易错易混
思考:已知切线方程(或斜率)求参数的值关键一步是什么? 解题心得:1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线 过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是yf(x0)=f'(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已 知点在切线上求解. 2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数, 然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代 入函数解析式求出切点的纵坐标. 3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等 于切线斜率的方程.
导数的概念及运算课件——2025届高三数学一轮复习
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1
y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1
[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，
cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
3.1导数的概念及运算-高考数学人教A版理科一轮复习课件
(4)y=ln√1 +
2
1
'=1- cos
2
=
x,
x.
1
ln(1+x2),
2
1
1
1
1
2
∴y'= · 2 (1+x )'= · 2 ·
2x= 2 .
2 1+
2 1+
1+
思考函数求导应遵循怎样的原则?
解题心得 函数求导应遵循的原则:
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这
有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的 导函数
通常也简称为导数.
,
4.基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈Q,α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0.
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切
线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的
切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
u-u,导数为g'(u)=
-1.
当u>1时,g(u)单调递减,当0<u<1时,g(u)单调递增,可得当u=1时,取得最大
3.1导数的概念及运算课件高三数学一轮复习
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率 先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解， 故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
导数的概念及运算一轮复习课课件
新教材适用2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
[解析] 对于 A，y＝cos 1x，则 y′＝x12sin 1x，故错误； 对于 B，y＝sin x2，则 y′＝2xcos x2.故正确； 对于 C，y＝cos 5x，则 y′＝－5sin 5x，故错误； 对于 D，y＝12xsin 2x，则 y′＝12sin 2x＋xcos 2x，故错误，故选 ACD.
π 3.(
×
)
(5)(2x)′＝x·2x－1.( × )
(6)[ln(－x)]′＝1x.( √ )
[解析] (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过 点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．
(2)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．
(3)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线． (6)[ln(－x)]′＝－1x×(－1)＝1x.
[解析] (1)由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图
象的切线的斜率先增大后减小，故选B. (2)由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3
处切线的斜率等于－13，∴f′(3)
＝－13.
∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知 f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.
角度 2 求切线方程 例3 (1)(2021·全国甲，13)曲线 y＝2xx＋－21在点－1，－3处的切线
方程为____y_＝__5_x_＋__2____. (2)已知函数 f(x)是奇函数．当 x>0 时，f(x)＝xex＋1，则 f(x)的图象在
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相
人教版高三数学(理)一轮复习：PPT课件3.1 导数的概念及运算
(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线 切线的斜率 y=f(x)上点 (x0,f(x0)) 处的 ,切线方程 为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) .
知识梳理 知识梳理 双基自测
-6-
1
2
3
4
5
6
3.函数f(x)的导函数 一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数,导数
2
(g(x)≠0).
知识梳理 知识梳理 双基自测
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1
2
3
4
5
6
6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y'u· u'x y对u 的导数与 y'x= ,即y对x的导数等于 u对x 的导数的乘积.
知识梳理 知识梳理 双基自测
-10-
1
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
答案
知识梳理 知识梳理 双基自测
-11-
1
2
3
4
5
2.(2016河南郑州一模)曲线f(x)=excos x在点(0,f(0))处的切线斜率 为( )
A.0
B.-1
C.1
D. 2
√2
关闭
∵f'(x)=excos x-exsin x, ∴k=f'(0)=e0(cos 0-sin 0)=1. C
值记为 f'(x),且
为f(x)的
f(x+������x)-f(x) f'(x)= lim ,则 ������x Δ������ →0
f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)
2025届高中数学一轮复习课件《导数的概念与运算》ppt
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
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理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数 y＝f(x)，我们把比值ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0叫做函数 y＝f(x)从
x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
高考一轮总复习•数学
第17页
解析：(1)函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－－112＝3；因为 f′(x)＝2x，所以
f(x)在
强调概念，平均变化率＝f22－－f11.
x＝2 处的导数为 2×2＝4.故答案为 3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
lim
(2) 利 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 时 ， 先 算 函 数 值 的 变 化 量
Δy
，
再
算
比
值
Δy Δx
＝
fx＋ΔΔxx－fx，再这里有两个量，Δx 和 x，在求极限过程中，x 暂时理解为常量，此时 Δx
为变量，在极限结果中，Δx 消失，此时 x 可以看作变量了．
求极限 y′＝li m
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2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
高考数学一轮总复习 3.1 导数、导数的计算精品课件 理 新人教版
'=
������'(������)������(������)-������(������)������'(������) [������(������)]2
(g(x)≠0).
7.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y'x=
y'u·u'x ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘
ห้องสมุดไป่ตู้
.
关闭
依题意得 y'=ex+xex+2,当 x=0 时,y'=3,所以曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的关闭 切y=线3x方+1程为 y=3x+1.
解析 答案
探究突破
-14-
考点一 根据导数的定义求函数的导数
【例 1】
已知
f'(2)=2,f(2)=3,则lim
������→2
������(���������-���)2-3+1
的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
令 Δx=x-2,
则 lim
������→2
������(���������-���)2-3+1
= lim
Δ������→0
������(Δ������+Δ2������)-������(2)+1
C =f'(2)+1=2+1=3.
考点一 考点二 考点三 考点四
关闭 关闭
解析 答案
梳理自测
-10-
2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s=13t3-32t2+2t,那么
导数的概念及运算课件-2025届高三数学一轮复习
；
（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
（ⅲ）
()
()
′()()−()′()
'＝
（g（x）≠0）.
[()]2
②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一
定为切点.
目录
｜解题技法｜
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先函数的导数，再让导数
等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
目录
当堂检测
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
目录
二、导数的几何意义及应用
目录
二、导数的几何意义及应用
第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于 C，(xcosx)′＝cosx
－xsinx，错误；对于 D，x－1x′＝1－1x′＝1＋x12，错误．故选 A．
解析 答案
x－3 (2)(2021·贵阳模拟)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝ ex ＋2f′(1)·x， 则 f′(1)＝________. 答案 －3e 解析 ∵f(x)＝x－ex 3＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝4－ex x＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋ 2f′(1)，解得 f′(1)＝－3e.
解析 由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
解析 答案
4. (2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线，令 h(x)＝fxx，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1) 的值是( )
A．2
B．1
解
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
的值，即ΔΔyx有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第四章 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
（2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
1
3.[
]′ =
−′
[ ]2
≠0 .
4.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
自测诊断
1.下列函数的求导正确的是( B )
A. −2 ′ = −2B. cos ′ = cos − sin
C. ln 10 ′ =
A.6.8 m/s2 B.7.6 m/s2 C.7 m/s 2 D.7.8 m/s 2
[解析]因为 = . + . ，所以′ = . + . .令 = ，得
. + . = ，解得 = 或 = −
（舍去），则当
= 时，
′ = . + . × = . ，即速度首次达到 /时的加速度为. / .故选B.
函数 = 在点0 处的导数的几何意义就是曲线 = 在点 0 , 0 处的
切线的斜率
′ 0
_____________.也就是说，曲线
= 在点 0 , 0 处的切线的斜率是_______.
− 0 = ′ 0 − 0
相应的切线方程为______________________.
三、导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
= （为常数）
0
′ =___
= ( ∈ ，且 ≠ 1)
−1
′ =_______
= sin
cos
′ =______
= cos
−sin
′ =________
= ′ ⋅ .
知识拓展
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
高三数学(理)一轮总复习课件：3.1导数的概念及其运算
解:原式=������������������
h →0
f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h) 2h
=12
������������������
h →0
������(������0+h)-f(������0) ℎ
+
������������������
-h →0
f(x0-h)-f(x0) -h
∴f'(x)= ������������������
������x →0
������������yx=������������x������→ ������0
(x+2)(x-1+2+������x)=-(x+12)2.
题型一 题型二 题型三 题型四
迁移训练1
题型二 导数的运算
重点难点
例2
规律总结 迁移训练2
������x
f(x)的导函数,导函数有时也记
作 y'.
4.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=C
f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cos x
f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex
f(x)=logax
f(x)=ln x
处的导数,记作
f'(x0)或
y'|x=x0
,即
f'(x0)=������������x������→������0
������y ������x
=
������������������