机械能守恒定律 ——多物体问题

机械能守恒定律——多物体问题

教学目标

1、能够判断多物体是否机械能守恒

2、能够表达机械能守恒； 教学重难点 教学重点：

1、多物体是否守恒的判断；

2、灵活运用机械能守恒表达。 教学难点：

1、多物体机械能守恒的判断；

2、多个物体速度的关系

基础知识归纳

1、守恒条件：没有摩擦造成的系统机械能损失而减少；没有人、发动机等输入系统能量造成增加

2、表达式

（1）系统初状态的总机械能等于末状态的总机械能：设有A 、B 两个物体机械能守恒，则

末末初初B A B A E E E E +=+

（2）以系统内各种机械能为研究对象：减少的等于增加的，K P E E ∆-=∆

动能、势能的改变量的计算方法：

①|∆Ep | =|W G |=mgh ②∆E k 增=E K 末—E K 初 ③∆E k 减=E K 初—E K 末

（3）以组成系统的物体A 、B 为研究对象： A 减少的机械能等于B 增加的机械能，即

B A E E ∆-=∆

典例精析

【例1】如图，质量为m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，这时砝码的速率为多少？

解析：解法一：对木块和砝码组成的系统内只有重力势能和动能的转

化，故机械能守恒，以砝码末位置所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得：

()mgh mgH v m mgH mv 222

1212

2+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得gh v 3

4

= 解法二：对木块和砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆-=∆，即

()mgh v m mv 2221

2122=+，解得gh v 3

4

=

解法三：对木块和砝码组成的系统机械能守恒，B A E E ∆-=∆，即

()22221

221v m mgh mv -=，解得gh v 3

4

= 【例2】如图，质量为m 的砝码用轻绳绕过光滑的定滑轮与质量为M （M >m )的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地,求：这时砝码的速率为多少？

解析：两个砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆=∆-，即

()221

v m M mgh Mgh +=

-，解得gh m

M m

M v 2+-=．

【例3】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A 和B 连接，A 的质量为4m ，B 的质量为m 。开始时，将B 按在地面上不动，然后放开

手，让A 沿斜面下滑而B 上升，所有摩擦均忽略不计。当A 沿斜面下滑距离s

后，细线突然断了。求物块B 上升的最大高度H 。（设B 不会与定滑轮相碰）

解析：设细线断裂前一瞬间A 和B 速度的大小为v ，A 沿斜面下滑s 的过程中，A 的高度降低了s sin θ，B 的高度升高了s 。对A 和B 以及地球组成的系统，机械能守恒，有物块A 机械能的减少量等于物块B 机械能的增加量，即

222

1

421sin 4mv mgs mv mgs +=⋅-

θ。 细线断后，物块B 做竖直上抛运动，物块B 与地球组成的系统机械能守恒，设物块B

继续上升的高度为h ，有 2

21mv mgh =

。 由以上两式联立解得 5

s

h =，

故物块B 上升的最大高度为 s s s h s H 5

6

5=+=+=。

点拨 在细线断裂之前，A 和B 以及地球组成的系统机械能守恒。两个物体用同一根细线跨过定滑轮相连由于细线不可伸长，两个物体速度的大小总是相等的。细线断裂后，B 做竖直上抛运动，由于只有重力做功，B 与地球组成的系统机械能守恒。在处理实际问题时，要根据问题的特点和求解的需要，选取不同的研究对象和运动过程进行分析。

【例4】如图所示，两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b ，之间用一长为2l 的轻杆连接，杆在绕中点O 的水平轴无摩擦转动。今使杆处于水平位置，然后无初速释放，在杆转到竖直位置的过程中，求：

（1）杆在竖直位置时，两球速度的大小 （2）杆对b 球做的功

（3）杆在竖直位置时，杆对a 、b 两球的作用力分别是多少？

答案：（1）以a 、b 和地球组成的系统为研究对象，以轻杆的水平位置为零势能面，由机械能守恒定律得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫

⎝⎛+=mgl mv mgl mv b a 22212102

2① θ

B

A

由圆周运动的规律v l v v b a ===ω ② 由①②解得gl v 3

2=

（2）对b 球，由动能定理得：22212mv mgl W =+，解得mgl W 3

4

=

【例5】如图所示，跨过同一高度处的光滑轻小定滑轮的细线连接着

质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度

h=0.2m ，开始时让连接A 的细线与水平杆的夹角θ=53°。由静止释放A ，在以后的运动过程中，A 所能获得的最大速度为多少？（sin53°=0.8，

cos53°=0.6，g 取10m/s 2，且B 不会与水平杆相碰。）

解析：物体A 被拉至左侧定滑轮的正下方时获得最大速度，此时物体B 的瞬时速度为0。以物体A 所在水平面为参考平面，在从物体A 刚被释放到物体A 运动至左侧定滑轮正下方的过程中，对系统应用机械能守恒定律，有

)sin (212h h mg mv -=θ

， 解得A 所能获得的最大速度为

)2.053

sin 2.0(102)sin (

20

-⨯⨯=-=

h h g v θm/s=1m/s 。 点拨：求解本题的关键是正确选取研究对象，而且要能判断出获得最大速度时所处的位置。

分析时还可从系统何时具有最小重力势能着手，即只有当物体A 被拉至左侧定滑轮的正下方时，物体B 的位置最低，此时系统有最小重力势能，也就有最大动能，又此时物体B 的瞬时速度为0，故物体A 具有最大动能，则具有最大速度。

课外作业

1．如图1所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)．a 站在地面上，b 从图示的位置由静止开始向下摆动， 运动过程中绳始终处于伸直状态．当演员b 摆至最低点时，a 刚好对地面无压力，则演员a 的质量与演员b 的质量之比为 ( ) A ．1∶1 B ．2∶1 C ．3∶1 D ．4∶1 答案：B

2．如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b .a 球质量为m ，静置于地面；b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为( ) A ．h B ．1.5h C ．2h D ．2.5h 答案：B

B A h

θ