大数定律及其应用

学号：20100401179信阳师范学院华锐学院本科毕业论文系数学与计算机科学专业数学与应用数学年级2010级姓名潘方方论文题目全概率公式在实际问题中的应用指导教师任园园职称讲师2014年5月6日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)前言 (1)1.全概率公式 (2)1.1全概率公式 (2)1.2 Bayes公式 (2)1.3全概率公式的内涵剖析 (3)2.全概率公式在实际中的应用 (3)2.1在摸彩模型下的应用 (3)2.2在医疗领域中的应用 (4)2.3在敏感问题调查中的应用 (5)2.4在抽检次品类型问题中的应用 (5)2.5在商品销售问题中的应用 (6)2.6 在系统可靠性问题中的应用 (7)2.7在生物研究中的应用 (8)3.小结 (9)参考文献 (11)致谢词 (12)全概率公式在实际问题中的应用学生姓名：潘方方学号：20100401179数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：任园园职称：讲师摘要：在概率论中，概率计算是一个重要的问题.而全概率公式是概率计算中应用较多的公式之一.本文介绍了全概率公式的定义及内涵，并给出了它在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等问题中的应用.关键词：概率计算；全概率公式；应用Abstract：In probability theory, probability calculation is an important question. The total probability formula is one of the more formula used in the calculation of probability. In this article, we describe the definition and connotation of the total probability formula and give its application in the lucky model, the medical field, sensitive issues survey, sampling defective, merchandise sales, system reliability, biological research and so on.Key Words：Probability calculation; The total probability formula; Applications前言概率论的基本概念是学习概率论的基础，其中心任务是阐明概率的意义和概率统计的重要法则.乘法公式、全概率公式和Bayes公式等反映了解决问题的正确思路，同时也体现了互不相容、独立和条件概率等重要概念的应用.而全概率公式作为概率论中的一个重要公式，它的基本思想就是把一个复杂的事件分解为若干个互不相容的简单事件，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果.它为我们计算复杂事件的概率提供了一条简单有效的途径.全概率公式的提出，不仅推动了概率学的发展，也在学科和实际应用中起着重要的作用．随着概率论的不断发展，全概率公式也越来越广泛地应用于各个领域，成为实际生活中不可缺少的基本理论.本文首先介绍了全概率公式的定义及内涵，其次给出了全概率公式在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等问题中的应用,灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大的便利，是我们解决复杂问题的有效工具.1.全概率公式1.1全概率公式定义1.1.1 设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个分割，即12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，如果()n i B P i ,,2,1,0 =>，则对任一事件A 有()()()i ni i B A P B P A P ∑==1.证明 因为()11n ni i i i A A A B AB ==⎛⎫=Ω== ⎪⎝⎭ 且12,,,n AB AB AB 互不相容,所以由可加性得()()()11n ni i i i P A P AB P AB ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ ，再将()()(),1,2,,i i i P AB P B P A B i n == ，代入上式即可得到()()()i ni i B A P B P A P ∑==1.如果事件12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，则称12,,,n B B B 是完备事件组.这时()()()i ni i B A P B P A P ∑==1对任何事件A 成立.B 和B 总构成完备事件组，所以()()()()()P A P B P A B P B P A B =+.这是一个最常用的公式. 1.2 Bayes 公式定义1.2.1 设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个分割，即12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，如果()0P A >，()0i P B >，1,2,,i n = ，则()()()()i i i P B P A B P B A P A =.若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式()()()()()1i i i njjj P B P A B P B A P B P A B ==∑,1,2,,i n = .一般求解概率问题都是在试验之前进行的，其结论也称为“先验概率”，而实际应用中人们往往想要得知在“结果”发生的情况下，“原因”发生的可能性大小，也就是“后验概率”.而事实上Bayes 公式就是计算后验概率的公式.利用Bayes 公式可求得后验概率并以此对先验概率进行修正.这种方法在经济分析、药物临床检验、投资等各种领域有很大的实用价值. 1.3全概率公式的内涵剖析从公式()()()i ni i B A P B P A P ∑==1中可以悟出：“全”部概率()P A 被分解成许多部分之和.它的理论和实际意义在于：在比较复杂的情况下直接算()P A 不易，但A 总是伴随着某个i B 出现，适当去构造这一组i B 往往可以简化计算.这一公式也可以从另一个角度去理解，把i B 看成导致事件A 发生的一种可能途径.对不同途径，A 发生的概率即条件概率()P A B 可能各不相同，而采取哪个途径却是随机的.直观上可理解为：在这种机制下，A 的综合概率()P A 应在最小的()i P A B 和最大的()i P A B 之间，它也不一定是所有()P A B 的算术平均，因为各途径被使用的机会()i P B 各不相同，正确的答案如所预期，应是各个()i P A B ，1,2,,i n = ，以()i P B ，1,2,,i n = 为权的加权平均值.一个形象的例子如下：某中学有若干个毕业班，各班升学率不同.其总升学率是各班升学率的加权平均，其权与各班学生数成比例.2.全概率公式在实际中的应用2.1在摸彩模型下的应用例1 设在n 张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？解 设i A 表示事件“第i 人摸到奖券”，1,2,,i n = .现在目的是求()2P A .因为1A 是否发生直接关系到2A 发生的概率，即()()212110,1P A A P A A n ==-. 而1A 与1A 是两个概率大于0的事件：()()1111,n P A P A n n-==. 于是由全概率公式得()()()()()2121121111101n P A P A P A A P A P A A n n n n -=+=⋅+⋅=-.这表明：摸到奖券的机会与先后次序无关.因后者可能处于“不利状况”（前者已摸到奖券），但也可能处于“有利状况”（前者没有摸到奖券，从而增加后者摸到奖券的机会），两种状况用全概率公式综合（加权平均）所得结果（机会均等）即全面又合情理. 用类似的方法可得()()()341n P A P A P A n====. 如果设n 张彩票中有()k n ≤张奖券，则()()()12n k P A P A P A n====. 这说明购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的. 2.2在医疗领域中的应用例2 假设有1,2,3,4四个地区爆发了某种传染病，通过对患病人口分布和地理环境调研后发现四个地区感染此病的概率分别为1111,,,6543，现从这四个地区中随机找到一个人，那么此人患病的概率是多少？解 令{}{}A B i ==此人患病，此人来自地区,1,2,3,4i =,由题意可知()()()()123414P B P B P B P B ====，()()()()12341111,,,6543P A B P A B P A B P A B ====.因此由全概率公式得()()()41i i i P A P B P A B ==∑11111111194645444380=⨯+⨯+⨯+⨯=.所以此人患病的概率为1980. 2.3在敏感问题调查中的应用例3 在调查家庭暴力（或婚外恋、服用兴奋剂、吸毒等敏感问题）所占家庭的比例p 时，被调查者往往不愿回答真相，这就使得调查结果失真.为得到实际的p 同时又不侵犯个人隐私，调查人员在袋中放入比例是0p 的红球和比例是001q p =-的白球.被调查者在袋中任取一球窥视后放回，并承诺取到红球就讲真话，取到白球就讲假话.被调查者只需在匿名调查表中选“是”（有家庭暴力）或“否”，然后将表放入投票箱.没人知道被调查者是否讲真话和回答的是什么.如果每个家庭回答“是”的概率是1p ，求p .解 对任选的一个家庭，用B 表示回答“是”，用A 表示取到红球.利用全概率公式得到()()()()()1p P B P B A P A P B A P A ==+ ()001pp p q =+- ()000q p q p =+-. 于是只要00p q ≠，则1000p q p p q -=-. 实际问题中，1p 是未知的，需要经过调查得到.假定调查了n 个家庭，其中有k 个家庭回答“是”，则可以用1ˆkpn=估计1p ，于是可用1000ˆˆp q pp q -=-估计p .其中00p q -越大，得到的结论越可靠.但是00p q -越大，调查方案越不易被调查者接受.2.4在抽检次品类型问题中的应用例4 要验收一批乐器共100件，从中随机取出3件测试，且3件乐器的测试是互相独立的.如果3件中任意一件音乐不纯，则拒绝接受这批乐器.设一件音色不纯的乐器经测试被查出来的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被认为不纯的概率为0.01，如果这100件乐器中有4件音色不纯，求这批乐器被接受的概率. 解 设事件i A 为“3件乐器中有i 件音色不纯”()0,1,2,3i =，事件B 为“这批乐器被接受”.0123,,,A A A A 构成完备事件组，要考察B 出现的概率，需要考虑各个i A ()0,1,2,3i =出现的情况下B 的条件概率.由全概率公式，得()()()30i i i P B P A P B A ==∑.由题设知，事件i A 的概率()()349631000,1,2,3i i i C C P A i C -==.事件{}i B A 的含义是：在3件乐器中有i 件音色不纯的情况下这批乐器被接受.这意味着：i 件音色不纯的乐器都查不出来，而()3i -件音色纯的乐器也都不能被误认为不纯，又因为3件乐器的测试是相互独立的，所以()()()()3310.9510.010.050.99iiii i P B A --=-⨯-=⨯ ()0,1,2,3i =，代入上式，得()()()333496301000.050.990.8629i ii ii C C P B C --==⨯⨯=∑.2.5在商品销售问题中的应用例5 假设某段时间内来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p ，且顾客之间是否购买电视机的事件互相独立，试求这段时间内百货公司售出k 台电视机的概率.解 设k A 表示出售电视机k 台，i B 表示来到百货公司的顾客数为i 人，则(),0,1,2,!ii P B e i i λλ-== ,()()0,0,1,2,,1,1,,1,.i kk i k k ii k P A B C P p i k k -=-⎧⎪=⎨-=+⎪⎩所以，由全概率公式得()()()0k i k i i P A P B P A B +∞==∑()1!ii kk kii kC p p e i λλ+∞--==-∑()()!1!!!ii k ki k i p p e k i k i λλ+∞--==--∑()()()1!!i kki kp p e k i k λλλ-+∞-=-⎡⎤⎣⎦=-∑()()0,1,2,!kpp e k k λλ-== .说明百货公司所售出的电视机数仍服从Poisson 分布，参数为p λ. 2.6 在系统可靠性问题中的应用例6 元件能正常工作的概率称为该元件的可靠性，由多个元件构成的系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性.设如图所示（见图1）系统中各元件正常工作的概率均为p ()01p <<，且各元件正常工作与否相互独立，求下列各系统正常工作的概率.图1：由元件组成的工作系统解 （1）设系统KL 正常工作的概率为KL p ，因为要是系统KL 正常工作，两条串联线路必须至少有一条正常工作，而第一条串联线路正常工作的概率为n p ，不正常工作的概率为1n p -，两条串联线路都不正常工作的概率为()21n p -，因为KLp等于不是两条串联线路都不正常工作的概率，即()()2112n n n KL p p p p =--=-.（2）类似（1），设系统MN 正常工作的概率为MN p ，则()()2112nnn MNp p p p ⎡⎤=--=-⎣⎦. 显然，当1n >时，有MN KL p p >.（3）设系统RS 正常工作的概率为RS p ，以,,,,A B C D E 表示相应元件正常工作，并设事件W 为“系统RS 正常工作”.方法一 因,,,AD ACE BE BCD 4条线路至少有一条正常工作，系统RS 就正常工作，再由加法公式得()RS p P AD ACE BE BCD =()()()()()P AD P ACE P BE P BCD P ACDE =+++-- ()()()()P ADBE P ADBC P ACEB P ACEBD ---- ()()()P BECD P ADCEB P ABCED +++()2P ABCDE 23452252p p p p =+-+. 方法二 由全概率公式和（1）、（2），得()()()()()RS p P W P C P W C P C P W C ==+()()()2222212p p p p p p =⋅-+-⋅-23452252p p p p =+-+.从上面的解题步骤我们可以看出，如果使用通常的解答方法的话，在遇到样本空间庞大，数据复杂的事件时是十分费时费力的.而用全概率公式的话就是非常简洁明了.2.7在生物研究中的应用例7 某实验室在器皿中繁殖成k 个细菌的概率为,0,0,1,2,!kk p e k k λλλ-=>= ,并设所繁殖成的每个细菌为甲类菌或乙类菌的概率相等.求下列事件的概率： （1）器皿中所繁殖的全部是甲类菌； （2）已知全是甲类菌，求恰好有2个甲类菌； （3）求所繁殖的细菌中有i 个甲类菌.解 以事件A 表示“繁殖的细菌全是甲类菌”，k B 表示“繁殖了k 个细菌”，0,1,2,k = ,i A 表示“所繁殖的细菌中有i 个甲类菌”，0,1,2,i = .（1）由全概率公式得()()()12111(1)!2kkk k k k P A P B P A B e e e k λλλλ∞∞--==⎛⎫===- ⎪⎝⎭∑∑.（2）()()()()222222112212!2(1)8(1)e P B P A B P B A P A e e e λλλλλλ--⎛⎫⎪⎝⎭===--. （3）由题意得()()11,!222ik ikk i i k i k k k e i P B P A B C C k λλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由全概率公式得()()()i k i k k iP A P B P A B ∞==∑1!2kkikk ie C k λλ∞-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()!!!!2kk ik e k i k i λλ∞-=⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑()12!2!k ii k i e i k i λλλ-∞-=⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪-⎝⎭∑ 122!ie i λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()1,2,i = .3.小结本文对全概率公式的定义、内涵及在部分领域的应用做了简单的阐述，仅此就可以看到全概率公式在实际应用中的重要性.事实上这是由全概率公式的思想方法决定的.全概率公式的精髓之处就在于将事件分割，化繁为简、化难为易.因此我们在解答实际问题时只要遇到事件构成复杂、数据量庞大的问题时就可以考虑使用全概率公式及其推广，即使有的问题不能够使用全概率公式,我们也可以利用其思想对问题进行分析研究并求解.全概率公式在以后的科学技术领域、工农业生产及国民经济各部门中会有更加广泛的应用.如保险业务；气象、地震报告；产品的抽样检验；研发新产品中的寻求最佳生产方案；在可靠性工程中进行器件和装置使用可靠性程度和平均寿命的估算等.我们要在熟练掌握基本理论和基本方法的前提下，理论联系实际，不断提高自己分析问题和解决问题的能力.参考文献：[1] 林正炎，苏中根.概率论.[M].杭州：浙江大学出版社，2001.8.[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程.[M].北京：高等教育出版社，2011.2（2012.5重印）.[3] 顾晓青.全概率公式的应用.[J].沧州师范专科学校学报，2000.6,第16卷,第3期.[4] 陈希孺.概率论与数理统计.[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1992.5（2007.8重印）.[5] 王明慈，沈恒范.概率论与数理统计.[M].北京：高等教育出版社，1999（2002重印）.[6] 马晓丽，张亮.全概率公式的推广及其在保险中的应用.[J].高等数学研究，2010.6，第13卷，第1期.[7] 符方健.全概率公式及其应用技巧.[J].高等数学研究，2011.3,第14卷第2期.[8] 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