反证法在分析学中的应用

反证法在分析学中的应用

临沂大学理学院

毕业论文（设计）

反证法在分析学中的应用

专业数学与

应用数学

系（院）理学

院

摘要

“反证法”是数学证明中的一种重要方法，运用起来简明间接，是一种重要的数学思想方法.本文主要介绍了“反证法”的逻辑依据和步骤.列举了一些在分析学中比较适合用反证法解决的问题.同时指出了如何正确的运用反证法.

关键字：数学分析反证法应用

ABSTRACT

"Reductio ad absurdum" is an important method of mathematical proof, use condensed indirect, is an important mathematical thinking. This paper describes the rationale of the "reductio ad absurdum" and steps. Examples reductio ad absurdum more suitable for use in the analysis of learning to solve problems.Also pointed out how to properly use reductio ad absurdum

Key words: mathematical analysis, reductio ad absurdum, the application

目录

1，引言 (1)

2．，反证法的原理和步骤 (1)

3，反证法的应用 (1)

3.1应用类型一 (2)

3.2应用类型二 (3)

3.3应用类型三 (5)

3.4应用类型四 (8)

3.5应用类型五 (9)

4.结束语 (10)

参考文献 (12)

致谢 (13)

1 引言

反证法是分析学中经常要用到的解题方法之一.无论是在定理证明中还是在解题中，经常都要用到反证法.并且相对对一些比较抽象或者是用直接证法比较困难的命题而言，反证法具有一定的优势，效果非常明显.此外，反证法作为一种间接证明的方法在分析学中应用非常广泛.首先我们来了解一下反证法.

2，反证法的原理和步骤

反证法就是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，

即肯定题设二否定结论，通过推理导出矛盾，进而证明命题.

反证法证明命题的具体步骤：（1）反设，即作出与求证结论相反的假设；（2）由反设与题设条件出发，推出与公理，定义，已知定理或题设相矛盾的结果.（3）存真，即由所得矛盾证明了反设不成立，从而肯定了原结论正确.

3，反证法的应用

反证法运用巧妙，适用范围广泛。一般说来，能用直接证明的命题，其证明

过程都可以改写成反证法的形式.但通常我们只对那些用直接证法难以下手的问题转而使用反证法.而如何判断命题“若A 则B “有没有直接证明的证明依据，则是数学分析中是否建立了关于B 或不B 的有关理论而定.若建立了关于B 的有关理论，则宜用直接证法证明，若没有建立关于B 的有关理论，而建立了关于不B 的有关理论，则用反证法.

经过观察，以下几种命题类型用反证法证明比较合适.

3.1当命题的结论中带有“函数F(x) ≡某个特定的常数”时，适合用反证法证明.

例 1 设F 为闭区间[]b a ,上的连续函数，且F(a)F(b)＜0,则()b a ,∈∃ξ,使得F （ξ）=0.

证法1 不妨设F （a ）＜0,F(b) ＞0. 假设F(x)()b a x ,,0∈∀≠.现将[]b a ,两等分，若F(2b a +)＞0,则取2

1b

a b +=，1a =a;若F(

2b a +)＜0，则取2

1b

a a +=，1

b =b. 此时，F （1a ）＜0,F （1b ）＞0.再将[]11,b a

两等分，若F(

211b a +)＞0，则取2a =1a ，2b =211b a +；若F （2

11b

a +）＜0,则取2

1

12b a a +=

，2b =1b ，此时F （2a ）＜0,F （2b ）＞0,如此下去，得一递降闭区间套：

[]b a ,⊃[]11,b a ⊃[]22,b a ⊃…⊃[]n n b a ,⊃…，

n n a b -=

n

a

b 2

-→0（n →+∞），F （n a ）＜0,F （n b ）＞0.根据实数连续性命题（三）（闭区间套原理）知，[] ∞

=∈∃1

0,n n n b a x ⊂[]b a ,，显然，

lim +∞

→n n

a

=0x =lim +∞

→n n b .

由F 连续知，0≥lim +∞

→n F （n a ）=F （0x ）=lim +∞

→n F （n b ）≥0.所以有F （0x ）=0，又F （a ）＜0,F(b) ＞0，故0x ≠a,,b, ),(0b a x ∈,这与假设相矛盾.因此，必有()b a ,∈ξ，使得F （ξ）=0.

证法2 假设F(x)()b a x ,,0∈∀≠,由F 连续知，x δ∃＞0，s.t.F 在

()[]b a x x x x ,, δδ+-上严格同号，则开区间族

Q=()[]{}b a x x x x x ,,∈+-δδ

为[]b a ,上的一个开区间覆盖，根据实数连续性命题（四）（[]b a ,的紧致性）知存在有根的子覆盖Q 1=(){}

k i x x i i x i x i ,...,2,1,=+-δδ。不失一般性，设

()1111,x x x x a δδ+-∈，如果[]()

111,,1δδ+-∈x x b a x ，那么F []b a ,与F （a ）严格同号，

从而F(a)F(b) ＞0，这与题设F(a)F(b)＜0相矛盾，因此，()1111,x x x x b δδ+-∉，从而()b a x i x ,1∈+δ，不妨设()2222,x x x i x x x i δδδ+-∈+.由于

()()φδδδδ≠+-+-2212211

,,x x x x x x x

，所以F 在()

1111,x x x x δδ+-与()

2222

,x x x x

δδ+-上严格同号，依次得到一串开区间

(){}

k l l i x x

i i x i x i

≤=+-其中,,...,2,1,δδ，F 在这些开区间上依次是同号的，并且