内积空间与希尔伯特空间

2.3 内积空间与希尔伯特空间

通过前面的学习，知道n 维欧氏空间就是n 维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如θ为向量α和β的夹角时有：cos αβ

θαβ

⋅=

或者cos αβαβθ⋅=，其中αβ⋅表示两个向量的数量积(或点积或内积)，α表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert 空间．

2.3.1 内积空间

定义1.1 设U 是数域K 上的线性空间，若存在映射( , )⋅⋅：U U ⨯→K ，使得,,x y z U ∀∈，

α∈K ，它满足以下内积公理：

(1) (,)0x x ≥；(,)00x x x =⇔=； 正定性(或非负性) (2) (,)(,)x y y x =； 共轭对称性 (3) (,)(,)(,)x z y x y z y αβαβ+=+， 线性性

则称在U 上定义了内积( , )⋅⋅，称(,)x y 为x 与y 的内积，U 为K 上的内积空间(Inner product spaces )．当=K R 时，称U 为实内积空间；当=K C 时，称U 为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces )空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces )空间．

注1：关于复数：设z a bi =+∈C ，那么z oz =；(cos sin )z r i θθ=+其中θ为辐射角、r z =；2

z z z ⋅=；z z =；对于12,z z ∈C ，有1212z z z z ⋅=⋅．

注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性．

注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的． 因为(,)(,)(,)(,)(,)x y y x y x y x x y ααααα===⋅=，所以有

(,)(,)(,)x y z x y x z αβαβ+=+，

即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为

线性的．

在n 维欧氏空间n R 中，,n αβ∀∈R ，有cos αβαβθ⋅=，即cos αβαβθαβ⋅=≤．下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立．如果在内积空间上定义范数12

(,)x x x =，其中x U ∈，通过Schwarz 不等式可证明U 为线性赋范空间，即需验证1

2

( , )⋅=⋅⋅满足范数公理．

引理1.1 Schwarz 不等式

设U 为内积空间，,x y U ∀∈有(,)x y x y ≤⋅．

证明 当0x =或者0y =时，显然结论成立．假设0x ≠及0y ≠，那么λ∀∈C 有

(,)0x y x y λλ++≥

即

0≤(,)x y x y λλ++=(,)(,)(,)(,)x x x y y x y y λλλλ+++

(,)[(,)(,)](,)x x x y y y y x λλλ=+++

令(,)

(,)

x y y y λ=-，则有2

(,)0(,)(,)x y x x y y ≤-，即

2

2

2

(,)(,)(,)x y x x y y x y ≤=⋅，

因此(,)x y x y ≤⋅．□

讨论什么条件下？Schwarz 不等式中的(,)x y x y <⋅成立． 验证1

2

( , )⋅=⋅⋅满足范数公理．

(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：,x y U ∀∈有

2

(,)x y

x y x y +=++(,)(,)x x y y x y =+++

(,)(,)x x y y x y ≤+++ x x y y x y ≤⋅++⋅+ ()x y x y =++

故x y x y +≤+．

因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数12

(,)x x x =导出的距离为

1

2

(,)(,)d x y x y x y x y =-=--．

例1.1 在点列依范数收敛时，内积(,)x y 是,x y 的连续映射．即内积空间U 中的点列{}n x ，{}n y 依范数收敛0n x x →，0n y y →，那么有00(,)(,)n n x y x y →．

证明 因为当n →∞时0n y y →，所以{}n y 有界，即存在正实数0M ≥，使得n y M ≤，那么

000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x y x y x y x y x y x y -=-+-

0000(,)(,)(,)(,)n n n n x y x y x y x y ≤-+- 000(,)(,)n n n x x y x y y =-+- 000n n n x x y x y y ≤-+- 0000n n x x M x y y ≤-+-→

因此二元函数(,)(,)F x y x y =是连续函数．□

2.3.2 希尔伯特空间

定义1.2 设U 是数域K 上的内积空间，如果U 按内积导出的范数12

(,)x x x =成为Banach 空间，就称U 为Hilbert 空间，简记为H 空间．

注4：因为内积(,)x y 可导出范数1

2

(,)x x x =，范数x 可导出距离(,)d x y x y =-，所以有

内积空间→线性赋范空间→度量空间．

其中称完备的线性赋范空间为Banach 空间，完备的内积空间为Hilbert 空间．

下面给出一些Hilbert 空间的例子． 1、实内积空间n R 是Hilbert 空间．

对于12(,,,),n x x x x =L 12(,,,)n y y y y =L n ∈R ，n 维欧式空间n R 上的标准内积定义为

1122(,)n n x y x y x y x y =+++L

导出的范数为122

1

()i

n

i x x ==∑，距离为12

2

1

(,)()n

i i i d x y x y ==-∑．□