偏导数的几何意义

偏导数的几何意义

实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件

背景知识：

一偏导数的定义

在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.

所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义

定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在

处有增量时,相应的函数有增量

- ,

如果 (1)

存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做

, , ,或

例如,极限(1)可以表为

=

类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为

记做, , 或

如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做

, , ,或

类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做

, , ,或

由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函

数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.

至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数.

偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为

=

其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例求的偏导数

解= ,

=

二偏导数的几何意义

二元函数= 在点的偏导数的几何意义

设为曲面= 上的一点,过点作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为= ,则导数,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率

三偏导数的几何意义

我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P

沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于,但不能保证点P按任何方式趋于P 时,函数值都趋于.例如,函数

= ={

在点(0,0)对的偏导数为

同样有

但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续

四二阶混合偏导数

设函数= 在区域D内具有偏导数

= , =

那么在D内, 都是的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数= 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:

,

,

其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数

例2 设,求, , ,

,

从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, =

我们再看用maple作求的图形

第一个图形为

第二个图形为

从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的

这不是偶然的,事实上我们有下述定理

定理如果函数= 的两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等

换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关