2021合肥二模 数学(理科)及其答案
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16.①②④
14.25 和 15
15.
3 2
sin
n
3
1 4
或
3 2
sin
n
3
1 4
（二者填其一）
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.
17.(本小题满分 12 分)
解：(1)当n 2 时，a1 2a2 3a3 nan n 1 2n1 2 ，
a1 2a2 3a3 n 1 an-1 n 2 2n 2 ，
15 8
.………………6 分
(2)用随机变量Y 表示n 名用户中年龄为 30 岁以上的用户数量，则事件“至少一名用户年龄为 30 岁以上”的概
率为 P Y
1
1
P Y
0
1 2
，∴ P Y
0
1 2
，即
9 10
n
1 2
，
∴
n
1
lg 2 2 lg
3
.
∵
1
lg 2
2 lg
3
6 ，7
，
n
N
，∴
n
的最小值为
∴nan n 1 2n1 n 2 2n n 2n ，∴an 2n ( n 2 ).
∵n 1，a1 2 ，∴当n 1 时，an 2n 也成立，
∴an 2n ( n N * ).
…………………………6 分
(2)∵bn
an
an
1 an1
1
2n 2n 1 2n1 1
1 2n 1
1 2n1 1
，
∴ Sn
b1 b2
b3
bn
1 21
1
1 22
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
2n
1
1
1
1 3
1 2 n 1
1
.
∵n
N*
，∴
1 2n1 1
0
，∴ Sn
பைடு நூலகம்
1 3
.
…………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
解：(1)随机变量 X 可以取到的值为 0，1，2，3，所以
合肥市 2021 年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B
A
C
A
C
B
D
A
C
A
D
C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 3 5 2
0，2
2 ，0
，
BF
5
2 4
，-
7
2 4
，1 2
，
∴
2 5
2
2 4
y2 x2
0，
72 4
y2
1 2
z2
0. 取n2
2，0， 5
2
，∴cos n1,n2
n1 n2 n1 n2
5 3
2 54
5 9
.
∴二面角 E CF B 的正弦值为
1 cos2
n1, n2
2
14 9
.
……………………………12 分
7.
………………………………12 分
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
19.(本小题满分 12 分) (1)证明:如图，取 AB 的中点 H ，连接CH ， DE ， PE . ∵ BD 3AD ，∴ D 为 AH 的中点，∴ DE ∥CH . ∵ AC BC ，∴CH AB ，∴ ED AB . 又∵点 E 在平面 PAB 上的射影 F 在线段 PD 上， ∴ EF 平面 PAB ，∴ EF AB . ∵ EF ED E ， EF，DE 平面 PDE ， ∴ AB 平面 PDE ，∴ AB PE . ∵点 E 为棱 AC 的中点， PA PC ，∴ PE AC . 又∵ AC AB A ， AC，AB 平面 ABC ， ∴ PE 平面 ABC .∵ PE 平面 PAC ， ∴平面 PAC 平面 ABC . …………… …… …………6 分 (2)∵ AC BC ，∴以C 为原点，以CA，CB 所在方向为 x，y 轴正方向建立空间直角坐标系，如图.
9 4
，解得n 1 .
∴直线l
的方程为 x
my
1 ，直线l
过定点(1，0)，此时， y1
y2
6m 3m2
4
， y1 y2
9 3m2
4
，
∴ AB
1 m2 y1 y2
1 m2
y1 y2 2 4 y1 y2
1 m2
20.(本小题满分 12 分)
解:(1)设椭圆的半焦距为c
，由题意得
c a
a
1， 2
解得
c 3，
a
c
12，. ，∴b
3，
∴椭圆C
的标准方程为 x2 4
y2 3
1.………………………………5 分
(2)由题意知，直线l 的斜率不为 0，设其方程为 x my n ， A ( x1，y1 )， B ( x2，y2 ).
PX
0
C50C33 C83
1 56
，PX
1
C51C32 C83
15 56
，
P
X
2
C52C31 C83
15 28
，
P
X
3
C53C30 C83
5， 28
∴用户数量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
1
15
15
5
P
56
56
28
28
∴
X
的期望为 EX
0
1 56
1
15 56
2
15 28
3
5 28
105 56
∵ PA PC 3 ， AC BC 2 2 ，∴ AB 4 ，CH 2 ， PE DE 1 ， F 为 PD 的中点，
∴C 0，0 ，0 ，B 0，2 2，0 ，E
2，0 ，0
，P
2，0 ，1
，D
3
2 2
，
2 2
，0
,
F
5
2 4
，
2 4
，1 2
.
设平面 ECF 的法向量为n1 x1，y1，z1 ，∴n1 EF ，n1 EC ，
∴n1
EF
0
， n1
EC
0
.∵ EF
2 4
，
2 4
，1 2
，
CE
2，0，0 ，
2x 0，
∴
2 4
x
2 4
y
1 2
z
0. 取n1
0， 2，1
.
A
设平面 BCF 的法向量为n2 x2，y2，z2 ，∴n2 CB ，n2 FB ，
∴n2 CB 0 ，n2 FB 0 .∵CB
x my n
由
x2
y2
4 3
得 1
3m2 4
y2 6mny 3n2 12 0 ，
∴ y1 y2
6mn 3m2
4
，
y1
y2
3n2 12 3m2 4
，
6mn2
4
3m2 4
3n2 12 48 3m2 n2 4 0 .
∵ k1
y1 x1 2
，k2
y2 x2 2
，
∴ k1k2
x1
y1 y2
2 x2
2
my1
n
y1 y2
2 my2
n
2
m2
y1 y2
mn
y1 y2
2 y1
y2
n
22
高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）
3n2 12
m2
3n2 12 3m2 4
3m2 4
m
n
2
6mn 3m2
4
n
2
2
3n2 12
4n 22
3n 2 4n 2
14.25 和 15
15.
3 2
sin
n
3
1 4
或
3 2
sin
n
3
1 4
（二者填其一）
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.
17.(本小题满分 12 分)
解：(1)当n 2 时，a1 2a2 3a3 nan n 1 2n1 2 ，
a1 2a2 3a3 n 1 an-1 n 2 2n 2 ，
15 8
.………………6 分
(2)用随机变量Y 表示n 名用户中年龄为 30 岁以上的用户数量，则事件“至少一名用户年龄为 30 岁以上”的概
率为 P Y
1
1
P Y
0
1 2
，∴ P Y
0
1 2
，即
9 10
n
1 2
，
∴
n
1
lg 2 2 lg
3
.
∵
1
lg 2
2 lg
3
6 ，7
，
n
N
，∴
n
的最小值为
∴nan n 1 2n1 n 2 2n n 2n ，∴an 2n ( n 2 ).
∵n 1，a1 2 ，∴当n 1 时，an 2n 也成立，
∴an 2n ( n N * ).
…………………………6 分
(2)∵bn
an
an
1 an1
1
2n 2n 1 2n1 1
1 2n 1
1 2n1 1
，
∴ Sn
b1 b2
b3
bn
1 21
1
1 22
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
2n
1
1
1
1 3
1 2 n 1
1
.
∵n
N*
，∴
1 2n1 1
0
，∴ Sn
பைடு நூலகம்
1 3
.
…………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
解：(1)随机变量 X 可以取到的值为 0，1，2，3，所以
合肥市 2021 年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B
A
C
A
C
B
D
A
C
A
D
C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 3 5 2
0，2
2 ，0
，
BF
5
2 4
，-
7
2 4
，1 2
，
∴
2 5
2
2 4
y2 x2
0，
72 4
y2
1 2
z2
0. 取n2
2，0， 5
2
，∴cos n1,n2
n1 n2 n1 n2
5 3
2 54
5 9
.
∴二面角 E CF B 的正弦值为
1 cos2
n1, n2
2
14 9
.
……………………………12 分
7.
………………………………12 分
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
19.(本小题满分 12 分) (1)证明:如图，取 AB 的中点 H ，连接CH ， DE ， PE . ∵ BD 3AD ，∴ D 为 AH 的中点，∴ DE ∥CH . ∵ AC BC ，∴CH AB ，∴ ED AB . 又∵点 E 在平面 PAB 上的射影 F 在线段 PD 上， ∴ EF 平面 PAB ，∴ EF AB . ∵ EF ED E ， EF，DE 平面 PDE ， ∴ AB 平面 PDE ，∴ AB PE . ∵点 E 为棱 AC 的中点， PA PC ，∴ PE AC . 又∵ AC AB A ， AC，AB 平面 ABC ， ∴ PE 平面 ABC .∵ PE 平面 PAC ， ∴平面 PAC 平面 ABC . …………… …… …………6 分 (2)∵ AC BC ，∴以C 为原点，以CA，CB 所在方向为 x，y 轴正方向建立空间直角坐标系，如图.
9 4
，解得n 1 .
∴直线l
的方程为 x
my
1 ，直线l
过定点(1，0)，此时， y1
y2
6m 3m2
4
， y1 y2
9 3m2
4
，
∴ AB
1 m2 y1 y2
1 m2
y1 y2 2 4 y1 y2
1 m2
20.(本小题满分 12 分)
解:(1)设椭圆的半焦距为c
，由题意得
c a
a
1， 2
解得
c 3，
a
c
12，. ，∴b
3，
∴椭圆C
的标准方程为 x2 4
y2 3
1.………………………………5 分
(2)由题意知，直线l 的斜率不为 0，设其方程为 x my n ， A ( x1，y1 )， B ( x2，y2 ).
PX
0
C50C33 C83
1 56
，PX
1
C51C32 C83
15 56
，
P
X
2
C52C31 C83
15 28
，
P
X
3
C53C30 C83
5， 28
∴用户数量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
1
15
15
5
P
56
56
28
28
∴
X
的期望为 EX
0
1 56
1
15 56
2
15 28
3
5 28
105 56
∵ PA PC 3 ， AC BC 2 2 ，∴ AB 4 ，CH 2 ， PE DE 1 ， F 为 PD 的中点，
∴C 0，0 ，0 ，B 0，2 2，0 ，E
2，0 ，0
，P
2，0 ，1
，D
3
2 2
，
2 2
，0
,
F
5
2 4
，
2 4
，1 2
.
设平面 ECF 的法向量为n1 x1，y1，z1 ，∴n1 EF ，n1 EC ，
∴n1
EF
0
， n1
EC
0
.∵ EF
2 4
，
2 4
，1 2
，
CE
2，0，0 ，
2x 0，
∴
2 4
x
2 4
y
1 2
z
0. 取n1
0， 2，1
.
A
设平面 BCF 的法向量为n2 x2，y2，z2 ，∴n2 CB ，n2 FB ，
∴n2 CB 0 ，n2 FB 0 .∵CB
x my n
由
x2
y2
4 3
得 1
3m2 4
y2 6mny 3n2 12 0 ，
∴ y1 y2
6mn 3m2
4
，
y1
y2
3n2 12 3m2 4
，
6mn2
4
3m2 4
3n2 12 48 3m2 n2 4 0 .
∵ k1
y1 x1 2
，k2
y2 x2 2
，
∴ k1k2
x1
y1 y2
2 x2
2
my1
n
y1 y2
2 my2
n
2
m2
y1 y2
mn
y1 y2
2 y1
y2
n
22
高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）
3n2 12
m2
3n2 12 3m2 4
3m2 4
m
n
2
6mn 3m2
4
n
2
2
3n2 12
4n 22
3n 2 4n 2