函数的连续性与间断点(重点内容全)

函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作

x ∆，即x ∆＝1x －2x 。

（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。

2．函数在点连续的定义

定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量

x ∆=0x x -趋向于零时，

对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00

x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝

)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00

x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：

（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。

（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。

显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续⇔函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连

续。

(3)、函数y ＝)(x f 在点0x 处连续是)(lim 0

x f x x →存在的充分条件，而非必要条件。 3、函数在区间上连续的定义

定义4：如果函数y ＝)(x f 在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y ＝)(x f 在该区间上是连续的。

例1：讨论下列函数在区间),(+∞-∞内的连续性

（1）2)(x x f =

（2）x x f cos )(=

（3）x e x f =)(

例2：设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=002sin )(2x a x x x x x f ，试确定b 的值，使函数)(x f 在0=x 处连续。

二、函数的间断点

（一）．间断点概念：设函数)(x f 在),(0δ∧

x U 内有定义（在点0x 处可以无定义），如果函数)(x f 在点0x 处不连续，则称点0x 为函数)(x f 的一个间断点（或不连续点）。

函数)(x f 在点0x 连续： 函数)(x f 在点0x 不连续：

（1）函数)(x f 在点0x 有定义， （1*） 函数y ＝)(x f 在点0x 没有定义

（2） )(lim 0x f x x →存在； （2*）)(lim 0x f x x →不存在 （3）)()(lim 00x f x f x x =→ （3*）)(lim 0

x f x x →存在，但)(x f 在点0x 没有定义， 或)()(lim 00

x f x f x x ≠→ （二）.间断点的分类

设0x 为函数)(x f 的一个间断点，

1、第一类间断点

)0(0-x f ，)0(0+x f 都存在，

（1）若)0(0-x f =)0(0+x f ，即)(lim 0

x f x x →存在，此类间断点称为可去间断点。 函数)(x f 在点0x 无定义，函数)(x f 在点0x 有定义，但)()(lim 00

x f x f x x ≠→。 （2）若)0(0-x f ≠)0(0+x f ，即)(lim 0

x f x x →不存在，此类间断点称为跳跃间断点。 2. 第二类间断点

)0(0-x f 与)0(0+x f 中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷 间断点和振荡间断点。

例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型

（1）x

x x f 2sin )(= （2）x

x f 1arctan )(= （3）2

31)(22---=x x x x f （4）x

x f 1sin )(=