函数的连续性与间断点(重点内容全)
高中数学教师必备的知识函数的连续性(一)连续性与间断点
增量：变量从初值变到终值，则称为变量的增量或改变量，记为，即对于函数，当自变量从变到时，称为自变量的增量；对应的函数值从变到，称为函数的增量。
注：增量可正可负。
图 3-1定义设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应函数的增量也趋于零即，那么就称函数在点连续，称为函数的连续点。
极限可写成，即所以此定义也可改写为定义设函数在点的某一邻域内有定义，如果，那么就称函数在点连续。
由定义可知，函数在点连续，必满足三个条件（1）在点有定义（2）存在（左、右极限存在且相等）（3）如果三条中有一条不满足，则在点就不连续。
例1设讨论在的连续性。
解是一分段函数，∵所以不存在，故在处不连续。
图 3-2例2讨论函数在，及处的连续性。
解在处：不存在，所以不连续。
在处：，所以连续。
在处：且所以连续。
左连续、右连续：若存在且等于，即，则称在点左连续；若存在且等于，即，则称在点右连续。
图 3-3如：上两例中的函数均在点左连续。
显然在点连续，则在点左连续且右连续。
函数在区间连续：如果函数在区间内每一点都连续，则称函数在区间内连续；如果在区间内连续，在点右连续，在点左连续，则称函数在闭区间上连续。
图 3-4例3当时，且在连续，则解∵在连续，例4设函数在处连续，求。
解因为在处连续，所以，而，如果函数在的去心邻域内有定义，但在不连续，称为的间断点。
与连续的条件相对应，有下列三种情形之一时，则在点就不连续，点就为间断点。
(1) 在点没有定义(2) 在点有定义，但不存在(3) 在点有定义，且存在，但如：在点无定义，且不存在，所以是的间断点。
是的间断点，在有定义，但不存在 (条件2)是的间断点，因在有定义，且，但。
间断点的分类（1）跳跃间断点若在的左右极限存在但不相等，则称为跳跃间断点。
如：是的跳跃间断点。
图 3-5（2）可去间断点存在但不等于，则称为可去间断点。
补充或修改在的定义后，可使在连续。
如：是的可去间断点。
图 3-6（3）无穷间断点当（或，或）时，，则称为无穷间断点。
(整理)函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。
1.6函数的连续性与间断点
则 点 义 称 x0为 数f (x) 可 间 点 函 的 去 断 .
x2 −1 x ， 例8 函 f（ ） x −1， ≠1 数 x = y 0 x =1 。 ， x2 −1 在 x =1 ， 为 点 处 因 lim = x→ x −1 1 1 lim x +1 = 2 而（） 0 （ ） ， f 1 = ，
不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 返回
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时 , y = D( x ) = 0, 当x是无理数时 ,
在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间 在定义域 内每一点处都间断,且都是第二类间 内每一点处都间断 断点. 断点
x→ 1
y=
x −1
2
x −1
以 所 x =1是 数 可 间 点 函 的 去 断 。 o
1
x
返回
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. y 数的定义 则可使其变为连续点 如上例中, 如上例中 令 f (1) = 2,
x 则f ( x )在 =1处 续 连 .
y=
解
f (0−0) = 0,
f (0+0) =1 ,
y
Qf (0−0) ≠ f (0+0),
∴x = 0 函 的 跃 断 . 为 数 跳 间 点
o
x
返回
点 的 限 在 2.可去间断点 如 f (x)在 x0处 极 存 , 可去间断点 果 lim 但x→x f (x) = A≠ f (x0 ), 或f (x)在 x0处 定 点 无
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
函数的连续性与间断点分析
函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。
本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。
函数的连续性可以用极限的概念进行描述。
如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。
换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。
函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。
函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。
二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。
根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。
通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。
例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。
这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
1-5 连续性与间断点 连续函数运算
不连续
不存在; 存在 ,
x→x0
这样的点
称为间断点 . 间断点
间断点分类: 间断点分类:
第一类间断点: 第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 均存在 , 称 称
x0为可去间断点
.
x0 为跳跃间断点 .
若其中有一个为 ∞, 称
x0 为无穷间断点
. .
若其中有一个为振荡 , 称
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即 这说明 同样可证: 同样可证: 函数 在 在
∆x →0
0
内连续 . 内连续 .
二、 函数的间断点 下列情形之一函数 f (x) 在点 (1) (2) (3) 但 在 在 在 无定义 ; 有定义,但 有定义,且
lim f (x) ≠ f (x0)
三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一 切 初 等 函 数 在
定 义 区 间 内 连 续
例如, 例如,
y = 1− x
2
的连续区间为
(端点为单侧连续) 端点为单侧连续)
y = lnsin x 的连续区间为
而
y = cos x −1 的定义域为
函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性
第八节 函数的连续性与间断点
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义 处及其邻域内
f ( x0 ) ,
定义:设函数 y = f (x) 在 有定义, 且 lim
x → x0 f (x) =
则称函数 f (x ) 在 x 0 处连续。 .
4函数的连续性与间断点+总结
§1.1 映射与函数
函数与极限
§1.2 §1.3 §1.4 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9 §1.10
数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 §1.5极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性与间断点 连续函数运算与初等函数连续性 闭区间上连续函数的性质
极限概念, 无穷小与极限的关系, 极限运算法则, 两个重要极限, 连续概念, 初等函数的连续性, 间断点及其分类。
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则有下列情 形之一： 函数f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件: 无 定义; (1) f(x)在点x0处 有
( 2) 函数 lim f ( x )存在 (2) 在 ; 虽有定义 , 但
( 3) 函数 lim f ( x ) (3) 在f ( x虽有定义 ,且 0 ).
2
例1：求 lim
x 3
x 3 2 x 9
P66 例3
ln(1 x ) . 例2：求 lim x 0 x
x a 例3：求 lim 1. x 0 x
解 原式 lim ln(1 x ) ln[lim(1 x ) ] ln e 1. x 0 x 0 P68 例7
三角函数的和差化积公式
sin sin 2 sin
2 2
2
cos cos
2
sin sin 2 sin
2
2
cos cos 2 cos
cos
cos cos 2 sin
2
sin
2
二、函数的间断点
o
x
称x 0为函数的跳跃间断点 . ∴
函数的连续性与间断点
函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义, 如果
x → 0
lim y = 0 , 或 lim f ( x) = f ( x0 ) ,
x → x0
那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续. 讨论: 如何用εδ 语言叙述函数的连续性定义？ 提示:
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
lim P( x) = P( x0 ) .
注: 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.
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连续函数 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的 连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数举例 2. 函数 y=sin x 在区间(∞, +∞)内是连续的. 这是因为, 函数y=sin x在(∞, +∞)内任意一点x处有 定义, 并且
x →0
lim y = lim [sin( x + x) sin x]
= lim 2 sin x cos(x + x ) = 0 . x →0 2 2
x →0
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二、函数的间断点
间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提 下, 如果函数 f(x)有下列三种情形之一: (1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但 lim f(x)不存在;
§1.8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
高数同济18函数的连续性与间断点
14
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2 间断点举例 例 例5 4设 函 数 f ( x ) 0 x 1 x x 0 0 x 1 x 0 因 为 lf ( i x ) l m ( x i 1 ) 1 m
l 2 s i x c x i m x ) 0 o n x 0 2 2
实际上,初等函数在定义区间上都是连续的，（见下节）.
10
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二、函数的间断点
1 间断点（不连续点）的定义
y
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域 内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)
yf(x)
x 0 x 0
lf ( i x ) l m ( x i 1 ) 1 m
x 0 x 0
lf ( i x ) l m f ( i x ) m
x 0 x 0
所 以 极 限 lf i ( x ) 不 m 存 在 x 0 是 函 数 f ( x ) 的 间 断 点 x 0 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象 我们称x0
突变现象
思考：如何描述这种现象？ 数学语言：增量
2
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一、函数的连续性
y
曲线不断
yf(x)
y
y
yf(x)
y
曲线断开
x
x
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
1.增量的概念：设函 f(x数 )在 U(x0,)内有. 定义
x U (x0,) ,xxx0,称 为 自 x0的 变增 .量
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数 增 于
1-8函数的间断点与连续性
⎧∆x可正可负，但不为0 ⎨ ⎩ ∆y可正可负，但可为0
例：y = c
⇒ ∆y = 0
3
从几 何 上 看： （ 图 ）
y = f ( x)
lijuan
y
f ( x0 + ∆x)
当 ∆ x → 0时 ，
∆y
f ( x0 )
∆y → 0
o
∆x x 0 x0 + ∆x
x
4
例：设函数y = x ，当x0 = 2, ∆x = 0.01时，函数的
x →0
在该点连续
2 lim f ( x ) = lim x =0 − −
x →0
� o
∴ 函数在 x = 0处不连续，为可去间断点。
x
可改变定义，令：f (0) = 0，则可在x = 0处连续
17
⎧ x2 x <1 例、讨论函数f ( x) = ⎨ 的连续性 ⎩ln x + 1 x > 1
lijuan
lijuan
⎧ tan x = 0 ⇒ x = kπ （k = 0, ±1, ±2,...） 解： ⎨ ⎩ tan x → ∞ ⇒ x = kπ + π
x (1)当x = 0时，lim x → 0 tan x
2 = 1, 但在x = 0处无定义，
∴ x = 0为可去间断点， 补充定义：f (0) = 1
5
反之：曲线在x0处不连续，如图: 则当∆x → 0时, ∆y → 0
lijuan
y
∆y
o
x0
x0 + ∆x
x
6
连续性的定义：
lijuan
设函数y = f ( x)在x0的某邻域内有定义，若在x0处， 当∆x = x − x0 → 0时， 相应的∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) → 0，
高等数学（8）函数的连续性与间断点
⾼等数学（8）函数的连续性与间断点⼀、函数的连续性增量变量u:初值u1 -> 终值u2增量Δu: Δu = u2-u1正的增量Δu:u1变到u2时是增⼤的负的增量Δu:u1变到u2时是减⼩的函数的增量即:当因变量增量随⾃变量增量趋于0，称为连续。
单侧连续·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)·定理函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续⼜右连续连续函数定义:在区间上每⼀点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续注2 连续函数的图形是⼀条连续⽽不间断的曲线例题例证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续⼆、函数的间断点第⼀类间断点(左右极限都存在)跳跃间断点·如果f(x)在x0处左右极限都存在·但f(x0-0)≠f(x0+0)则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点讨论f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0处的连续性可去间断点·如果f(x)在x0处极限存在·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处⽆定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点注意·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第⼀类间断点第⼆类间断点·如果f(x)在x0处左右极限⾄少有⼀个不存在·则称x0为函数f(x)的第⼆类间断点例题1讨论f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0处的连续性四、章⼩结·函数在⼀点连续必须满⾜的三个条件；1.在这⼀点有定义2.在这⼀点极限是存在的3.极限存在的情况下还要等于在这⼀点的函数值·区间上的连续函数;函数在区间上的任意⼀点都连续,我们就说函数在区间上是连续的·间断点的分类与判别;间断点{第⼀类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在第⼆类间断点:⽆穷型, 振荡型 (⾄少有⼀个极限不存在}。
高数 连续性间断点
lim f (u )
uu0
f [ ( x0 )]
故复合函数
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
x R * 上连续 . 在
y
1 y sin x
o
x
机动
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例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
存在 ;
存在 ;
机动
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连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
) 只要 Q( x0 ) 0 lim lim x ) x0 ( , ), , 都有 P( x)R( P)( x0 R( x0 continue
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 即 于是 且 ( x0 ) u0 .
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
x0
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
大学高等数学上册 2.3 函数的连续性与间断点
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
这种情况称为无穷间断点.
15
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x
解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x 0 x
y sin 1 x
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
4
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x 0, x 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
x 0 x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x 0 x ,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
17
★
1, 当x是有理数时, f ( x) 1, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型:
y
y f x
x1
o
x2
x3
x
18
例8 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0,
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
1-4 函数的连续性与间断点
π lim [ln(sin x)] = ln(sin ) = ln1 = 0. π 2 x→
2
3. 复合函数求极限的方法
x→x0
定理 1 设 有 复 合 函 数 y = f [(x)] , 若 lim(x) = a,而函数f (u)在 = a 点连续,则 u 点连续,
x→x0
lim f [( x)] = f [lim( x)] = f (a).
第四节 函数的连续性与间断点
一,函数的连续性定义 二,初等函数的连续性 三,闭区间上连续函数的性质
第四节
函数的连续性与间断点
连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现, 连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现, 这方面实例可以举出很多,如水的连续流动, 这方面实例可以举出很多,如水的连续流动,身高的 连续增长等. 连续增长等.
例6
之间有实根. 证明方程 sin x x +1 = 0在 0与 π之间有实根.
内连续, 证 设 f (x) = sin x x +1, 因为 f (x)在 (∞,+∞)内连续, 所以, 上也连续, 所以,f (x)在[0, π]上也连续, f (0) =1 > 0, f (π) = π +1< 0, 而 所以, 3(根的存在定理 根的存在定理) 所以,据定理 3(根的存在定理)知,至少有一个ξ ∈(0,π), 使得 f (ξ ) = 0,即方程 sin x x +1 = 0在 0与 π之间至少有 一个实根. 一个实根.
O
x 0 x0+ x
x
的某邻域内有定义, 定义 1 设函数 y = f (x)在点 x0的某邻域内有定义, 趋于零时, 如果自变量的增量 x = x x0趋于零时,对应的函数增量 也趋于零, 也趋于零,即
函数的连续性与间断点内容小结与参考课件节选
函数的连续性与间断点内容小结与参考课件节选1、函数连续的定义函数f(x)在x0处连续的三个要素：(1)在x0的邻域内有定义；(2)x→x0函数极限存在；(3)极限值等于函数值.2、函数连续定义的几种等价描述与证明方法【注1】后面四种增量形式适用于抽象函数连续性的证明和区间上函数连续性的证明。
证明区间内任意一点函数连续，则只要将增量形式中的x0换成x则可以换成任意一点连续性的定义。
【注2】对于分段函数的分界点，区间端点连续性的证明，分别用左连续与右连续的定义，即【注3】闭区间上的连续函数对于端点处仅仅是左端点右连续，右端点左连续，而不是连续！【注4】初等函数在定义区间内任意一点都连续，从而有函数的极限等于极限的函数。
即【注5】函数可以仅仅在定义域内一点连续，比如函数仅仅在x=0处连续。
也可以在定义域内任意一点都不连续！3、间断点及其类型函数f(x)间断点的判定与连续性的三要素对应，满足如下三个之一即为间断点：(1)函数在x0处无定义；(2)函数在x0处有定义，但x→x0函数极限不存在；(3) 函数在x0处有定义，x→x0函数极限存在，但极限值不等于函数值.依据函数x→x0左右极限的存在性，可将间断点分为两个大类，四个小类：●第一类间断点：左右极限存在当左右极限相等，则称为可去间断点；左右极限不等，则称为跳跃间断点。
●第二类间断点：左右极限至少有一个不存在如果有一个极限趋于无穷大，则称为无穷间断点；否则称为振荡间断点。
【注】间断点存在的位置为分段函数的分界点，或者函数定义区间的分割点。
没有定义的点构成区间则不为函数的间断点，为函数没有定义的区间！4、函数间断点的判定(1)求函数的定义域，找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点x k；(2)对x k求函数的左右极限，由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势，确定间断点类型。
5、幂指函数极限的对数函数法基于函数e x在全体实数范围内的连续性，有其中要求f(x)在x*的某个去心邻域内大于0，如果f(x)的极限大于0即满足要求，并且可以推得如下结论：参考课件节选：。
函数的连续性与间断点
x x0
二、函数的间断点 （一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第八讲 函数的连续性与间断点
连续性:
连续函数: 要 求:
函数的一种变化性态
高等数学的主要研究对象 理解连续的概念 理解间断的概念与分类 会讨论函数的连续性
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
x0 , x0 内有界.
定理 函数 y f ( x )在 x0处连续,且 f ( x0 ) 0, 则 0 使y=f (x)在 x0 , x0 内恒有 f ( x ) 0.
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
[a , b]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
定义 设函数 y f ( x ) 在点x0 的某去心邻域内有定义,
x x0 x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。
本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。
具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。
换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。
即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。
也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。
二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。
对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。
而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。
对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。
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函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作
x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义
定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量
x ∆=0x x -趋向于零时，
对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00
x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝
)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00
x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：
（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续⇔函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连
续。
(3)、函数y ＝)(x f 在点0x 处连续是)(lim 0
x f x x →存在的充分条件，而非必要条件。
3、函数在区间上连续的定义
定义4：如果函数y ＝)(x f 在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y ＝)(x f 在该区间上是连续的。
例1：讨论下列函数在区间),(+∞-∞内的连续性
（1）2)(x x f =
（2）x x f cos )(=
（3）x e x f =)(
例2：设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=002sin )(2x a x x x x x f ，试确定b 的值，使函数)(x f 在0=x 处连续。
二、函数的间断点
（一）．间断点概念：设函数)(x f 在),(0δ∧
x U 内有定义（在点0x 处可以无定义），如果函数)(x f 在点0x 处不连续，则称点0x 为函数)(x f 的一个间断点（或不连续点）。
函数)(x f 在点0x 连续： 函数)(x f 在点0x 不连续：
（1）函数)(x f 在点0x 有定义， （1*） 函数y ＝)(x f 在点0x 没有定义
（2） )(lim 0x f x x →存在； （2*）)(lim 0x f x x →不存在 （3）)()(lim 00x f x f x x =→ （3*）)(lim 0
x f x x →存在，但)(x f 在点0x 没有定义， 或)()(lim 00
x f x f x x ≠→ （二）.间断点的分类
设0x 为函数)(x f 的一个间断点，
1、第一类间断点
)0(0-x f ，)0(0+x f 都存在，
（1）若)0(0-x f =)0(0+x f ，即)(lim 0
x f x x →存在，此类间断点称为可去间断点。
函数)(x f 在点0x 无定义，函数)(x f 在点0x 有定义，但)()(lim 00
x f x f x x ≠→。
（2）若)0(0-x f ≠)0(0+x f ，即)(lim 0
x f x x →不存在，此类间断点称为跳跃间断点。
2. 第二类间断点
)0(0-x f 与)0(0+x f 中至少有一个不存在。
其中有两类特殊的间断点：无穷 间断点和振荡间断点。
例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型
（1）x
x x f 2sin )(= （2）x
x f 1arctan )(= （3）2
31)(22---=x x x x f （4）x
x f 1sin )(=。