交通大学自主招生考试数学试题

2005年交通大学自主招生考试数学试卷

一、填空题（每题5分，共50分）

1．已知方程()22102x px p R p

--=∈的两根1x 、2x 满足44

12

2x x +≤+p =．

2．设8841sin cos 128x x +=，0,2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，则x =．

3．已知n Z ∈，且1

2004

11112004n n +⎛⎫

⎛

⎫+=+ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

，则n =．

4．如图，将3个12cm ×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部

分，将这6部分接在一个边长为若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为．

5=x 、y Q ∈，则(),x y =．

6．化简：()()

1

2

22222468+12n n +-+-+-=…．

7．若31z =，且z C ∈，则322220z z z +++=．

8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为．

9．4封不同的信放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为，恰好只有一封信装错的概率为． 10．已知等差数列{}n a 中，37111944a a a a +++=，则5916a a a ++=．

二、解答题（本大题共50分）

1．已知方程320x ax bx c +++=的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值．

2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 （1）最大角是最小角的两倍？

（2）最大角是最小角的三倍？

若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．

3．已知函数2281

ax x b

y x ++=+的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值．

4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关

系式（假设贷款时间为2年）．

5．对于数列{}n a ：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇数k 有k 个，是否存在整数r 、s 、t ，使得对于任意正

整数n ，都有n a r t ⎤=⎦恒成立（[]x 表示不超过x 的最大整数）？

2005年交通大学自主招生考试试卷参考答案

一、填空题（每题5分，共50分）

1．【答案】18

2-±．

【解答】()

2

2

2

4

422

21

2

121212

2411

2224x x x

x x x x x

p p p ⎛⎫⎡⎤+=+--=+- ⎪⎣

⎦⎝⎭

=4

4

112222p p ++≥+=p =182-±时取等号．

2．【答案】

6π或3

π

． 【解答】设sin cos x x t =，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以10,2t ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

．

由8841sin cos 128x x +=

，得()22441122128

t t --

=，即42256512870t t -+=． 解得2316t =或22916t =（舍）．所以sin cos x x ，解得x =6π或3

π

．

3．【答案】-2005．

【解答】()()

11

2004

11111112004n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛

⎫+=+=+⎢⎥

⎪

⎪-+⎝⎭

⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

，比较得2005n =-．

4．【答案】8643cm ．

【解答】如图，所得到的多面体相当于将四面体V ABC -截去三个角1V ADI -、

2V BEF -、3V CGH -，这三个小四面体都与V ABC -相似，相似比为1

3

，

且V ABC -的三条侧棱两两互相垂直，18VA VB VC ===．所以多面体体积为

3318113=8646

3⎡⎤

⎛⎫-⨯⎢⎥ ⎪⎝

⎭⎢⎥⎣⎦

．

5．

【答案】3122⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

2x y -=+-

又因为x 、y Q ∈，且x y >，所以2x y +=，34xy =

，解得32x =，1

2

y =．

6．【答案】()()1

121n n n +-+．

【提示】按n 的奇偶性分类讨论，或找规律．

7．【答案】25,1;

19,1z z =⎧⎨≠⎩

．

【解答】由31z =，得()()

2110z z z -++=，故1z =或21z z ++=0．

又因为()

322322202118z z z z z z +++=++++，所以 当1z =时，上式=25；当21z z ++=0时，则上式=19．

8．

【答案】

【提示】看侧面展开图（有三种不同情况）．

9．【答案】3

8

；0．

【解答】全装错的概率是493

8

P =；只有一封信装错是不可能事件，概率是0． 10．【答案】33．

【解答】()3711191191191044224424411a a a a a a a a a +++=⇒+=⇒+=⇒=

则59161011910333a a a a a a a ++=++==．

二、解答题（本大题共50分）

1．【解答】由韦达定理，得a b c a ab bc ca b abc c ++=-⎧⎪

++=⎨⎪=-⎩

... （1）...（2） (3)

若0c =，则2,

,

b a ab b =-⎧⎨=⎩∴222a a -=-，即0a =或1a =．

∴()(),,1,2,0a b c =-．

若0c ≠，由（3）式，得1ab =-，代入（2），得()1c a b b +=+，而由（1），得2c a b =--，