交通大学自主招生考试数学试题

2005年交通大学自主招生考试数学试卷
一、填空题（每题5分，共50分）
1．已知方程()22102x px p R p
--=∈的两根1x 、2x 满足44
12
2x x +≤+p =．
2．设8841sin cos 128x x +=，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则x =．
3．已知n Z ∈，且1
2004
11112004n n +⎛⎫
⎛
⎫+=+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，则n =．
4．如图，将3个12cm ×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部
分，将这6部分接在一个边长为若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为．
5=x 、y Q ∈，则(),x y =．
6．化简：()()
1
2
22222468+12n n +-+-+-=…．
7．若31z =，且z C ∈，则322220z z z +++=．
8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为．
9．4封不同的信放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为，恰好只有一封信装错的概率为． 10．已知等差数列{}n a 中，37111944a a a a +++=，则5916a a a ++=．
二、解答题（本大题共50分）
1．已知方程320x ax bx c +++=的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值．
2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 （1）最大角是最小角的两倍？
（2）最大角是最小角的三倍？
若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．
3．已知函数2281
ax x b
y x ++=+的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值．
4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关
系式（假设贷款时间为2年）．
5．对于数列{}n a ：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇数k 有k 个，是否存在整数r 、s 、t ，使得对于任意正
整数n ，都有n a r t ⎤=⎦恒成立（[]x 表示不超过x 的最大整数）？
2005年交通大学自主招生考试试卷参考答案
一、填空题（每题5分，共50分）
1．【答案】18
2-±．
【解答】()
2
2
2
4
422
21
2
121212
2411
2224x x x
x x x x x
p p p ⎛⎫⎡⎤+=+--=+- ⎪⎣
⎦⎝⎭
=4
4
112222p p ++≥+=p =182-±时取等号．
2．【答案】
6π或3
π
． 【解答】设sin cos x x t =，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以10,2t ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
．
由8841sin cos 128x x +=
，得()22441122128
t t --
=，即42256512870t t -+=． 解得2316t =或22916t =（舍）．所以sin cos x x ，解得x =6π或3
π
．
3．【答案】-2005．
【解答】()()
11
2004
11111112004n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=+=+⎢⎥
⎪
⎪-+⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
，比较得2005n =-．
4．【答案】8643cm ．
【解答】如图，所得到的多面体相当于将四面体V ABC -截去三个角1V ADI -、
2V BEF -、3V CGH -，这三个小四面体都与V ABC -相似，相似比为1
3
，
且V ABC -的三条侧棱两两互相垂直，18VA VB VC ===．所以多面体体积为
3318113=8646
3⎡⎤
⎛⎫-⨯⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎢⎥⎣⎦
．
5．
【答案】3122⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
2x y -=+-
又因为x 、y Q ∈，且x y >，所以2x y +=，34xy =
，解得32x =，1
2
y =．
6．【答案】()()1
121n n n +-+．
【提示】按n 的奇偶性分类讨论，或找规律．
7．【答案】25,1;
19,1z z =⎧⎨≠⎩
．
【解答】由31z =，得()()
2110z z z -++=，故1z =或21z z ++=0．
又因为()
322322202118z z z z z z +++=++++，所以 当1z =时，上式=25；当21z z ++=0时，则上式=19．
8．
【答案】
【提示】看侧面展开图（有三种不同情况）．
9．【答案】3
8
；0．
【解答】全装错的概率是493
8
P =；只有一封信装错是不可能事件，概率是0． 10．【答案】33．
【解答】()3711191191191044224424411a a a a a a a a a +++=⇒+=⇒+=⇒=
则59161011910333a a a a a a a ++=++==．
二、解答题（本大题共50分）
1．【解答】由韦达定理，得a b c a ab bc ca b abc c ++=-⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
... （1）...（2） (3)
若0c =，则2,
,
b a ab b =-⎧⎨=⎩∴222a a -=-，即0a =或1a =．
∴()(),,1,2,0a b c =-．
若0c ≠，由（3）式，得1ab =-，代入（2），得()1c a b b +=+，而由（1），得2c a b =--，
∴221
+2312b a b a b ab b a b
+=
⇒---=+--．
∴2222
22b b a b
+-=-=-，即()()31220b b b +-+=．
若()
3220b b -+=有有理根
q
p
，其中(),1p q =，p 、q Z ∈，则()
3232q p q p =-． ∴q 为偶数，令2q k =，k Z ∈．
代入得()
32322p p k k =-，∴p 也为偶数，这与(),1p q =矛盾． ∴()
3220b b -+=无有理根．
∴10b +=，1b =-．∴()(),,1,1,1a b c =-- 综合上述，()(),,1,2,0a b c =-或()1,1,1--．
2．【解答】设三角形三边长为1n -、n 、()12,n n n Z +≥∈，它们所对角分别为A 、B 、C ()A B C <<．
（1）由余弦定理，得()()
()()
2
2
2114
cos 2121n n n n A n n n ++--+=
=
++，
()()
()
()
2
2
2114
cos 2121n n n n C n n n -+-+-=
=
--．
若2C A =，则2cos 2cos 1C A =-．
代入化简，得322717100n n n --+=，即()()()21250n n n -+-=．
∴5n =，该三角形三边长为4、5、6．
（2）如图，设∠A θ=，则∠C =3∠A =3θ，过点C 作CD 交AB 于点D ，使∠ACD θ=，
∴△ACD 为等腰三角形
又∠2BDC θ==∠BCD ，∴△BCD 也为等腰三角形． ∵1BD BC n ==-，2AD DC ==，
1cos cos21BCD n θ∠==
-，cos cos 4
n DCA θ∠==， ∴2
1118
n n =--．整理，得()280n n n --=，n 无正整数． ∴满足条件的三角形不存在．
3．【解答】将函数表达式整理，得()280y a x x y b --+-=，
由判别式()()6440y a y b ∆=---≥，得()2160y a b y ab -++-≤． 依题意，上述不等式解集为[]1,9．
∴10,
5169a b a b ab +=⎧⇒==⎨
-=⎩
．经检验，5a b ==满足题意．
4．【解答】依题意，()()24
11y m m y +=+++…()
()24
23
111m y m y y
⎡⎤
+-⎣
⎦++=， ∴()
()
()24
24
1011
y y m y y +=
>+-．
5．【解答】当()2
21k n k <≤+时，n a 表示第1k +个奇数()k Z ∈，∴21n a k =+．
∵()2
211k n k ≤-<+
，∴k =
21n a ⎤=⎦
．
取2r =，1s =-，1t =，对任意*n N ∈，
有n a r t ⎤=⎦，即存在满足题意得整数r 、s 、
t ．。