动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
9)动力学基本方程
§9-1 动力学的基本定律
牛 顿
牛顿三定律
第一定律——惯性定律
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线 运动，即保持其原有的速度不变，这种性质称为 惯性，任何物体都具有惯性 力是改变运动的原因
第九章 动力学基本方程
第二定律——力与加速度关系定律
F ma
质点的质量和加速度的乘积，等于作用于质点 的力的大小，加速度的方向与力的方向相同 微分形式
1、正确选择研究对象，一般选联系已知量和待求量的质点
2、在一般位置上进行受力分析，画出受力图
3、进行运动分析，找出质点运动的特征量 4、选择适当的坐标系建立质点的运动微分方程
第九章 动力学基本方程
例题9-1
半径为R的偏心轮绕轴O以匀角速度ω转动，
推动导板沿铅直轨道运动，导板顶部放一质量为m的物块A， 设偏心距OC = e，开始时OC沿水平线。求物块对导板的最 大压力以及使物块不离开导板的ω最大值
dv 直接分离变量 再积分 dt
若力是位置的函数
dv dv 先置换变量 ，再分离变量并积分 v dt ds
2、应用运动初始条件确定积分常数，求出问题的确切解
第九章 动力学基本方程
例题9-3 滑块C质量为m，由绳子牵引沿水平导轨滑动，绳 子拉力F大小不变，已知OA= l，OB=2l，初始瞬时物块
位于B点，在拉力作用下由静止开始向左运动，不计摩
擦，求任意时刻物块速度的大小v与距离x之间的关系
第九章 动力学基本方程
例题9-4
质量均为m的A、B两物体以无重杆光滑铰链，
置于光滑的水平及铅垂面上，当 300时自由释放，求此 瞬时AB杆所受的力
y
A
B
x
第九章 动力学基本方程
动量定理
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
8
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度和 一定的时间间隔后才能达到飞 离甲板时的速度。 若已知初速度、一定的 时间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多大 推力，或者确定需要多长的 跑道。
y B A ω O φ D x
(a)
37
已知： 曲柄OA长 l ，质量是 m1，并以角速度ω绕定轴 O 转动。
规尺BD长2l ，质量是 2m1 ，两滑块的质量都是 m2 。
解法一: 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺BD、 滑块B 和D的动量的矢量和，即
y vB B ω O
vA
A E D
C
p = pOA + pBD + pB + pD
轮1,2皆为匀质圆盘,质量为m1、 m2，半径为r1 、 r2，胶带为匀质，质量为m。
35
例 一直径为D, 质量m1的匀质圆盘，在水平面内以 匀角速度w绕O轴转动。一质量为m2的小球M，在通 过O轴的直径槽内以L=kt(k为常量)的规律运动，则 瞬时t系统的动量的大小为 。
36
例画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA ，规尺 BD 以及滑块B 和 D 组成( 图 a)，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l ， 质量是 2m1 ；两滑块的质量都是 m2 ；曲柄长 l ，质量是 m1 ， 并以角速度ω绕定轴 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角φ时整♦ 没有位置属性
32
2. 质点系动量的计算
质点系的质心 C 的矢径表达式可写为
∑miri = m rC
当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式两端对时间求导 数，即得 投影到各坐标轴上有
注册工程师基础《理论力学》-动力学
x
a
P1 M
W
ma = P1 − W
P1
=W
+W g
a
答案：B
一、质点动力学
[例 题]
G F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
G = −k v
，则对图示坐标轴Ox，小球的运动微
分方程为：
（A） mx = mg− kx
（B） mx = −mg− kx （C） mx = −mg+ kx （D） mx = mg+ kx
J OO
=
J CC
+
m( l )22 2
=
1 3
ml 22
O
zC
z1
C
d
C
m
l
二、动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功
M1
F M2
θv
W = F cosθ S
S
● 变力的功
G MM22
G MM22
∫ ∫ W1122 = F ⋅ dr = F cosθ ds
MM11
MM11
● 重力的功
二、动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T +V = E = 常数
2．定理
二、动力学普遍定理
2．定理
质量相同的两均质圆盘，放在光滑水平面 上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F 和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′， 试判断那个圆盘动能大？
A F′ B F
三、达朗贝尔原理
x B
maCx = Fx = 0
答案：C
二、动力学普遍定理
2．定理
（4）动量矩定理
质点动力学的基本方程
动力学引言动力学是研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。
工程中的许多问题，如高速转动机械的动力计算、结构的动力计算。
宇宙飞行器和火箭轨道的计算等等，都需要应用动力学的理论。
在动力学中，物体的抽象模型有质点和质点系。
质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。
如研究人造地球卫星的轨道时，卫星形状和大小对所研究的问题不起主要作用，可以忽略。
顾客警卫星抽象唯一的质量集中在重心的质点。
刚体作平动时，也可以抽象为一个质点系来研究。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，或刚体不作平动，则应抽象为质点系。
所谓质点系是由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。
我们常见的固体、流体、气体以及由几个物体组成的机构，都是质点系。
刚体是一种特殊的质点系，其中任意两个质点间的距离保持不变，也成为不变质点系。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学。
我们以后各章都以质点动力学入手，然后再研究质点系问题。
第十章质点动力学的基本方程§10-1 动力学的基本定律质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果的基础上提出的，称为牛顿三大定律：第一定律（惯性定律）不受力的指点，将永远保持静止或做匀速直线运动。
即：不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是永远保持其原有的速度不变。
这种性质称为惯性。
第一定律阐述了物体做惯性运动的条件，故又称为惯性定律。
由此可知，质点如受到不平衡力系作用时，其运动状态一定改变。
则作用力与物体的运动状态改变的定量关系将由第二定律给出。
第二定律（力与加速度之间关系定律）质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小。
加速度方向与力的方向一致，即：am=F此式建立了质点的的质量、加速度与力之间的关系。
该式表明：1．加速度矢a与力矢F的方向相同。
2．力与加速度之间的关系时瞬时关系。
即：只要其瞬时有力作用于质点，则在该瞬时质点必有确定的加速度。
3．如在某段时间内没有力作用于质点，则在该段时间内质点没有加速度，质点做惯性运动。
智慧树答案理论力学(山东联盟-德州学院)知到课后答案章节测试2022年
绪论1.理论力学是研究物体运动规律的一门科学。
答案:错2.理论力学课程包含了三大模块（）。
答案:运动学;动力学;静力学3.静力学是从几何的角度研究物体的运动。
答案:错4.动力学主要研究物体的运动与作用力之间的关系。
答案:对5.理论力学研究的内容是速度远小于光速的宏观物体的机械运动。
答案:对第一章1.位移不受限制的物体，称作（）：答案:自由体2.以下关于静力学中的约束概念的说法中，正确的是（）：答案:光滑铰链约束和光滑球铰链约束本质上都是光滑接触约束，约束力其实只有一个。
3.约束对于物体的约束力，为未知的( )力：答案:被动4.图示各杆自重不计，以下四种情况中，哪一种情况的BD杆不是二力构件( )：答案:图C5.图示无重直杆ACD在C处以光滑铰链与直角刚杆BC连接，若以整体为研究对象，以下四图中哪一个是正确的受力图（）：答案:图B6.如图所示无重三铰拱，受力F ，F1作用，其中F作用于铰C的销子上，（）是二力构件：答案:CB7.力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
答案:对8.凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
答案:对9.只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
答案:错10.凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
答案:错第二章1.三力平衡定理是（）。
答案:共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点2.某平面力系，其简化结果与简化中心无关，则该力系的简化结果（）答案:为一合力偶或平衡3.平面任意力系的平衡方程采用二矩式时，其限制条件为X轴（）答案:不能垂直于A、B 连线4.在刚体上作用3个大小相等的力，其力三角形如图所示，则该力系的简化结果（）答案:可能平衡或简化为一力偶5.平面任意力系简化时若取不同的简化中心，则（）答案:力系的主矢不会改变，主矩一般会改变6.力在坐标轴上的投影及力在平面上的投影（）答案:前者为代数量，后者为矢量7.物体受力偶系作用平衡，则下列说法中哪一个是错误的？答案:力偶系中各个力偶的转向不影响列出的平衡方程；8.如图所示，桁架结构中，力F已知，求杆2和杆4的内力（）。
工程力学动力学知识点梳理
工程力学动力学知识点梳理工程力学中的动力学是研究物体机械运动与作用力之间关系的学科分支。
它对于理解和解决各种实际工程问题具有重要意义。
下面让我们一起来梳理一下工程力学动力学中的关键知识点。
一、质点动力学的基本概念首先要了解的是质点的概念。
质点是指在研究物体的运动时，如果物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略不计，就可以把物体看作一个只有质量而没有大小和形状的点。
力是使物体运动状态发生改变的原因。
力的三要素包括大小、方向和作用点。
在动力学中，常见的力有重力、弹力、摩擦力等。
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
加速度与力之间存在着直接的关系，这就是牛顿第二定律：物体所受的合力等于物体的质量乘以加速度，即＄F ＝ ma$。
二、动量定理动量是物体质量与速度的乘积，用＄p ＝ mv$ 表示。
动量定理指出，合外力的冲量等于物体动量的增量。
冲量则是力在时间上的累积，用＄I ＝ F ＼Delta t$ 表示。
通过动量定理，可以方便地分析和解决一些碰撞、冲击等问题。
例如，在两个物体的碰撞过程中，通过计算动量的变化，可以了解碰撞前后物体速度的变化情况。
三、动量守恒定律如果一个系统所受的合外力为零，那么这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。
在实际应用中，动量守恒定律常用于分析爆炸、反冲等问题。
比如火箭发射，燃料燃烧产生的气体向后喷出，从而使火箭向前运动，整个过程中动量守恒。
四、动能定理动能是物体由于运动而具有的能量，用＄E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$ 表示。
动能定理表明，合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
利用动能定理，可以简便地计算物体在不同力作用下速度的变化，或者求出力所做的功。
五、机械能守恒定律在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。
例如，物体在自由落体运动中，重力势能不断减少，动能不断增加，但机械能始终守恒。
六、刚体的定轴转动刚体是指在运动过程中形状和大小都不发生变化的物体。
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
9质点动力学的基本方程
质点：只有质量而无大小的物体。
动 力 学 介 绍
在下面两种情况下，可以把物体视为质点： 物体作平移的时候； 当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略 其大小对问题的性质无本质影响的时候。
刚体：有质量、不变形的物体
质点系：由若干质点组成的、有内在联系 的系统
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向 三个恒星的日心参考系是惯性参考系。
如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星 、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉 地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选 择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地 心参考系是惯性参考系。
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
牛顿定律，是牛顿在《自然哲学的数学原理》中 建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称 为动力学基本定律。 第一定律(惯性定理) 任何质点如不受力作用 ，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。 定律定义了惯性参考系。涉及到了静止和匀速直 线运动，也就涉及了参考系。
m a
F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸 力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
动力的原理了解简单机械和力的作用
动力的原理了解简单机械和力的作用简介：动力是驱动事物运动的力量，了解动力的原理对理解简单机械和力的作用具有重要意义。
本文将介绍动力的原理、简单机械和力的作用，并探讨它们之间的关系。
一、动力的原理动力是使物体产生运动或改变其运动状态的力量。
动力可以分为两种：一种是外力，它是由外部施加在物体上的力，比如推、拉、摩擦力等；另一种是内力，它是物体内部分子之间相互作用的力，比如弹力、重力等。
动力的原理可以通过牛顿运动定律来解释。
牛顿第一运动定律指出：物体在无外力作用下，将保持匀速直线运动或静止状态；牛顿第二运动定律指出：物体的加速度正比于作用在它上面的力，反比于它的质量；牛顿第三运动定律指出：两个物体之间的相互作用力总是相等且方向相反。
二、简单机械简单机械是由少量的零件组成的机械装置，它们利用力和运动改变力的方向和大小。
常见的简单机械包括杠杆、轮轴、滑轮、斜面等。
1. 杠杆杠杆是一根刚性杆，可以绕着支点旋转。
杠杆由力臂和负载臂组成，力臂为支点到施力点的距离，负载臂为支点到负载点的距离。
杠杆通过改变力臂和负载臂的比例来改变力的大小和方向。
2. 轮轴轮轴是由轮子和轴组成的，轮子可以绕着轴旋转。
轮轴利用轮子的边缘和轴的中心之间的不同半径来改变力的大小和方向。
3. 滑轮滑轮是一个带有凹槽的圆盘，绳子穿过凹槽并固定在物体上。
滑轮通过改变绳子的方向来改变力的方向和大小。
4. 斜面斜面是一个平面，可以倾斜。
斜面通过改变物体所受重力的分量来改变力的大小和方向。
三、力的作用力是动力的表现形式，它是改变物体运动状态和形状的原因。
力可以分为接触力和非接触力两种。
1. 接触力接触力是由物体直接接触产生的力，比如推力、拉力、摩擦力、弹力等。
接触力是通过物体之间的相互作用传递的。
2. 非接触力非接触力是不需要物体直接接触产生的力，比如重力、电磁力、引力等。
非接触力是通过场的存在传递的。
四、动力、简单机械和力的关系动力是驱动机械的力量，简单机械是改变力的方向和大小的工具，力是动力的表现形式。
理论力学第10讲动力学
2
d d
1 d
2
2 d
（3）
则式(1)化成
1 d
2 d
g l
sin
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
2 d ( )
0
0
(
2g l
sin )d
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第一章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
第一章
质点动力学基础
第一章 质点动力学基础
动
第 一 章
力
学
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
M
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
m d r dt
2 2
r O x
F a y
F
(1 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(1–1)
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结
牛顿力学：主要包括牛顿三定律、万有引力定律和动量定理等内容。
静力学：研究作用于物体上的力系的简化理论及力系平衡条件。
包括静力学公理、力的合成与分解、摩擦、重心等内容。
运动学：只从几何角度研究物体机械运动特性而不涉及物体的受力。
包括点的运动学、刚体的简单运动、点的合成运动、刚体的平面运动等内容。
动力学：研究物体机械运动与受力的关系。
它是理论力学的核心内容，主要包括质点动力学、刚体动力学和连续体动力学等内容。
哈密顿力学和拉格朗日力学：是经典力学的两种形式，分别以哈密顿量和拉格朗日函数为基础，描述物体的运动规律。
此外，理论力学还涉及一些重要的原理和定理，如三力平衡汇交定理、作用与反作用定律、钢化原理等。
同时，广泛采用数学工具进行数学演绎，从而导出各种以数学形式表达的普遍定理和结论。
总的来说，理论力学是研究物体机械运动的基本规律的学科，它包括了静力学、运动学和动力学三个主要部分，以及牛顿力学、哈密顿力学和拉格朗日力学等重要内容。
这些知识点和理论为工程技术科学提供了基础，也为后续的学习和研究提供了重要的工具和思路。
理论力学知到章节答案智慧树2023年苏州大学
理论力学知到章节测试答案智慧树2023年最新苏州大学绪论单元测试1.下列说法中，哪些是正确的？（）。
参考答案:理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学。
它研究的内容属于经典力学的范畴。
;运动学只从几何的角度来研究物体的运动，而不研究引起物体运动的物理原因。
;动力学研究受力物体的运动与作用力之间的关系。
;静力学主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件；同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法等。
第一章测试1.图示各杆自重不计，以下四种情况中，哪一种情况的BD杆不是二力构件？（）。
参考答案:2.图示无重直角刚杆ACB，B端为固定铰支座，A端靠在一光滑半圆面上，以下四图中哪一个是ACB杆的正确受力图？（）。
参考答案:3.下列说法中，哪些是正确的？（）。
参考答案:若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围必须在同一刚体内。
;力的平行四边形法则中的两个分力和它们的合力的作用范围必须在同一个物体的同一点上。
;作用与反作用定律对任何宏观物体和物体系统都适用。
4.受二力作用而平衡的物体上所受的两个力一定是等值、反向、共线的。
（）参考答案:对5.若作用在刚体上的三个力的作用线汇交于同一个点，则该刚体必处于平衡状态。
（）参考答案:错第二章测试1.构件尺寸如图（单位m），不计各杆件自重，载荷F=60kN。
则杆BD的内力为（）。
参考答案:100kN，压2.图示桁架受到大小均为F 的三个力作用，则杆1、2、3的内力大小依次为（）。
参考答案:0,F ,03.图示四个力F1、F2、F3、F4，下列它们在y轴上投影的计算式中，哪些是正确的？（）参考答案:;4.力偶可以在其作用面内任意旋转和平移而不改变其对物体的作用效果。
（）参考答案:对5.若某物体受一平面力系作用而平衡，则可根据此力系的平衡条件列出三个平衡方程，从而可以求解出三个未知量。
（）参考答案:错第三章测试1.一棱长为a的正方体定角上，作用有六个大小均等于F的力F i，它们的方向如图，该力系简化的结果是（）。
质点动力学的基本方程
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理静力学研究物体在力系的作用下的平衡条件，动力学则研究物体的机械运动与作用力之间的关系，两者研究对象的性质不同，似乎没有什么共同之处。
然而让·勒龙一达朗贝尔在1743年提出了一个研究动力学问题的新的普遍方法，即用静力学研究平衡的方法来研究动力学问题，这就是达朗贝尔原理，也称为动静法。
达朗贝尔原理像一座桥梁一样把静力学和动力学连接起来。
达朗贝尔(Jean le Rond d’Alembert，1717—1783)，诞生于1717年11月17日，是18世纪法国启蒙运动的领袖人物之一，法国数学家、力学家、哲学家。
他出生后即被遗弃在巴黎的一座教堂附近，后被一玻璃匠夫妻收养。
达朗贝尔于1738年获得法学学位，但并未从事法律职业，相反他潜心研究科学并很快在事业上取得了成功。
在力学方面，他于1743年发表了《论动力学》，提出了著名的“达朗贝尔原理”，作为牛顿第二定律的另一种表述形式，把动力学简化为静力学问题。
他运用这种方法研究了天体力学中的三体问题，并把它推广到流体动力学中。
在数学和天文学方面，他是偏微分方程论的创始人之一。
提出用极限的概念代替牛顿的“最初和最终比”。
他运用偏微分方程研究弦振动问题，解释了天文学上岁差和章动的原因。
并于1761 1780年间陆续出版了《数学论丛》共8卷。
在哲学方面，他是百科全书派的代表之一。
1746年，他与著名哲学家D．狄德罗一起编撰法国《百科全书》，负责撰写数学与自然科学及部分音乐方面的条目。
1754年，他被选为法兰西学院院士，1772年任学院终身秘书，对法兰西学院的发展有巨大影响。
13．1惯性力·质点的达朗贝尔原理设一质点的质量为m，加速度为a，作用在质点上的主动力为F，约束力为FN，如图13—1所示。
由牛顿第二定律，有具有力的量纲，称为质点的惯性力，它的方向与质点加速度的方向相反。
式(13—2)可以解释为：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力组成平衡力系。
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? 1.96N
v?
Fl sin2 ?
m
? 2.1m s
这是混合问题。
例10-4 粉碎机滚筒半径为 Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 ? ? ?0
时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n 。
已知:匀速转动。 ? ? ? 0 时小球掉下。
求: 转速 n.
解：研究铁球
其中 v ? ? n R
30
m v2 R
?
FN
?
mg cos?
当 ? ? ?0时, FN ? 0, 解得
n ? 9.549
g R
cos
?
0
当 n ? 9.49 g时,球不脱离筒壁。 R
动力学
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
动力学
结构动力学
超高速碰撞动力学
动力学的抽象模型
质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。
质点动力学
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。
质点系动力学
刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离 保持不变。
本篇的基本内容
4
时杆 AB受力 F
t ?? ?
??
?
r l
?? 1
2
解:研究滑块
max ? ? F cos ?
其中 ax ? ?x?? ?r? 2 ?cos? t ? ? cos2? t?
当 ? ? 0时, ax ? ? r? 2 ?1? ? ?,且? ? 0
得 F ? mr? 2?1? ? ?
当? ? ? 时,
2
a x ? r? 2?
且 cos ? ?
l2 ? r2 l
有 mr? 2? ? ? F l 2 ? r 2 l
得 F ? ? mr 2? 2 l 2 ? r 2
这属于动力学第一类问题。
例10-2 质量为m的质点带有电荷 e,以速度v0进入强
度按E=Acoskt变化的均匀电场中 ,初速度r 方向与r 电场强 度垂直,如图所示。质点在电场中受力 F ? ?eE 作用。
第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例10-1 曲柄连杆机构如图所示 .曲柄OA以匀角速
度 ? 转动,OA=r,AB=l,当 ? ? r / l 比较小时 ,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x?
l ????1?
?2
4
???? ?
r
??cos?
?
t
?
?
4
cos 2?
? 积分
d v vx
v0
x
?
0
vy ? 0,
? ? vy 0
dvy
?
?
eA m
t
cos
0
kt d t
得
vx
?
dx dt
? v0
vy
?
dy dt
??Leabharlann eA sin kt mk已知 :
m,
r v0
,
E? Acos
kt,
r v0
?
r E,
r F
?
r ? eE,不计重力
求:质点的运动轨迹。
由 t ? 0时 x ? y ? 0,积分
并与铅直线成 ? ? 60? 角。如小球在水平面内作匀
速圆周运动，求小球的速度 v与绳的张力。
已知: m ? 0.1kg, l ? 0.3m, ? ? 600 匀速
求: v, F
解: 研究小球，m v2 ? F sin?
b
F cos? ? mg ? 0
其中 b ? l sin?
解得
F
?
mg
cos?
? ? ? ? x
t
dx ?
0
0 v0dt ,
y
dy ?
?
eA
t
sin ktdt
0
mk 0
得运动方程
x ? v0t,
y
?
eA mk2
?cos kt ? 1?
消去t, 得轨迹方程
y?
eA mk2
???cos????
k v0
x????
?
? 1? ?
这是第二类基本问题。
例10-3 一圆锥摆 ,如图所示。质量 m=0.1kg的 小球系于长 l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点 O,
t ?? ?
如滑块的质量为 m, 忽
略摩擦及连杆 AB的质量,试
求当 ? ? ? t ? 0和? 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: ? ? 常量, OA? r , AB? l, m。 设?
则 x?
求: ?
l ????1 ?
? 0,
?2
4
????
?
?
?
r ??
??
cos ? t ? ? cos 2?
第二定律（ 力与加速度之间关系定律）
r ma
?
r F
[ 力的单位:牛 顿], 1N ? 1kg ?1m s2
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等 ,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
§10-2 质点的运动微分方程
质点动力学第二定律
mar
?
?
r Fi
或
d2rr m dt2
?
?
r Fi
1 、在直角坐标轴上的 投影
d2x m dt2
?
?
Fx ,
m
d2y dt2
?
?
Fy,
d2z m dt2
?
?
Fz
2、在自然轴上的投影
由
r a
?
at?r
?
r ann,
ab
?
0,
有
mat
?
?
Ft ,
v2 m
?
?
?
Fn ,
0?
?
Fb
3 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力.
? 质点动力学的基本方程 ? 动量定理，质心运动定理 ? 动量矩定理，定轴转动刚体的转动微分方程
刚体的平面运动微分方程 ? 动能定理，机械能守恒定律 ? 动静法－－达朗贝尔原理 ? 虚位移原理
第十章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
已知常数 A,k,忽略质点的重力 ,试求质点的运动轨迹。
已知 :
m,
r v0
,
E? Acos
kt,
r v0
?
r E,
r F
?
r ? eE,不计重力
求:质点的运动轨迹。
解:
d2x m dt 2
?
m dvx dt
?
0,
d2 y m dt2
?
m dvy dt
?
?eAcos kt
由 t ? 0时 vx ? v0,