标准正态分布曲线N
标准正态分布
标准正态分布标准正态分布（英语：standard normal distribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
定义：标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。
标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。
统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布特点：密度函数关于平均值对称平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。
99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。
99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。
函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
标准偏差：深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。
在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。
若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。
标准正态分布曲线N
10组 77.905-78.305
频数 3 3 12 25 38 25 3 3
…
1
相对频率 0.026 0.026 0.106 0.221 0.336 0.221 0.026 0.026
E
0.02 mL
Er
0.1%
10.00ml 0.02 mL
0.5%
2.00 mL 0.02 mL
1.0%
故 Er≤±0.1%,滴定体积V≥20.00
2. 精密度
精密度：相同条件下，多次重复测定结果 之间相符合的程度。常用偏差来衡量其高低。
偏差 平均偏差
n
(注： di 0) i 1
36.00 36.50 37.00 37.50 38.00
准确度与精密度的关系
精密度好不一定准确度高(系统误差)。
1 衡量一个测量结果的可靠性如否，既要看
精密度又要看准确度，缺1不可
2
精密度是保证准确度的先决条件
在规范实验操作的同时建立量的 概念，减少测量误差，提高测定 结果的精密度和准确确度
一、 频率分布 在相同条件下测定工业纯碱中
应有的误差。
二.准确度和精密度 1. 准确度 测定结果与“真值”接近的程度.
其高低用误差或相对误差来衡量
单次测定绝 对误差
对多次重 复测定
相对 误差
E= xi - xT E = x -xT Er =
绝对误差与相对误差相比，相对误差更能反 映出误差对测定结果的影响
例: 滴定的体积误差
V
20.00 mL
§3.4 提高分析准确度的方法 §3-5 有效数字及其运算规则
§ 3.1 误差的分类、准确 度与精密度
§ 3.2 随机误差的正态分布 §3.3 有限数据的统计处理
5.正态分布(1)解析
•考生往往想知道之间在群体中的位置 •学校教师往往想知道自己任课班级在整个学校 的位置 •校长需要对不同学科考试分数进行各种比较 •如何进行科学合理的比较？如何使比较令他人 信服呢？
一、正态分布
1、正态分布 正态分布（正常状态下的分布），是一种理论上的
连续变量的概率分布。“两头小，中间大，左右对 称”圆滑曲线。
【2.5解】 2 4, 2
P(2.8 X 4.2) P(2.8 2.5 X 2.5 4.2 2.5)
2
2
2
P(0.15 Z 0.85) 0.3023 0.0596 0.2427
P(1.5 X 3.8) P(0.5 Z 0.65)
P(0 Z 0.5) P(0 Z 0.65) 0.1915 0.2422 0.4337
P(x 80) P( x 75 0.625) P(Z 0.625) 8
0.5 P(0 Z 0.625) 0.5 0.234 73.4%
这表明有73.4%的考生名列的得80分的某考生之后,而有26.6%的考 生成绩在80分以上。
2、利用正态分布求各种分数段内的百分比和人数
例2 某师大一年级有学生200人，高数成绩可以用正态分布来描 述，其平均成绩为μ=78（分 ),标准差为σ＝7（分），试在理 论上计算学生成绩在90分以上、80分至90分、不及格的人数。
故分数线定为x 8Z 75 88分
5、将等级评定结果转化为分数
某班口试有两位主试教师，最后综合两位主试教师的评定
结果确定每个学生的口试成绩。学生的成绩分为优、良、中、 及格、不及格五等。全班共60名学生，每位教师评定的等级人 数见表。在60名学生中抽出甲、乙两名学生，两名教师对他们 的评定结果列在下表中，试比较两名学生成绩的优劣。
标准正态分布示意图
lgG = lg(12571032040)=lg(571032040)1/12=1/1 2(7lg5+3lg10+lg20+lg40)=0.89966
为简化计算, 可两边取对数
G = lg-1(lgG)= lg-10.89966 = 7.94
加权法: G=lg-1( lgx/ ), 当变量值个数 较多或变量值为频数表资料时
(3） （4）=（2）（3） （5）=（2）（4）
1 127
16129
• 129 131
4 524
68644
• 133 135
9 1215
164025
• 137 139
28 3829
540988
• 141 143
35 5005
715715
• 145 147
27 3969
583443
• 149 151
11 1661
250811
• 153 155
4 620
96100
• 157161 159 • 合计 •
1 159
120 17172
（ƒ）（ ƒx）
25181
2461136
（ ƒx2）
•
2461136 - （17172）2/120
• s=
•
120 - 1
•
• 三、变异系数: 又称离散系数。代号为CV。
甲的变异程度>乙组
一、极差和四分位间距
• （一）全距: R(range), 亦称极差。即一组变量 值中最大值与最小值之差。
• R甲=4.0 - 2.8 = 1.2 • R乙=3.8 - 3.0 = 0.8 • 优点: 简单明了 • 缺点: 仅考虑了资料的最大值与最小值, 不能反
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
Y
x=μ
用面积去表示概率
μ -a
μ+a
X
O
X落在区间 ( a, a] 为:
P( a X a]
a
a ,
(x)dx
特别地有“3σ原则” 区间
（μ－σ，μ＋σ] （μ－2σ，μ＋2σ] （μ－3σ，μ＋3σ]
取值概率 68.26% 95.44% 99.74%
发生概率一般不超过5％的事件，即在一次试验中几乎不
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
, (x)
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
Y
O
X
想 一 想
结合 , (x) 的解析式及概率的性质,
你能说说正态曲线的特点吗?
正态分布密度曲线(简称正态曲线)的特点:
, (x)
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交； (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称； Y
x=μ
1 (3)曲线在x=μ处达到峰值 2 ；
(4)曲线与x轴之间的面积为１；
O
X
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定. σ越小,曲线越“瘦高”,表示总
体的分布越集中，σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分
散。
想 若 X ~ N(, 2 ) ,如何用正态曲线求 一 随机变量X 在一定区间内的概率? 想
可能发生的事件．
小概率事件
正态分布
§ 1.5 正态分布山东省德州一中 高级教师 房新宝教学目标：1. 使学生了解正态分布的意义；2. 借助实例研讨，使学生了解正态曲线与正态分布的性质；3. 使学生了解生产过程的质量控制原理； 教学重点：正态分布意义的了解。
教学方法： 实验研讨 教学建议：1. 利用实例研究，引导学生认识正态分布N ()ωσ，2； 2. 利用实例观察标准正记分布N （0，1）；以及分布表； 3. 利用实例引导学生了解生产过程质量测控原理；知识要点巩固与梳理1. 正态分布：总体密度曲线近似地是下面函数的图象；f x e x x ()()()=∈-∞+∞--12222πσμσ，，…………（1） 式中的μσσ，(>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布。
2. 正态曲线正态分布常记作N ()μσ，，（1）的图象被称为正态曲线。
如图1-14，1-15，1-16是三条正态曲线μσ、取值不同。
3. 标准正态总体在函数式（1）中，当μσ==01，时，正态总体称为标准正态总体，此时相应的函数表示式是：f x e x ()()=∈-∞+∞-1222ππ，， (2)4. 标准正态曲线函数式（2）所对应的曲线称为标准正态曲线，它有如下性质： （1）曲线在x 轴上方，与x 轴不相交 （2）曲线关于直线x=0对称 （3）曲线在x=0时位于最高点（4）当x<0时，曲线上升；当x>0时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，此x 轴为渐近线，向它无限靠近。
（5）曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，如图1-17。
由于标准正态曲线关于y 轴对称，表中只给出了对应于非负值x 0的值Φ()x 0，如果x 00<，由图1-18中两个阴影部分面积相等知：ΦΦ()()x x 001=-- 利用“标准正态分布表”可以求出标准正态总体在任一区间（x x 12，）内取值的概率，如图1-19。
标准正态分布怎么算
标准正态分布怎么算
首先，我们来了解一下标准正态分布的概念。
标准正态分布又称为正态分布或者高斯分布，它是一种连续型的概率分布。
其概率密度函数呈钟形，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，记为N(0,1)。
在标准正态分布曲线下，横坐标为z值，纵坐标为概率密度值。
标准正态分布的曲线下的面积等于1。
其次，我们来了解一下标准正态分布的性质。
标准正态分布具有一些重要的性质，包括对称性、稳定性和独立性。
其中，对称性是指标准正态分布曲线以均值为对称轴对称；稳定性是指标准正态分布的均值和标准差都是固定的；独立性是指标准正态分布的每一个数值都是独立的，不受其他数值的影响。
这些性质使得标准正态分布在实际应用中具有重要的意义。
最后，我们来了解一下标准正态分布的计算方法。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的概率值或者反向求解。
计算标准正态分布的概率值可以通过查表或使用统计软件进行计算。
而反向求解则可以利用标准正态分布的性质和公式进行计算。
在计算过程中，我们需要注意使用标准正态分布的累积分布函数和反函数
来进行计算，以确保计算结果的准确性。
综上所述，标准正态分布在统计学中具有重要的意义，它的概念、性质和计算方法都是我们需要深入了解和掌握的内容。
通过本文的介绍，希望能够帮助读者更加清晰地理解标准正态分布，并能够在实际应用中灵活运用。
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（）A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.954 4﹣0.682 6）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x 轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1 000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．。
标准正态分布曲线的计算公式为
标准正态分布曲线的计算公式为正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。
证明；因为X～N（μ，σ^2），所以P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。
注：F（y）为Y的分布函数，Fx（x）为X的分布函数。
而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。
所以p（y）=F'（y）=F'x（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。
从而，N（0，1）。
正态分布标准化的意义是可以方便计算，是一种统计学概念。
原本的正态分布图形有高矮胖瘦不同的形态，实际上是积分变换的必然结果，就好比是：
1.y=kx+b直线，它不一定过原点的，但是通过变换就可以了：大Y=y-b；大
X=kx；===>大Y=大X。
2.y=a*b乘积，通过变换就可以变成加法运算：Ln（y）=Lna+Lnb。
3.y=ax²+bx+c通过变换就可以变成标准形式：y=a（x+b/（2a））²+（c-b²
/（4a））。
正态分布的标准化也只不过是“积分变换”而已，虽然高矮胖瘦不同的形态，但是变量的线性伸缩变换并不改变其量化特性，虽然标准化以后都变成期望是0，方差是1的标准分布了，但这种因变量自变量的依赖关系仍然存在，不用担心会“质变”。
标准正态分布
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
10
计算
已知u～N(0，1)，试求：
(1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(standard normal distribution)
(u )
(u )
1 2
1 2
e
u
e
u2 2
1 2 u 2
du
随机变量u服从标准正态分布，记作u～
N(0，1)
7
标准正态分布
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机
变量x，都可以通过标准化变换 u=(x-μ)／σ
P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
14
由表4—2可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126 头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推 断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的
= 1, ..., n)为相互独 立，都服从标准正态分布，则定义： 2 i zi2 , i = 1, ..., n 变量2服从自由度等于n卡方分布（chi – square distribution）。
19
卡方分布曲线
图4-1 不同自由度下的2分布
图4-2 2分布的 上侧和下侧分位数 示意图
P(x<μ-1.96σ)=P(x>μ+1.96σ)=0.025
正态分布
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若 固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积 的随概着率越 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]
正态分布及标准误
二、标准误
x
n
计算公式
x
n
s
s
x
n
σ: 总体标准差 n：样本含量
S : 样本标准差
意义 反映均数抽样误差大小的指标。样本均数的 标准差。标准误越小，说明样本均数与总体
均数越接近，样本均数的代表性越好
例题：
例：对某地成年男性红细胞数的抽样调查中，随
机抽取了100名成年男性，调查得到其1012 均数是
单侧：
P(t <=-tα,ν)= α或 P(t >=tα,ν)= α 双侧：
P(t <=-tα,ν)+ P(t >=tα,ν)= α 即:P(-tα,ν<t <tα,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式
t 0.05,10=2.228 (双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧）
-t 0 t
计算：
首先计算标准离差：
u250032002 350
查标准正态分布表: (-2)=0.0228 结果：估计低体重儿的比例为2.28%.
参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。
点估计的缺陷
区间估计
可信区间的定义 总体均数之可信区间的求解 可信区间的要素 正确理解可信区间的含义
区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年男子，测 得该样本的脉搏均数为73.6次/分，标准差为 6.5次/分，估计正常成年男子脉搏总体均数。
区间估计的实质
假设某个总体的均数为µ，需要找到两个量A 和B，使得在一个比较高的可信度下(如95%)， 区间(A,B)能包含µ。即
医学统计学-正态分布
正态分布的概率密度
正态曲线（normal curve）：高峰位于中 央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两 段永远不与横轴相交的钟型曲线。
正态曲线的函数表达式 f ( x) 称为正态分布 概率密度函数：
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
8
正态分布的参数
如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称
4
概率密度
组段
各个组段的概率
95100105110115120125130135140-
概率 0.0006 0.0049 0.0440 0.1532 0.2936 0.3037 0.1515 0.0421 0.0061 0.0003
– P(110cm身高<115cm)= 0.153 – P(105cm身高<120cm)= 0.0440+0.1532+0.2936=0.4908 – P(身高<120cm)= 0.4963 组距越小，组段就越多，能够计算概率的区 间就越多
肺通气量的95%参考值范围 – 根据肺通气量的背景和已知的影响因素，制定 入选标准和排除标 – 入选标准和排除标准所确定的人群中随机抽样 – 确定单双侧和分布：单侧，近似正态 – 已知 x =4.5L, s=0.6L.
22
参考值范围估计正态分布法 分位数法双侧%
单侧
只有下 限 只有上 限
双侧
单侧
16
标准正态分布曲线下面积 (u) 表、图
17
-1.96≤x≤1.96的概率：
18
例：设u1=-1.83,u2=-0.3，求标准正态分布曲
线下（-1.83，-0.30）范围内的面积
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
正态分布密度函数是连续的，且在整个实数域上 都是非负的。
可微性
正态分布密度函数是可微的，这意味着其导数存 在，可以用于计算概率密度函数的积分。
概率性质
概率密度函数
正态分布的概率密度函数表示随机变量取某个值的概率，其值等 于该点处的曲线下的面积。
概率计算
通过正态分布的概率密度函数，可以计算随机变量取任意区间的概 率。
正态分布密度曲线(简称正态 曲线)
目录
• 正态分布的简介 • 正态分布密度曲线的绘制 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用 • 正态分布与其他分布的关系 • 正态分布的假设检验
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种概率分布，描述 了许多自然现象的概率分布形态 ，其概率密度函数呈钟形曲线， 又称为正态曲线。
非参数检验
通过检验样本数据的某些统计量（如 偏度、峰度）是否符合正态分布的特 征，来判断总体是否服从正态分布。
假设检验的应用场景
金融领域
用于检验投资组合收益率、股票 价格等是否服从正态分布，以评 估风险和制定投资策略。
生物医学领域
用于检验生理指标、遗传变异等 是否符合正态分布，以评估治疗 效果和制定治疗方案。
在统计学中的应用
1 2 3
描述数据分布
正态分布是描述数据分布形态的重要工具，尤其 在统计分析中，正态分布用于描述数据的集中趋 势和离散程度。
参数估计
正态分布的参数估计在统计学中具有重要意义， 如均值和方差等参数的估计有助于了解数据分布 的特征。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布用于检验数据 的分布是否符合预期，如正态性检验等。
05
正态分布与其他分布的关系
正态分布n(μ,σ2)的两个参数
正态分布n(μ,σ2)的两个参数正态分布是一种常见的统计分布，它可以用于描述许多自然现象和实验数据。
一个正态分布可以由两个参数来完全描述，分别是均值(μ)和方差(σ^2)。
均值(μ)是正态分布曲线的中心点，它决定了曲线的位置。
在正态分布中，均值是对称的，即曲线左右两侧的面积相等。
均值的选择会直接影响曲线的位置。
当均值增大时，曲线整体向右移动；当均值减小时，曲线整体向左移动。
方差(σ^2)是正态分布曲线的扁平程度，它决定了曲线的形状。
方差越大，曲线越扁平；方差越小，曲线越陡峭。
方差的选择会直接影响曲线的宽度。
当方差增大时，曲线变得更宽；当方差减小时，曲线变得更窄。
正态分布的均值和方差是非常重要的统计参数，它们可以用来描述和比较不同的数据集。
在实际应用中，通过计算样本的均值和方差，我们可以估计总体的均值和方差。
此外，正态分布还具有一些特殊的性质，例如68-95-99.7规则，它可以帮助我们对数据进行推断和预测。
拓展：除了均值和方差，正态分布还有一个用于描述分布形态的参数，即标准差(σ)。
标准差是方差的平方根，它具有与方差相同的单位，可以度量数据离均值的平均距离。
标准差越大，数据点相对于均值的离散程度就越大。
标准差和方差的关系是：σ = √(σ^2)。
除了单峰正态分布(n(μ,σ^2))，还有一些其他类型的正态分布。
例如，双峰正态分布具有两个峰值，可以描述具有两个主要模式的数据集。
多峰正态分布可以具有多个峰值，适用于描述具有多个主要模式的数据集。
此外，还存在偏态正态分布，其中数据在分布中不对称地倾斜。
这些不同类型的正态分布通过适当选择均值和方差来描述数据的不同特征和分布形态。
正态分布及其应用 (normal distribution)
➢二．图形 正态分布密度函数
f(X) 21 exp((X 2 2)2)
其中参数 为均值， 为标准差，由此
决定的正态分布记作 N(三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f (X) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
不同均值正态分布示意图
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
➢ 正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
• 根据正态 分布的对称性知，外侧尾部面 积 u2.21与外侧尾部面积 u2.21 相同，查附表1，得对应的概率为0.0136， 体重在50kg以上的12岁儿童占1.36%。
第三节 医学参考值范围的制定
➢医学参考值范围Reference Range 指某 群体“正常人”的解剖、生理、生化等 各种指标大多数个体值的波动范围。
附表1给出了标准正态分布曲线下从的面积根据正态分布的对称性我们可以求出任何一个区间内标准正态分布曲线下的面积也就是落在任何一个区间内的概率
正态分布及其应用
(normal distribution)
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量通常只以过低为异常，血铅以
标准正态分布曲线N课件
特性
2. 曲线在x轴上方，且与x轴的距离表示概率密度。
4. 随着x的增大或减小，概率密度逐渐减小，并趋近于 0。
曲线形状与性质
曲线形状：标准正态分布 曲线的形状呈钟形，左右 对称，且逐渐向上收敛， 在x=0处达到峰值。
性质
1. 曲线的对称性：由于正 态分布是对称的，因此当 x取相反数时，曲线仍然 是对称的。
线性回归
利用标准正态分布曲线的性质，可以建 立线性回归模型，用以描述两个变量之 间的关系。
VS
最小二乘法
通过最小化误差的平方和，利用标准正态 分布曲线进行参数估计，以获得最佳的线 性回归模型。
04
标准正态分布曲线的软件实现
Excel表格制作
打开Excel，新建一 个表格
绘制散点图，选择数 据和图表类型，生成 标准正态分布曲线图
药物研发
在新药研发过程中，药物 的有效性和副作用通常会 根据标准正态分布进行评 估。
工程领域的应用
可靠性工程
标准正态分布被用于可靠 性工程领域，描述产品的 寿命和可靠性。
Hale Waihona Puke 质量控制在生产过程中，标准正态 分布被用于质量控制，描 述产品质量的波动和一致 性。
系统安全评估
标准正态分布可以用来评 估系统的安全性能，如风 险分析、安全系数计算等 。
2. 概率密度函数的性质： 概率密度函数f(x)是一个 连续函数，其值在全实数 范围内均为正，且随着x 的增大或减小，函数值逐 渐减小并趋近于0。
标准正态分布与实际分布的关系
01
标准正态分布是实际分布的一种 特殊形式，当实际分布的均值为0 ，标准偏差为1时，实际分布就变 成了标准正态分布。
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数据有大有小，参差不齐
将数据按统计学处理方法进行分组 分组数：m=1.52（n-1)2/5 ≈ 10 113个数据分成10组 组距： （组中最大值和最小值之差） ΔS ≈R/m ≈ 0.400
为避免“骑墙”， 组界值比测量值多 取一位小数 频数：(每组中数据出现的个数）
相对频数=频数与数据总数之比
“可测性” 。
• 系统误差只影响测量的准确度,不影响精密度 。
例：重量分析中沉淀的溶 解损失、杂质的吸附，滴 定分析中指示剂选择不当 a.方法误差：由 于分析方法本身 不够完善所造成 的误差。 c.试剂误差： 由于试剂不纯或蒸 馏水中含有微量杂 质所引起。
例：滴定管、移液管，容 量瓶未校正 b.仪器误差：主要 是仪器本身不够准 确或未经校准所引 起的。
2
精密度是保证准确度的先决条件
在规范实验操作的同时建立量的 概念，减少测量误差，提高测定 结果的精密度和准确确度
一、 频率分布 在相同条件下测定工业纯碱中
NaCO3含量，得到113个测定值如下
工业纯碱中NaCO3含量测定结果
73.30 73.30 73.30 73.53 73.61 73.64 74.00 74.00 74.06 74.09 74.12 74.19 74.20 74.20 74.20 74.30 74.30 74.30 74.38 74.38 74.38 74.40 74.40 74.40 74.45 74.45 74.49 74.50 74.51 74.51 74.52 74.52 74.55 74.58 74.60 74.61 74.61 74.62 74.62 74.62 74.62 74.67 74.70 74.71 74.75 74.83 74.83 74.84 74.84 74.86 74.86 74.86 74.90 74.91 74.91 74.91 74.94 74.97 74.97 74.97 74.97 74.97 74.97 74.98 75.00 75.00 75.00 75.02 75.02 75.02 75.02 75.05 75.06 75.06 75.06 75.08 75.08 75.08 75.09 75.10 75.10 75.11 75.11 75.11 75.12 75.12 75.13 75.19 75.22 75.25 75.32 75.32 75.32 75.32 75.33 75.33 75.39 75.40 75.40 75.45 75.45 75.47 75.47 75.47 75.50 75.50 75.51 75.60 75.63 75.98 76.01 76.07 78.17
（2）分析人员 操作的微小差异 等(滴定管读数)
3.消除系统误差的方法 增加平行测定的次数
过失误差
由粗心大 意、操作 不正确引 起，
如加错试剂、试液 溅失，读错刻度， 运算和记录错误等。
初学者必须避免 过失误差属于不 应有的误差。
二.准确度和精密度
1. 准确度 测定结果与“真值”接近的程度.
其高低用误差或相对误差来衡量
1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 10组
分组（%） 73.105-73.505 73.505-73.905 73.905-74.305 74.305-75.705 74.705-75.105 75.105-75.505 75.505-75.905 75.905-76.305
（3）随机误差影响测量数据的精密 度 。
概 率
的很 几大 率误 近差 于出 零现 。
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4 -2 0 x-u 2 4
误差正态分布图
大小相近的正误差 和 负误差出现的概 率相等;
小误差出现的频率 较高，而大误差出 现的频率较低;
2.产生的原因：
（1）偶然因素 (室温，气压的 微小变化)；
§3.4 提高分析准确度的方法 §3-5 有效数字及其运算规则
§ 3.1 误差的分类、准确 度与精密度
§ 3.2 随机误差的正态分布 §3.3 有限数据的统计处理
一.误差的分类
误差
系统误差（可测误差） 随机误差（偶然误差）
（一).系统误差
是由于测定过程中某些确定原因所造成的误差 1.特点： • 对测定结果的影响比较恒定 • 同样条件下的重复测定会重复出现“重现性” • 大小正负变化有一定规律“单向性”，可以测 定
测量点 平均值 真值
D C B
表观准确度高，精密度低 （不可靠） 准确度高，精密度高 准确度低，精密度高 准确度低，精密度低
36.50 37.00 37.50 38.00
A
36.00
准确度与精密度的关系 1
精密度好不一定准确度高(系统误差)。 衡量一个测量结果的可靠性如否，既要看 精密度又要看准确度，缺1不可
2. 来 源： d.主观误差操 作人员主观 因素造成
例：对指示剂颜色辨别偏深或 偏浅；滴定管读数不准
俯视 3.消除系统误 差的方法 仰视 a.方法误差—— 对照试验P92 b.试剂误差——空白试验P93 c.仪器误差——校正仪器P93 d.主观误差——规范操作（勤学苦练）
（二）、 随机误差(偶然误差) 某些难以控制的偶然原因所引起的误差 1.特点: （1）不恒定，大小正负难以预测无法校正； （2）服从正态分布规律：
单次测定绝 对误差 对多次重 复测定 相对 误差
E= xi - xT
E=
x
-xT
Er =
绝对误差与相对误差相比，相对误差更能反 映出误差对测定结果的影响 例: 滴定的体积误差 mL 10.00ml 2.00 mL
0.02 mL 0.02 mL 0.02 mL
0.1% 0.5% 1.0%
故 Er≤±0.1%,滴定体积V≥20.00
2. 精密度
精密度：相同条件下，多次重复测定结果 之间相符合的程度。常用偏差来衡量其高低。 偏差 平均偏差
(注： di 0)
n
d
d1 d 2 d n n
i 1
相对平均偏差
3. 准确度与精密度的关系 例：四个分析工作者对同一铁标样(WFe= 37.40%)中的铁含量进行测量，结果如图， 比较其准确度与精密度。