点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间得位置关系

一、线、面之间得平行、垂直关系得证明

书中所涉及得定理与性质可分为以下三类:

1、平行关系与平行关系互推；

２、垂直关系与垂直关系互推;

3、平行关系与垂直关系互推。

以线或面为元素,互推得本质就是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素得垂直或平行关系，推导出该两元素得关系，总共有21种情况,能得出结论得有以下９种情况。 线线平行传递性：;

线面垂直判定定理 线面垂直得定义 面面垂直性质定理(需加线线垂直) 两平面得法线垂

直则两平面垂直 面面垂直判定定理

垂直得两平面得法线互相垂直

线面平行判定定理 线面平行性质定理 面面平行定义(交点) 线面平行转化

面面平行判定定理

面面平行性质定理

两平面内分别垂直于交线得直线互相垂直

两平面内分别垂直于交线得直线互相垂直,则两平面垂直

面面垂直定义

面面平行传递性:;

线面垂直、线面垂直线面平行：；

线面垂直线线平行(线面垂直性质定理):;

线面垂直面面平行:；

线面垂直、面面平行线面垂直:;

线线平行、线面垂直线面垂直:;

线面垂直、线面平行面面垂直：。

备注:另外证明平行关系时可以从最基本得定义交点入手,证明垂直关系时可以从最基本得定义角度入手。

符号化语言一览表

①线面平行;;；

②线线平行:;;；；

③面面平行：;;；

④线线垂直：；

⑤线面垂直:；；

;；

⑥面面垂直：二面角900; ;；

二、立体几何中得重要方法

1、求角:(步骤-－----－Ⅰ找或作角;Ⅱ求角)

⑴异面直线所成角得求法:

①平移法:平移直线,构造三角形;

②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间得关系.

注:还可用向量法，转化为两直线方向向量得夹角．

⑵直线与平面所成得角:①直接法（利用线面角定义);②先求斜线上得点到平面距离h,

与斜线段长度作比,得ｓｉn;③三线三角公式.

注：还可用向量法，转化为直线得方向向量与平面法向量得夹角.

⑶二面角得求法:①定义法:在二面角得棱上取一点(特殊点),作出平面角，再求解;

②垂面法：作面与二面角得棱垂直; ③投影法(三垂线定理);④面积摄影法．

注:对于没有给出棱得二面角,应先作出棱，然后再选用上述方法;

还可用向量法,转化为两个班平面法向量得夹角.

2、求距离:(步骤-----－－Ⅰ找或作垂线段;Ⅱ求距离)

⑴两异面直线间得距离:一般先作出公垂线段,再进行计算;或转化为线面距离、点面距离;

⑵点到直线得距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;

⑶点到平面得距离：①垂面法:借助面面垂直得性质作垂线段(确定已知面得垂面就是关键）,再求解;②等体积法；还可用向量法:．

3、证明平行、垂直得理论途径:

①证明直线与直线得平行得思考途径:

(１)转化为判定共面二直线无交点(定义);

(2）转化为两直线同与第三条直线平行;

(3)转化为线面平行；

(4)转化为线面垂直;

(5)转化为面面平行.

②证明直线与平面得平行得思考途径：

(1)转化为直线与平面无公共点（定义）;

(２)转化为线线平行;

(3)转化为面面平行.

③证明平面与平面平行得思考途径:

（１)转化为判定两平面无公共点(定义);

(2）转化为线面平行；

(3）转化为线面垂直．

④证明直线与直线得垂直得思考途径:

(１）转化为相交垂直;

(2）转化为线面垂直.

⑤证明直线与平面垂直得思考途径：

（1)转化为该直线与平面内任一直线垂直(定义)；

(2)转化为该直线与平面内相交得两条直线垂直；

(３）转化为该直线与平面得一条垂线平行;

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；

(5)转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.

⑥证明平面与平面得垂直得思考途径:

(1）转化为判断二面角就是直二面角;

(２)转化为线面垂直.