第十讲功率谱估计随机过程的线性变换

功率谱估计
periodogra m pwelch
Autoregressive (AR) spectral pyulear estimate of a time-series from its estimated autocorrelation function pburg Autoregressive (AR) spectral pburg estimation of a time-series by minimization of linear prediction errors Covariance Autoregressive (AR) spectral pcov estimation of a time-series by minimization of the forward
lim E{( X n X ) 2 } 0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
PSD direct compute
50
0.5 n
0.6
0.7
0.8
0.9
0
-50 0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
5
-50
-100
0
50
100
150
200
250 300 periodogram function
350
400
450
5
Periodogra 周期图法 m Welch Averaged periodograms of overlapped, windowed signal sections YuleWalker AR
1 0.5 0 -0.5 -1
x ( n)
ˆ ( n) x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
1 0.5 0 -0.5 -1
r ( n)
e(n)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
a 1, / 4
第三章 随机过程的线性变换 3.1 变换的基本概念与基本定理 3.2 随机过程的导数与积分
（4）概率密度估计 Ksdensity( ): 估计概率密度 Hist( )： 估计直方图
a=0.8; sigma=2; N=5000; u=randn(N,1); x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a^2); for i=2:N x(i)=a*x(i-1)+sigma*u(i); end r=xcorr(x,'coeff') ; [f,xi]=ksdensity(x); subplot(2,1,1) plot(xi,f); subplot(2,1,2); hist(x,-10:0.1:10);
1 N | m |
N |m|1
N |m|1

n 0
x ( n m) x ( n )

n 0
jn ˆ RX ( m)e
（2）周期图法
X () x(n)e
n 0
N 1
jn
1 2 ˆ GX () | X () | N
(Pxx,w)=periodogram(x)
2. 随机序列的数字特征估计函数
特征名 函数名 均值 方差 mean() m=mean(x) var() 用法
sigma2=var(x), sigma2=var(x,1) 互相关 xcorr() c=xcorr(x,y) c=xcorr(x) c=xcorr(x,y,’option’) ‘biased’, ‘unbiased’ c=xcorr(x,’option’) ‘coeff’, ‘none’
2
2 E{[ x(n0 k ) E[ x(n0 k )] a[ x(n0 ) E[ x(n0 )]]
E{[ x(n0 k ) b]x(n0 )} a 2 E[ x (n0 )]
E x(n0 k ) m a[ x(n0 ) m][ x(n0 ) m] 0
2.2 随机过程的统计描述
概率分布
PDF CDF
数字特征：均值、方差、相关函数
2.3 平稳随机过程
sss wss 循环平稳
平稳随机过程的自相关函数的性质
2.4 随机过程的联合分布和互相关函数
2.5 随机过程的功率谱
定义,维纳-辛钦定理
功率谱的性质
功率谱的计算
随机序列的功率谱
2.6 典型随机过程 白噪声 正态随机过程
x(n) A cos(2(0.1)n )
A2 R ( m) cos(2(0.1)m) 2
r (m) cos(2(0.1)m)
这是一个可预测的过程，即如果知道某个时刻的值， 那么未来的值就可以完全预测。如
x(0) A cos()
cos1 ( x(0) / A)
ˆ (n) A cos(2(0.1)n cos 1( x(0) / A))) x
E[e (n0 k )] E x(n0 k ) m a[ x(n0 ) m]
2
2

2

E[e (n0 k )] a 2 E x(n0 k ) m a[ x(n0 ) m][ x(n0 ) m]
E[e (n0 k )] a 2 E{[ x(n0 k ) ax(n0 ) E[ x(n0 k )] aE[ x(n0 )]]x(n0 )}
2
2
当m=0时，
RX ( k ) ˆ (n0 k ) x x(n0 ) rX (k ) x(n0 ) RX (0)
对于随机相位信号
ˆ (n0 k ) cos[2(0.1)k ]x(n0 ) x
如果n0=0
ˆ (k ) cos[2(0.1)k ]x(0) cos[2(0.1)k ]a cos x
ˆ (n0 k ) ax(n0 ) b x ax(n0 ) m am m a[ x(n0 ) m]
ˆ (n0 k ) e(n0 k ) x(n0 k ) x x(n0 k ) ax(n0 ) (m am) x(n0 k ) m a[ x(n0 ) m]
证明：
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] E{ X (t1 ) L[ X (t2 )]} L{E[ X (t1 ) X (t2 )]} Lt2 [ RX (t1 , t2 )]
4 性质
输出的均值和相关函数可以分别由输 入的均值和相关函数确定。
E[Y (t )] L E[ X (t )] E[Y (t1 )Y (t2 )] Lt1 Lt2 E[ X (t1 ) X (t2 )]
E[e (n0 k )] E{[ x(n0 k ) ax(n0 ) b] }
2 2
E[e (n0 k )] 2 E[ x(n0 k ) ax(n0 ) b] 0 b
2
b0 E[ x(n0 k )] aE[ x(n0 )] m am


n Y (t ) E[Y (t )],
n X (t ) E[ X (t )]
定理2： 设
Y (t ) L[ X (t )]
则 RXY (t1 , t 2 ) Lt2 [ RX (t1 , t 2 )]
RY (t1 , t2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t2 )] Lt1 Lt2 [ RX (t1 , t2 )]
y(t , e1 ) y(t , e2 )
2 线性变换
L[ A1 X1 (t ) A2 X 2 (t )] A1L[ X1 (t )] A2 L[ X 2 (t )]
其中A1,A2为随机变量，X1(t),X2(t)为随机过程。 对于线性变换 若有
Y (t ) L[ X (t )] Y (t ) L[ X (t )]
但如果采用线性预测
x(n0 k ) ax(n0 ) b
ˆ (n0 k ) e(n0 k ) x(n0 k ) x x(n0 k ) ax(n0 ) b ˆ (n0 k ) e(n0 k ) x(n0 k ) x x(n0 k ) ax(n0 ) b
2.7 基于Matlab的统计分析
随机数的产生
iid随机数的产生：用MATLAB函数产生
任意分布随机数产生
相关正态随机数的产生 特征估计：均值，方差 相关函数，功率谱 PDF
2.8 信号处理实例
图像处理的实例—直方图均衡
相移键控的数字调制
PAM信号自相关函数与功率谱分析
关于相关函数的思考 考虑一个随机相位信号
L
yi (t )
1 Y (t ) y1 (t ) y2 (t ) .... yn (t ) n 1 L[ x1 (t )] L[ x2 (t )] .... L[ yn (t )] n 1 L x1 (t ) x2 (t ) .... xn (t ) n L X (t )
应用实例：
x(n) exp( j0 n j) exp( j1n j 0.7) e(n) 0 100, 1 50, SNR 10dB, Fs 1000
x(n)=exp(j*w0*n-j*pi)+exp(j*w1*n-j*0.7*pi)+e(n) 4 2
则称线性变换L是线性时不变的。
3 线性变换的基本定理
定理1： 设 Y (t ) L[ X (t )]
则
由于
EY (t ) LE[ X (t )]
E Y (t ) E L[ X (t )] L E[ X (t )]
所以算子L、E可以交换次序。
证明：
xi (t )
0.2 0.15 0.1 0.05 0 -15 80 60 40 20 0 -15
-10
-5
0
5
wenku.baidu.com
10
-10
-5
0
5
10
第二章学习小结
2.1 随机过程的基本概念和定义
用随机相位信号与接收机噪声说明随机过程的概念 定义：对随机试验的结果指定一个时间函数（样本函数） 随机过程是时间与随机试验结果的二维函数。
推广:输出的k阶矩可有输入的k阶矩来确定
E[Y (t1 )Y (t2 )Y (t3 )] Lt1 Lt2 Lt3 E[ X (t1 ) X (t2 ) X (t3 )]
对于线性时不变系统，若X(t)是严平稳的，则Y(t)是严 平稳；若X(t)是广义平稳的，则Y(t)是广义平稳的。
3.2 随机过程的导数与积分 1 随机过程的极限 (1)随机变量的极限 定义：设随机变量X和Xn(n=1,2,)均有二阶矩，若有
我们就得到了一个新的随机信号Y(t) ，记为
Y(t)=T[X(t)] T就叫做从随机信号X(t) 到 Y(t) 的变换。
X (t )
T
Y (t )
确定性变换（Deterministic Transform） 如果e1和e2分别为两个随机试验的结果，如果
x(t , e1 ) x(t , e2 )
E{[ x(n0 k ) m][ x(n0 ) m]} RX (k ) m a 2 E{[ x(n0 ) m] RX (0) m2
ˆ (n0 k ) m a[ x(n0 ) m] x RX ( k ) m m [ x(n0 ) m] 2 RX (0) m
3.3 随机过程通过线性系统分析
3.4 随机序列通过离散线性系统分析
3.5 信号处理实例—最佳线性滤波器
3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布
3.1变换的基本概念及基本定理 1 变换的基本概念 定义：给定一个随机过程X(t)，我们按照某种法则，对
它的每一个样本函数 x(t),都指定一个对应函数y(t), 于是，
10 5 0 -5 -10
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1
0.5
0
-0.5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
r=xcorr(x,’coeff’)
3. 功率谱估计
(1)自相关法
先求自相关函数的估计，然后求傅里叶变换
ˆ ( m) R X ˆ () G X