2-4卡诺图法化简
卡诺图化简
Z(A,B,C,D)=ABC+ABD+AC’D+C’D’+AB’C+A’CD’+++Z+BA=,(,,)C+BACADCDCABDABCACDD先填ABC项，即利用ABC=ABC（D+D’）=ABCD+ABCD’，如下图填入：图一’D,但ABCD项的表格已填入1，则不在填，只填ABC’D按照上述方法填好整个函数表达式，如下图：卡诺图圈“1”法化简步骤：1、先圈包含1个数最多的最大“1”圈，其中1格数只能为1、2、4、8、16；2、再圈包含1个数第二多的“1”圈，其中1格数也只能为1、2、4、8、16；以此类推，直到把卡诺图中所有的1格圈完。
3、检查每个“1”圈中是否至少有一个1格未被其它“1”圈圈过，若都被其他圈圈过，则该“1”圈舍去。
4、保留每个“1”圈中的不变的变量，其中“0”用原变量表示，“1”用反变量表示，变量之间用“.”连接，则构成该“1”圈的乘积项。
5、一个“1”圈对应一个乘积项，有多少“1”圈，就有多少乘积项，它们之间用“+”连接。
例题2：Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m15解：1、在卡诺图中填充好函数表达式，如下图：4、圈完所有的1格，通过检查，发现原来圈4个1格的最大“1圈”中所有的1格都被其6、按照写化简后的函数逻辑表达式的规则，得化简后的函数表达式：Y（A,B,C,D）=A’C’D+ABC’+ ACD+A’BCABC’ACD A’BC。
数字电路卡诺图化简
AB
CD
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
1
11
1
1
10
1
1
1
1
F AD
F M (0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
CD AB 00
01
11
10
CD AB 00
01
11
10
00 1
1
00 1
1
01
1
1
01
1
1
11
1
1
1
11
1
1
1
10
1
1
1
1
10
1
1
1
1
F ABD BD AB BC
优点：简单直观、规律性强
什么是卡诺图 ?
美国工程师卡诺（Karnaugh)提出了一种描述逻辑函数的特 殊方法。在这个方格图中，每个小方格代表逻辑函数的一 个最小项，而且几何相邻的小方格具有相邻性，即两个相 邻小方格所代表的最小项仅一个变量取值不同，这种特殊 的小方格图通常称之为卡诺图（K-Map）。
AB
10 CD
00
01
11
10
00
1
1
00
1
1
01
1
1
01 1
1
11
1
1
10
1
11 1
1
10
1
1
1
F BD BD
F BD BD
AB
CD
00
01
11
10
00
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图表示和卡诺图化简法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
11 0 0 1 1 10 0 1 1 1
例：将F(A、B、C、D) ACD AB BCD ABC AC
化为最简与非—与非式。 CD
解：
ACD
AB
00 01 11 10
00 01
1 1
1 0
0 m104,m15 1 两1次填1
AB
11 1 1 1 1
10 0 1 1 1
B CD AC
ABC
1．卡诺图化简逻辑函数旳原理 : 具有相邻性旳最小项能够合并，并消去不同旳因子，
合并旳成果为这些项旳公因子．
（1）2个相邻旳最小项结合，２项能够而合并为１项， 并消去1个不同旳变量。
（2）4个相邻旳最小项结合， ４项能够而合并为１项， 并消去2个不同旳变量。
（3）8个相邻旳最小项结合， ８项能够而合并为１项， 并消去3个不同旳变量。
解： 写成简化形式： F m0 m3 m6 m7 然后填入卡诺图：
例3 画出 Y ABC D ACD AC 旳卡诺图
解:直接填入
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
01 0 0 1 0
11 0 0 1 1
10 0 1 1 1
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
总之， 2n 个相邻旳最小项结合，2n 项能够而合并为１
项，能够消去n个不同旳变量。
化简根据
2n项相邻，并构成一种矩形组， 2n项能够而合并为 １项，消去n个因子，合并旳成果为这些项旳公因子。
利用卡诺图化简旳规则
相邻单元格旳个数必须是2n个，并构成矩 形组时才能够合并。
CD 00 01 11 10
诺图
卡诺图化简法一全文
m0
0
m1如何根据输入1变量组 m2合写出相应最2小项？
m3
3
m4
4
m5
5
m6
6
m7
7
例如 ABC 101 5 m5
m4 4 100 ABC
2. 最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而
其余各种变量取值均使其值为0。 (2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 (4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标 准与或式，又称最小项表达式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式， 而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。
[例] 将逻辑式 Y ABC AB C D 化为标准与或式。
解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
Y ABC AB C D ABC AB (C D) ABC ABC ABD 普通与或式，非标准与或式
CD
AB
C D CD CD C D
同一行最 左与最右 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
方格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D 卡诺图特点： 循环相邻性 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
同一列最 上与最下 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D
(2) 找出真值表中Y=1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填1，其余不填。
BC A 00 01 11 10
0 10 1 3 12
1 14 5 7 16
已 [例] 已知 Y AD AB(C BD)，试画出Y的卡诺图。 知 解：(1) 将逻辑式转化为与或式
卡诺图_精品文档
例2-6-2 4线-2线优先编码器
E a3 a2 a1a0 b1 a3 a2 b0 a3 a2 a1
例2-6-3 译码器
Y3 b1b0 m3 Y2 b1 b0 m2 Y1 b1b0 m1 Y0 b1 b0 m0
例2-6-4 多路开关
Y a1 a0d0 a1a0d1 a1 a0d2 a1a0d3
例：8421BCD码输入的四舍五入电路。 表2-4-2 四舍五入电路真值表
例：8421BCD码输入的四舍五入电路。
z(b3,b2 ,b1,b0 ) m (5,6,7,8,9) d (10,11,12,13,14,15) z(b3,b2 ,b1,b0 ) M (0,1,2,3,4) D (10,11,12,13,14,15) z(b3 , b2 , b1, b0 ) b3 b2b1 b2b0
27
26
30
31
29
28
10
16
17
19
18
22
23
21
20
abc z 000 1 001 1 010 1 011 0 100 1 101 0 110 0 111 1
bc 00 01 11 10
a
0 1 0 1 1 03 1 2 1 1 4 0 5 17 0 6
例： 由真值表到卡诺图
2-4-2 表达式与卡诺图
卡诺图：唯一的，用于逻辑函数化简。
表达式： 与或式（不唯一）、或与式（不唯 一） 、最小项表达式（唯一） 、最 大项表达式（唯一）。
逻辑图：与—或和与非—与非电路、或—与 和或非—或非电路，与或非电路。
小结（续）
组合逻辑电路分析的步骤： 逻辑图→表达式→真值表→总结逻辑功能 组合逻辑电路分析的步骤： 文字描述→真值表、表达式→化简→逻辑图
卡诺图化简
卡诺图化简法卡诺图化简法又称为图形化简法。
该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。
一卡诺图的构成卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。
1．结构特点卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。
图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。
各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。
图2. 5 2～5变量卡诺图从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。
具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。
以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。
而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。
这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。
同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。
通常把这种相邻称为相对相邻。
除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。
对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。
归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
卡诺图化简法
26
(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
16
(4) 合并的规律 ① 圈2格，可消去1个变量；
BC A 00 01 11 10
0 1 1 00 1 0 0 00
BC
A
00 01 11 10
0 1 0 01
1 0 0 00
F=AB
F=AC
17
② 圈4格，可消去2个变量；
ห้องสมุดไป่ตู้
BC
A
00 01 11 10
0 1 1 00
1 1 1 00
BC A 00 01 11 10
例2.6.16 化简函数
F( A, B,C, D) m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
为最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
图 2.6.15
F(A,B,C,D) = A B D + BD+AB+BC
BC A 00 01 11 10 ⊕0 0 1 1 0
1 0 0 00
BC A 00 01 11 10 ﹦ 0 0 0 10
1 0 1 00
11
(4) 反演 BC
A 00 01 11 10
0 0 1 00 1 0 1 00
18. 卡诺图化简法
二变量卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图
五变量的卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数
1. 将函数表示为最小项之和的形式 mi 。
2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 ，其余地方添0。
用卡诺图表示逻辑函数
Y (A, B,C, D) ABCD ABD AB
ABCD (C C)ABD AB[(CD) CD CD CD]
2.8 多输出逻辑函数的化简
例: Y1(A, B,C, D) (1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14,15)
Y2 (A, B,C, D) (1,3, 4,5, 6, 7,12,14) Y3( A, B,C, D) (3, 7,10,11)
卡诺图化简
Y1( A, B,C, D) B AC ACD Y2 ( A, B,C, D) AD BD
m(1, 4据：具有相邻性的最小项可合并，消去 不同因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形 中直观地反映出来。
合并最小项的原则：
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去 两对因子
在输入变量某些取值下，函数值为1或 为0不影响逻辑电路的功能，在这些取 值下为1的最小项称为任意项
逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写
入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称 为无关项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少， 每项因子最少······
CD
AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
卡诺图化简
卡诺图化简一.画法卡诺图中变量组合采用格雷码排列，具有很强的相邻性。
0110m AB m AB1m 03m AB AB2(a)0132B (b)B A0101A0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC74ABCm m m ABCABC 0(a)(b)132457610011100BC A01BC A 1001110001m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCDABCD 1412m 15m ABCDABCDABCDm ABCD8m 1011m 9m ABCD 0132765413141512981110ABCD0000010*******10(a)(b)ABCD 0000010111111010二．步骤1．逻辑函数化为最小项表达式；写出最小项之和的形式、标准与或式2．根据变量的个数画出相应的卡诺图。
3．画卡诺圈并检查；填卡诺图（Y中包含的最小项填1），画包围圈（2n个相邻方格组，n=1，2，…4．将各卡诺圈合并为与项；各包围圈合并为一个与项（消去形式不同的变量，保留形式相同的变量5．将所有与项相加写出最简与或表达式合并后的各与项相加即为化简的逻辑函数三．注意：1．卡诺圈的面积要尽可能大，这样消去的变量就多，可保证与项中变量最少。
2．卡诺圈的个数要尽可能少，每个卡诺圈合并后代表一个与项，这样可保证与项最少。
3．每个卡诺圈内方格数为2n（n=0，1，2…），根据“去异留同”的原理将这2n个相邻的最小项结合，可以消去n个共有并且互补的变量而合并为一项。
4. 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，不能漏下。
5．取值为1的同一方格可被不同卡诺圈重复包围，但新增卡诺圈要有新方格。
6. 相邻方格包括上下相邻、左右相邻、四角相邻（注意对角不相邻）。
综上所述，画卡诺圈时应遵循先画大圈后画小圈的顺序，同时要保证圈内方格数为2n且不能漏下任何1方格。
卡诺图化简的具体步骤
卡诺图化简的具体步骤卡诺图是一种常见的逻辑图形，旨在帮助人们以可视化方式表达有关执行某项任务所需步骤的信息。
它以条形状的图形结构表示各个连续步骤，这些步骤中的每一个都代表某种活动或者一段时间，这有助于把复杂的任务和过程拆解，使之可以更好地控制和管理。
卡诺图的运用已经渗透到了许多领域，其中最为重要的三个领域是生产制造、工程项目管理和系统分析。
在实际使用中，卡诺图可以很容易地进行化简，以简化以及加快流程处理，提高工作效率。
化简卡诺图可以减少步骤总数，去掉和主要步骤无关的活动，从而节省资源，提高系统性能。
这篇文章将从以下几个方面来具体介绍卡诺图化简的具体步骤，包括卡诺图的基本概念、卡诺图化简的基本原理以及卡诺图化简的具体步骤。
2.诺图的基本概念卡诺图是一种以条形图结构表示步骤信息的图形，典型的卡诺图一般分为开始节点、过程节点、判断节点、合并节点和结束节点五种形式。
开始节点是卡诺图的第一个节点，它是图中的起点，表示流程的开始；过程节点表示正常流程中执行的任务或者活动；判断节点表示需要做出决定的节点，它会触发分支；合并节点表示可以合并多个分支，使得流程变得更加有序；最后是结束节点，表示流程的终点。
3.诺图化简的基本原理卡诺图化简的根本原理是为了简化和加快流程处理，提高工作效率。
化简卡诺图的基本原理是减少步骤的总数，去掉和主要步骤无关的活动，从而节省资源，提高系统性能。
在化简卡诺图的过程中，需要对卡诺图中的步骤仔细进行分析，将原来的步骤进行分类，分析其中节点之间的关系，然后考虑去掉哪些步骤不是必须的，最后把有关步骤合并成一个步骤，最终完成卡诺图的化简。
4.诺图化简的具体步骤（1）仔细分析卡诺图中步骤的执行过程，将其中冗余的步骤剔除，简化它们的数量。
（2）检查并分析不同步骤之间的关联，建立步骤间的联系，把相同性质的步骤合并为一个步骤，去除后面步骤的不可到达的情况。
（3）根据已经合并的步骤，分析和确定其间的各种条件关系，把可以合并的条件全部合并，以减少卡诺图中的步骤数量。
卡诺图化简法
m 0 m 1 m 2 m 3 m 7
m (0,1,2,3,7)
2021/10/10
第6章
9
➢ 已知真值表，写出函数的最小项之和的形式
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最 小项相加，便是函数的最小项表达式。
ABC Y
000 0 001 1 010 1 011 1 100 0 101 1 110 0 111 0
18
再如：
AC
BD
ABCDABCDABCDABCD ACD(BB)ACD(BB) CD(AA)CD
2021/10/10
BD
19
性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项， 并 消去三个变量。
综上所述，在 n 个变量卡诺图中，若有2k个1格相邻（k为
0，1，2…，n）, 它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变 量。如：
m 0 m 2 A B C A B C A ( B B ) C A C
第6章
2021/10/10
12
2.卡诺图
◆ 基本知识
卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种 用来描述逻辑函数的特殊方格图。
在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项， 而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具 有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量 取值不同。
的最简与或表达式
解：1画出函数F 的卡诺图。对于在函数 F 的标准与或表达式中出现
的那些最小项，在其卡诺图的对应小方格中填上1，其余方格不填；
2合并最小项。把图中所有的1格都圈起来，相邻且能够合并在 一起的1 格圈在一个大圈中； 3写出最简与或表达式。对卡诺图中所画每一个圈进行合并，保 留相同的变量，去掉互反的变量。
基本逻辑电路的化简方法
第二章逻辑代数基础2.1 逻辑代数运算提纲：⏹逻辑变量与逻辑函数，⏹逻辑代数运算，⏹逻辑代数的公理和基本公式，⏹逻辑代数的基本定理（三个），⏹逻辑代数的常用公式。
2.1.1 逻辑变量与逻辑函数采用逻辑变量表示数字逻辑的状态，逻辑变量的输入输出之间构成函数关系。
逻辑常量：逻辑变量只有两种可能的取值：“真”或“假”，习惯上，把“真”记为“1”，“假”记为“0”，这里“1”和“0”不表示数量的大小，表示完全对立的两种状态。
2.1.2 逻辑代数运算基本逻辑运算——与、或、非；复合逻辑运算。
描述方法：逻辑表达式、真值表、逻辑符号（电路图）。
定义：真值表——描述各个变量取值组合和函数取值之间的对应关系。
逻辑电平——正逻辑与负逻辑。
2.1.3 逻辑代数的公理和基本公式2.1.3.1 逻辑代数公理有关逻辑常量的基本逻辑运算规则，以及逻辑变量的取值。
(1) 常量的“非”逻辑运算(2~4) 常量的与、或逻辑运算(5) 逻辑状态只有”0”和”1”两种取值2.1.3.2 逻辑代数的基本公式（基本定律）所谓“公式”，即“定律”，如表2. 1：表2. 1 逻辑代数的公式（基本公式部分）2.1.3.3 逻辑代数的三个基本定理所谓“定理”，即代数运算规则。
基本的三个定理：⏹代入定理——在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外的逻辑式代入式中的所有．．A的位置，则等式依然成立。
，⏹反演定理，⏹对偶定理。
2.1.3.3.1 反演定理所谓“反演定理”，得到逻辑函数的“反”的定理。
定义（反演定理）：将函数Y式中的所有…⏹（基本运算符号）“与”换成“或”，“或”换成“与”；⏹（逻辑常量）“0”换成“1”，“1”换成“0”；⏹原变量换成反变量，反变量换成原变量；注意：●变换时要保持原式中逻辑运算的优先顺序；●不属于单个变量上的反号应保持不变；则，所得到的表达式是Y的表达式。
例2.1: 已知)]([F E D C B A Y ++⋅=，求。
《卡诺图化简法》课件
卡诺图化简的基本步骤
详细描述
详细阐述卡诺图化简的基本步骤， 包括如何根据逻辑函数绘制卡诺图 、如何根据卡诺图进行化简等。
实例二：复杂的逻辑函数化简
总结词
通过卡诺图化简复杂逻辑函数
01
02
详细描述
选取具有代表性的复杂逻辑函数，如含有多 个变量和复合逻辑运算的函数，利用卡诺图 进行化简，展示化简过程和结果。
优化最小项的排列方式
优化最小项的排列方式，可以减少重复计算和提高化简效率。
THANKS
感谢观看
杂。
约束条件
卡诺图化简法要求逻辑函数在最小 项上的取值必须明确（0或1），对 于含有未知取值的逻辑函数不适用 。
非二进制系统
卡诺图仅适用于二进制逻辑系统， 对于非二进制系统（如三进制、四 进制等）需要其他化简方法。
03
卡诺图化简法的步骤
构造卡诺图
01
02
03
确定变量
首先确定待化简的逻辑函 数的变量，即确定卡诺图 的行数和列数。
注意约束条件
在使用卡诺图化简法时，应考虑约束条件，如输 入变量的取值范围和输出变量的取值范围。
避免重复计算
在化简过程中，应避免重复计算最小项，以提高 化简效率。
如何提高卡诺图化简法的效率
熟悉卡诺图化简法的步骤
熟练掌握卡诺图化简法的步骤，可以更快地完成化简过程。
选择合适的软件工具
使用合适的软件工具，如逻辑模拟软件等，可以提高卡诺图化简法 的效率。
《卡诺图化简法》 PPT课件
目录
• 卡诺图化简法简介 • 卡诺图的构成与特性 • 卡诺图化简法的步骤 • 卡诺图化简法的实例分析 • 卡诺图与其他化简方法的比较 • 卡诺图化简法的实际应用与注意事项
数字逻辑基础卡诺图化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
2019/3/18
8
例2: 写出三变量函数的最小项表达式。 解 利用摩根定律将函数变换为与或表达 式，然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B, C ) AB AB C AB
2019/3/18 22
m3
BCD
m11
图1-15
2019/3/18
两个最小项合并
23
图1-16
2019/3/18
四个最小项合并
24
2019/3/18
图1-17
八个最小项合并
25
（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
2019/3/18
卡诺图化简法
含有无关项的逻辑函数的化简
2
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺 点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一 种方法。 卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论 2019/3/18 3 一下最小项及最小项表达式。
2019/3/18 26
数字逻辑基础卡诺图化简
1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1
2019/3/18
0
1 1 1
15
（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填 入1，其余的小方块中填入0。 例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
2019/3/18
图1-14
A
相邻
2019/3/18 28
A
BC
相邻
2019/3/18
29
A
BC BD
Y A BC B D
2019/3/18 30
例8： 化简图示逻辑函数。 解：
1
2 多余 的圈
4
3
Y ACD ABC AC D ABC
2019/3/18
1
2
3
4
31
圈组技巧(防止多圈组的方法)：
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m3
BCD
m11
图1-15
2019/3/18
两个最小项合并
23
图1-16
2019/3/18
四个最小项合并
24
2019/3/18
图1-17
八个最小项合并
25
（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
2019/3/18 37
卡诺图
☆ 在覆盖函数中的所有最小项的前提下，卡诺圈的个数达到最少。
☆ 在满足合并规律的前提下卡诺圈应尽可能大。
☆ 根据合并的需要，每个最小项可以被多个卡诺圈包围。
3.求函数的最简“或-与”表达式
当需要求一个函数的最简“或-与”表达式时，可采用“两次取反法”。
根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。
用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。
具体如下：
☆ 先求出函数F的反函数F的最简“与-或”表达（合并卡诺图上的0方格）；
☆ 然后对F的最简“与-或”表达式取反，从而得到函数F的最简“或-与”表达式。
卡诺图化简逻辑函数具有方便、直观、容易掌握等优点。但依然带有试凑性。尤其当变量个数大于6时，画图以及对图形的识别都变得相当复杂。
在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i 。
归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：
☆ n个变量的卡诺图由2^n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；
☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
二 卡诺图的性质
卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，
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2 最小项的性质
计算机科学与技术学院
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
最小项编号
ABC
1 0 0 0 0 0 0 0 m0
ABC
0 1 0 0 0 0 0 0 m1
ABC
0 0 1 0 0 0 0 0 m2
ABC
0 0 0 1 0 0 0 0 m3
ABC
0 0 0 0 1 0 0 0 m4
ABC
F
ABC
000
1
100
001
0
101
010
0
110
011
1
111
由表可知：
F(A, B,C) m0+m3+m4+m6
m(0,3,4,6)
计算机科学与技术学院
F
1 0 1 0
16
计算机科学与技术学院
ABC
F
ABC
F
000
1
100
1
001
0
101
0
010
0
110
1
011
1
111
0
F(A, B,C) AC BC ABC =m0+m3+m4+m6
（3）各最小项可以重复使用。 （4）所有的1都被圈过后，化简结束。 （5）化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。
35
例：化简
计算机科学与技术学院
F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)
BCD
BD
CD 00 01 11 10
AB 00 1 0 1 1 01 0 1 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
BC
CD
A
F A C D BC BD BCD
36
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如何最简： 圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。
特别注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到， 不能合并的 1 必须单独画 圈。
例： 将Y1=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。
Y A
BC
00
01
11
10
00 1 1 1
计算机科学与技术学院
33
利用卡诺图化简的规则：
计算机科学与技术学院
（1）相邻单元的个数是2N个，并组成矩形 时，可以合并。
CD 00 01 11 10
AB 00 0 0 0 0
01 0 0 1 0
11 0 1 1 0
AD
10 1 1 1 0
34
计算机科学与技术学院
（2）先找面积尽量大的组合进行化简，可以 减少更多的因子。
2.5 多输出函数的化简
计算机科学与技术学院
2
2.4 逻辑函数的标准形式
最小项及最小项表达式 最大项 卡诺图的结构 逻辑函数的卡诺图表示 用卡诺图法化简逻辑函数
计算机科学与技术学院
3
逻辑函数的标准形式
计算机科学与技术学院
有“积之和”与“和之积”两种基本表达形式
➢ 如 F AB ABC C 是“积之和”的形式，又称“与
排列，函数本身由3个最小项构成。上述表达式即 为逻辑函数的最小项之和的标准形式。
9
4 最大项
计算机科学与技术学院
最大项定义
在一个具有n变量的逻辑函数中，如果一个或项包 含了所有n个的变量，而且每个变量都是以原变量或反 变量的形式作为一个因子仅出现一次，那么这样的或 项就称为该逻辑函数的一个最大项。对于n个变量的全 部最大项共有2n个。
1 卡诺图的画法：
（二输入变量）
ABY 00 1 01 0 10 1
输入变量
AB 0
1
01
0
11
0
输出变量Y的值
1 1 0 最小项: 输入变量的每一种组合。
20
卡诺图的画法（三输入变量）
计算机科学与技术学院
ABCY
0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 11 1 1 01 1 1 11
13
计算机科学与技术学院
解：
F ( A, B, C) AB( A C) (A B)(A C)
AC AB BC
AC AB
………… 将函数式变换为一般“与－或”表达 式
A(B B)C AB(C C) … 运用公式 X X 1 变换为
最小项之和的形式
ABC ABC ABC ABC
18
2.4.2 卡诺图结构
计算机科学与技术学院
卡诺图是一种矩形方格 输入变量
图，图中的每个方格对应一 个最小项，并且任意两个相
AB 0 01
1 1
邻方格所对应的最小项只有
பைடு நூலகம்
一个变量不同。
11 0
卡诺图的每一个方块（最小项）代表一 种输入组合，并且把对应的输入组合注明在 阵列图的上方和左方。
19
计算机科学与技术学院
组成的八个乘积项
即 ABC 、 ABC 、ABC 、 ABC 、 ABC 、 、ABC 、ABC 都A符BC合最小项的定义。因此，我 们把这八个与项称为三变量逻辑函数F（A、B、C）
的最小项。
除此之外 ，还有 AC 、 AB 等与项， 都不满足最小项的定义，所以，都不是三变量逻辑 函数F（A、B、C）的最小项。
输入变量 BC
A0 0 00
逻辑相邻：相邻单 元输入变量的取值 只能有一位不同。
0 11 10 10 00
10 1 1 1
输出变量Y的值
21
四输入变量卡诺图
只有一 位不同 逻辑相邻
计算机科学与技术学院
22
计算机科学与技术学院
有时为了方便，用二进制对应的十进制表示 单元格的编号。单元格的值用函数式表示。
数字系统逻辑设计 Digital System and Logic Design
主编：王维华、曲兆瑞 山东大学出版社
第二章 逻辑代数和函数化简
主讲人：李 新
山东大学 计算机科学与技术学院
内容提要
2.1 逻辑代数和逻辑门 2.2 基本定律、公式和规则 2.3 代数法化简逻辑函数 2.4 卡诺图法化简逻辑函数
结论： 利用真值表求最小项之和标准形式的方法：
观察真值表，找出函数F为1的各项，作函数对应
这些项的最小项，对于输入变量为1，则取输入变量本 身，若输入变量为0，则取其反变量，再取这些最小项 之和，即为所求函数的最小项之和标准形式。
17
计算机科学与技术学院
用代数的方法化简应使得逻辑函数式 包含的项数以及变量数最少为原则； 对于化简的结果，尤其较为复杂的结 果，通常难于判断是否最简，因此 我们还常常使用卡诺图的方法来化简 逻辑函数。
11 1 0 1
Y A
BC
00
01
00 1
11 10 11
8
3）最小项表达式
计算机科学与技术学院
由最小项的逻辑或的形式构成的逻辑函数表达式称之为逻 辑函数的最小项表达式，也称为标准与或表达式。
如：
F(A, B,C) ABC ABC ABC =m6+m4+m3
又记为：F(A, B, C) m(3,4,6)
这是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C）
ABC
0 0 0 0 0 1 0 0 m5
ABC
0 0 0 0 0 0 1 0 m6
ABC
0 0 0 0 0 0 0 1 m7
（1）对于任意一个最小项，有且仅有一组变量取值使其值为1，而其 余各种变量取值均使它的值为0。
推论：不同最小项，使其值为1的变量取值也不相同。 （2）对于变量的任意一组取值，任意两个不同最小项的乘积均为0。 （3）对于变量的任意一组取值，全体最小项的和恒为1 。
B A
0
AB 1
01 1
11 0
Y=AB+AB+AB
AB
此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真
值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为Y=AB
因此，有一个化简问题。
26
卡诺图化简函数
计算机科学与技术学院
ABC
BC A 00 01 11 10
00 0 1 0 10 0 1 1
ABC ABC BC
31
边角也相邻
CD 00 01 11 10
AB 00 1 0 0 1 01 0 0 0 0 11 0 0 0 0
BD
10 1 0 0 1
F BD
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32
CD 00 01 11 10
AB 00 0 0 0 0 01 0 1 0 0 11 1 1 0 0 10 1 0 0 0
不是矩形
F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 )
BC A 00
01 11
10
00 1 3 2
14 5 7 6
BC A 00
01 11
10
00 1 0 1
11 0 1 0
A B C 十进制数 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 1 1 1 7 23
11 12 13 15 14 13 1 1 0 1
14 1 1 1 0 10 8 9 11 10
15 1 1 1 1
四变量卡诺图单 元格的编号
24
3、真值表、卡诺图逻辑代数式
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