八年级数学下册 1.4 角平分线(第1课时)课件 (新版)北师大版.pptx
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2021年北师大版八年级数学下册第一章《角平分线》精品课件.ppt
PD PE 全等三角形的对应边相
1 2
等
P
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
A
∵ OP平分∠AOB,
A
D
PD⊥OA,PE⊥OB,
P
1
∴ PD=PE
O
2
A
E B
老师提示：这个结论是经常用来 证明两条线段相等的根据之一。
在 AB 中 C ， C90 ， B平 D 分 AB , C D EA于 BE,若 D C2，D 则 E 2
B
BC 3， 0CD :D B2:3， 则D 点 到 A的 B 距离 ( B )为
C D
A.18 B.12
C.15 D.不能确定
A
B
二。填空题（耐心填一填）
B
1.已知，如 AO图 PBOP15，
C
PC//O,APDOA 于点 D,如果 PC4，
则PD
2
O
2.如图，A 已B是 知 C 直角三角 C形 90， ， BD 平分 AB,C AB10cm,CD2cm,则
PEC PFDAAS
PE PF OP平分AOB
2.已知：如图 A， BC 中 在， AD是它的角平分线， DEAB于E,DFAC于F,且BDCD, 求证E：BFC.
A
证明： AD平分BAC, DE AB, DF AC,
DE DF
又DEB DFC 90
DE DF, BD CD
E
F
RtDEB RtDFCHL
SABD 10cm2
B
P
D
A
A
D C
三。再展英姿
A
1.已知：如 P是 图 AO 内 ， B部 点的P一 C P点 ,DE，
1 2
等
P
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
A
∵ OP平分∠AOB,
A
D
PD⊥OA,PE⊥OB,
P
1
∴ PD=PE
O
2
A
E B
老师提示：这个结论是经常用来 证明两条线段相等的根据之一。
在 AB 中 C ， C90 ， B平 D 分 AB , C D EA于 BE,若 D C2，D 则 E 2
B
BC 3， 0CD :D B2:3， 则D 点 到 A的 B 距离 ( B )为
C D
A.18 B.12
C.15 D.不能确定
A
B
二。填空题（耐心填一填）
B
1.已知，如 AO图 PBOP15，
C
PC//O,APDOA 于点 D,如果 PC4，
则PD
2
O
2.如图，A 已B是 知 C 直角三角 C形 90， ， BD 平分 AB,C AB10cm,CD2cm,则
PEC PFDAAS
PE PF OP平分AOB
2.已知：如图 A， BC 中 在， AD是它的角平分线， DEAB于E,DFAC于F,且BDCD, 求证E：BFC.
A
证明： AD平分BAC, DE AB, DF AC,
DE DF
又DEB DFC 90
DE DF, BD CD
E
F
RtDEB RtDFCHL
SABD 10cm2
B
P
D
A
A
D C
三。再展英姿
A
1.已知：如 P是 图 AO 内 ， B部 点的P一 C P点 ,DE，
1.4.1角平分线1北师大版数学八年级下册第1章三角形的证明
随堂练习1
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外
角平分线,它们有什么位置关系? C
D A F
E
B
2017.2
随堂练习2
2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路
与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺
1:20 000)。
A区
2017.2
你能用什么办法平分一个已知角呢？
2017.2
定理：角平分线上的点到这个 角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
2017.2
你能写出这个定理的逆命题吗? 性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在 这个角的平分线上．
这是真命题吗？如果是，请
《数学》( 北师大版 八年级 下册 )
第四节
2017.2
回顾
思考
M P
1.垂直平分线性质定理 ： 线段垂直平分线上的点到这条线段
A N C B
两个端点距离相等。
2.垂直平分线判断定理：
到一条线段两个端点距离相等的
点,在这条线段的垂直平分线上。
2017.2
回顾
思考
还记得角平分线上的点有什么性质吗?
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E
B
联系拓广3
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直 平分线,交AB于点D,交AC于点E，连接BE，则BE平分 ∠ABC.请证明这一结论。你有几种证明方法？
2017.2
联系拓广4 2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边 的距离相等.
北师大版八年级数学下册课件1.4角平分线
提示：知道三角形角平分线的时候，
我们常采用“截长补短”的方法来添加
D
辅助线
A
B
M
C
课堂小结
今天你学到了什么？
（全等三角形的对应边相等） 则△OCD的面积等于（ ）
角平分线的性质定理 ∴△PDO≌△PEO（HL）
三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 你能证明PD = PE 吗？ 第1课时 角平分线的性质及判定 第二层：课本第30页习题第1、3、4题
证明：过M作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴MB⊥AB，MC⊥DC，
∵MD分别平分∠CDA，
D
C
N
M
A
B
∴MC=MN（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵MD=MD
∴Rt△MCD≌Rt△MND（HL）
∴DC=DN
同理AB=AN ∵AD=AN+DN
∴AD=AB+DC
学以致用
变式练习
例.已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD的平分线 BM交BC于点M，M为BC中点，AD=AB+DC. 求证：DM平分角ADC.
北师大版数学八年级（下）
第1课时 角平分线的性质及判定
渠县东安雄才学校
学习目标
1.运用逻辑推理证明角平分线的性质定理和判定 定理,进一步培养学生的逻辑推理能力.（重点）
2.利用角平分线的性质及判定解决实际问题, 培养学生解决问题的能力.（难点）
温故知新
角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个分成相等的两个角 的射线,叫这个角的角平分线.
O
1 2
P
C
∴PD=PE（角平分线上的点到
E B
北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件(第1课时27张)
4.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为
R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是( A )
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.全对
课堂检测
能力提升题
1.4 角平分线/
1、如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的 面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=____2__cm.
课堂检测
1.4 角平分线/
能力提升题
2、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC
于H;如果∠ABC=60°,
则下列结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④
∠APH=∠BPC,
其中正确的结论个数是 ( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
课堂检测
拓广探索题
1.4 角平分线/
S
D
C
素养目标
1.4 角平分线/
3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问 题.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质 定理，并理解和掌握定理及其逆定理.
1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理.
探究新知
1.4 角平分线/
知识点1 角平分线的性质定理
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
解： CPDB PD PB DB
PC PB DB
A
BC DB AD DB
AB 14
B D
P
C =
课堂小结 性质定理
北师大版八年级下册 第一章 1.4.1 角平分线 课件(共30张PPT)
PDO＝PEO(已证) ∵ １＝２（已证） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE（ 三角形全等对应边相等）
一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？
角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
随堂检测
４.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线，它们有什么关系？
分析：
AD是线段 AF是射线
AD，AF存在数量关系？
拓展提升
１.如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,
DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
求证 ：EB＝FC （1）还有哪些新的发现？ （2）连接 EF 后又有那些新发现？ 请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
PDO＝PEO=90 ( 已证) PD＝PE（已知） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴ ∠1= ∠2（ 三角形全等对应边相等）
∴OP平分∠AOB
随堂检测
１.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点， PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA 的距离是( A ) A．2 B．3 C.
北师大版八年级下册数学练习课件-第1章 4 第1课时角平分线的性质和判定
8
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
1.4.2角平分线-2020-2021学年北师大版八年级数学下册课件
E
（1）AMD 90
（2） ME MC, MB MC
MC MB M为BC的中点.
（3） DE CD, AE AB
AD AE DE CD AB.
达标检测
5.如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，
过O点作DE//BC,求证：DE=BD+CE ; 如图②,过A点作DE//BC，其它条件不变，探索DE,AB,AC 之间有什么关系？并证明你的结论.
第一章 三角形的证明
1.4.2 角平分线
学习目标
1.理解证明角的平分线的性质定理和判定定理相关 的结论，掌握角平分线的性质定理和判定定理的 灵活运用．
2.进一步发展推理证明意识和能力，培养转化数学 语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决 问题的能力．
3.在探究的过程中培养独立思考的习惯，学会合作 探讨交流，感受数学的作用.
例3.如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD．
(1)解：AD是ABC的角平分线，DC AC, DE AB.
DE CD 4cm.
AC BCB BAC 45
BDE 90 45 45 BE DE BD 2DE2 4 2cm
解：SABC SABD SBCD
1 AB DE 1 BC DE
2
2
192 162
2215来自标检测4.如图，∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
(1)求∠AMD的度数
(2)求证：M是BC的中点.
(3)猜想CD、AD、AB的数量关系，并说明理由。
解：作ME AD于点E.AMD 90
北师大版八年级下册1.4角平分线课件(共19张PPT)
∴∠1=∠2(角平分线的定义)。O
1 2
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
在△PDO和△PEO中，
C P
EB
∠PDO=∠PEO (已证)，
∠1＝∠2(已证)，
OP＝OP(公共边)，
∴△PDO≌△PEO (AAS)。 ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别 点在角平分线上
点到角两边的距离相等
命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等
为D,E，且PD=PE. ∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL定理)．
2.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
求证:点P在∠AOB的平分线上. ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在 OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.
性质定理和判定定理的关系
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC
AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？ ∴ AD平分∠BAC（到角两边距离相等
O
∠AOC=∠BOC. 命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
P C
要在Ｓ区建一个集贸市场
E
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC
∴ AD平分∠BAC（到角两边距离相等
B
问题解决
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
北师大版八年级下册义务教育课程
第一章 三角形的证明 第四节 角平分线
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4角平分线课件
已知：如图，在△ABC中，角平分线 BM、CN相交于点P，过点P分别作AB、 BC、AC的垂线垂足分别是D、E、F.
求证：P点在∠BAC的角平分线上,且
B
PD=PE=PF.
A
D N
F
M
P
E
C
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM、CN相交于点P，过点 P分别作AB、BC、AC的垂线垂足分别是D、E、F.
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）C ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD．
E
D
B
三角形的角平分线的性质应用
例4. 解决下面的问题：三条公路两 两相交于A、B、C三点，现计划修建 一个商品超市.
∵∠C=90°，∴∠B=
1 2
×90°=45°．
∴∠BDE=90°-45°=45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD 2DE2 4 2cm (勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+ 4 2 )cm．
练一练
[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
且PD=PE=PF
这个交点P叫做三角形 的内心.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这 一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线 ,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
B
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三 角形的三条角平分线相交于一点,并且这 一点到三边的距离相等).
初中数学北师版八年级下册《1.4 角平分线 第1课时 》PPT课件(示范文本)
A D
PD=PE,
O1
2 PC
∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,
E
且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线
B
上).
思考：
要在S区建一个集贸市场.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且
O
离公路、铁路的交叉处400米， 公路
应建在何处？ （比例尺 1：20 000）
OP=OP，PD=PE，
A D
1
O
2
PC
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) .
E B
∴点P在∠AOB的角平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的 两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD=PE． 证明：∵OC是∠AOB的平分线，
A D
PD⊥OA，PE⊥OB，
1 O
∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°.
2
PC
又∵OP=OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．
E B
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
S A
铁路 B
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC 上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且 DE=DF,求DE的长.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ，DE ＝DF，
A
∴AD平分∠BAC.
又∵∠BAC=60°， ∴∠BAD=30.
1.三角形三条角平分线的性质教学课件北师大版数学八年级下册
练习2. 如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分 ∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
(1)点O到△ABC三边的距离和为___1__2____；
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
B
O
P
A
DM
C
解：（2）连接OC.
从这道题中，你能归纳出 一个求面积的公式吗？
交于三角形内一点 到三角形三边的距离相等
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴∠ACE=∠AED=90°（三角形内角和180°）在Rt△ACD 和 Rt△AED中，
AD=AD CD=DE ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
又∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD．
A
D
N
F
P
M
C E
议一议
三角形中垂线与角 平分线的区分
三角 形
锐角三角 形
钝角三角形
直角三角形
交点性质
三边垂直平分线
三条角平分线
交于三角形内一点
交于三角形外一点 交于斜边的中点 到三角形三个顶点 的距离相等
交于三角形内一点 到三角形三边的距离相等
练一练
练习1. 如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知 CD=4cm，求AC的长；
BC，CA的距离相等.
A
D
N
F
P
M
B
C
E
思路：
PB平分∠ABC PD⊥AB PE⊥BC
PC平分∠ACB PE⊥BC PF⊥AC
北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线课件(共18张PPT)
A D
求证:点P在∠AOB的平分线上.
P
O
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠ODP= ∠OEP=90°
E
在Rt△ODP和Rt △OEP中
B
DP= EP, OP＝ OP
∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL)
∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上.
逆定理： 在一个角的内部, 到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上.
4.如图，在四边形OACB 中,CM⊥OA于点M,若∠1 =∠2,∠3+∠4= 180° 求证:CA=CB.
习题1.9答案 1.解如图,结论:三角形的三个 内角的平分线交于一点,并且 这个点到三角形的三边的距离相等.
2.证明∵AD平分∠BAC且 DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴BE=CF.
∴DE=DC. ∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证： (1)∠ECD＝∠EDC； (2)OC＝OD； (3)OE是线段CD的垂直平分线．
证明：(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，
又∵∠C=90°,BE=BE, ∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL). ∴∠DBE=∠CBE ∴BE平分∠ABC.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM; (2)连接CD; (3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即 为所求.
������������ = ������������,
∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角
北师大版八年级数学下册《角平分线(1)》教学课件
你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
你能证明这一结论吗? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性 质的证明过程吗？
已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证: PD=PE.
A D
O
分析: 要证明PD=PE,只要证明它们 所在△OPD≌△OPE
B
D
C 又∵ ∠BAC=60°
∴ ∠BAD=30°
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10
∴DE= AD/2=10/2=5（在直角三角形中，如果一个
锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到∠AOB的两 边的距离相等.
B
D●
C●
作业
习题1.9，第3题．
的根据之一.
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
A 解：
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F且DE=DF
E
F
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离
相等的点在这个角的平分线上）
O
求证: 点P在∠AOB的平分线上.
A D
P C
E B
分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过 点P的射线OC, 然后证明∠POD=∠POE.
已知: 如图所示, PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别是D,E.
O
求证: 点P在∠AOB的平分线上.
证明：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB ∴ △POD和△POE都是Rt△ ∵ PD=PE,OP=OP ∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL) ∴ ∠POD= ∠POE ∴ OC是∠AOB的平分线 ∴ 点P在∠AOB的平分线上
你能证明这一结论吗? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性 质的证明过程吗？
已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证: PD=PE.
A D
O
分析: 要证明PD=PE,只要证明它们 所在△OPD≌△OPE
B
D
C 又∵ ∠BAC=60°
∴ ∠BAD=30°
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10
∴DE= AD/2=10/2=5（在直角三角形中，如果一个
锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到∠AOB的两 边的距离相等.
B
D●
C●
作业
习题1.9，第3题．
的根据之一.
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
A 解：
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F且DE=DF
E
F
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离
相等的点在这个角的平分线上）
O
求证: 点P在∠AOB的平分线上.
A D
P C
E B
分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过 点P的射线OC, 然后证明∠POD=∠POE.
已知: 如图所示, PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别是D,E.
O
求证: 点P在∠AOB的平分线上.
证明：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB ∴ △POD和△POE都是Rt△ ∵ PD=PE,OP=OP ∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL) ∴ ∠POD= ∠POE ∴ OC是∠AOB的平分线 ∴ 点P在∠AOB的平分线上
北师大版八年级数学下册第一章《角平分线(一)》公开课课件
这是一个真命题吗?
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D
、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
用心想一想
还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样 得到的?
角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等．
A
D
O
1 2
P C
E B
用心想一想，马到功成
你能写出这个定理的逆命题吗? 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必 在这个角的平分线上． 这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线， 而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到 角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
• 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的
长.
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角两边距离相等 的点，在这个角的角平分线上．
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D
、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
用心想一想
还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样 得到的?
角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等．
A
D
O
1 2
P C
E B
用心想一想，马到功成
你能写出这个定理的逆命题吗? 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必 在这个角的平分线上． 这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线， 而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到 角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
• 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的
长.
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角两边距离相等 的点，在这个角的角平分线上．
【最新北师大版精选】北师大初中数学八下《1.4.角平分线》PPT课件 (5).ppt
自学检测 A
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
12
∴__D__C_=_D__E___
(角__平__分___线__上__的___点__到__角__的___两__边__的___距__离__相___等______) E
× 2、判断题（ ）
C
D
B
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ， ( 角的平分线上的点到角的 ) A
自学检测
1:如图所示， △ABC中，AM是它的
角平分线，且BM=CM，MD⊥AB于
D，ME⊥AC于E.
A
求证：BD=CE.
D
E
B
M
C
达标检测
1、如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若 ∠POB=30°，则∠AOB= 60°
A P
O
B
2、如图，在△ABC中，D是
BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，
A
且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分
线。
E
F
B
D
C
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D
F
A
EB
N
两边的距离相等.
B
D C
3.判断题（ × ）
∵ 如图，BD=CD
B
∴AD平分∠BAC A
D
4.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相 等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它 的位置(比例尺 1:20 000).
自学指导2
自学内容：课本P29例1。 自学时间：5分钟 自学要求：